1、第七讲 多元函数积分学（一）知识点分析：一、二重积分1、二重积分的概念：设二元函数 定义在有界闭区域 上，则二重积分(,)fxyD01(,)lim(,)niifxydf精确定义求极限问题： , ,)nijDbadcbadcjnn先提出 ，在凑出 ，可以看出 是 0 到 1 上的 ， 是 0 到 1 上的 ， 是 0 到1n,ijnxjy1 上的 ,dxy注：二重积分的存在性，也称二元函数的可积性，设平面有界闭区域 由一条或几条逐D段光滑闭曲线围成，当 在 上连续时，或者 在 上有界，且在 除了有(,)fxy(,)fy限个点和有限条光滑曲线外都是连续的，则 在 上可积。,fx极限存在与 的分割方
2、式无关。Dd几何意义曲顶柱体的体积 ；物理意义 的质量 。(,)DVf (,)Dmxyd2、二重积分的性质（1）区域面积 ，其中 为区域 的面积。DdA（2）可积函数必有界：当 在闭区域 上可积时，则 在 上必有界(,)fxy(,)fxy（3）线性性质： 为常1212d(,)ddDDkgkfkg12,k数。（4）可加性： ，1212,。12(,)d()d(,)DDDfxyfxyfxy（5）保号性：若在 上 ，则 ；,g(,)(,)DDfxydgxyd特殊的有 。|(,)|(,)DDfxyfxy（6）估值定理：设 ， 的面积为 ,则有main(,)Mf,dM（7）二重积分中值定理：设函数 在闭区
3、域 上连续， 的面积为 ，则至少存()fxyD在一点 使得 。(,),Dfd3、二重积分的计算（1）直角坐标系计算法 型： ， 在 上连续，则X12(,)(),xyxab12(),x,ab21)(Dfydfyd 型： ， 在 上连续，则Y12(,)(),c12,(),cd21()(,),dycDfxyfxd（2）极坐标系计算法其中 在 上连续，则12(,),Drr12(),1()(cosin)dcosin)Dfxydfrfrrd 注意： 型， 型和极坐标的相互转化有时可方便解题XY ixy4、二重积分的对称性，记 为其对称区域的一半(,)Dfxyd1（1）若 关于 轴对称，有 10,()=(,
4、)(,)2(,)DDfxyfxfxydfxyd，（2）若 关于 轴对称，有y1,()(,)(,)(,),=ffffxy，（3）若 关于原点对称，有D10,()(,)(,)2(,),DDfffxydfxyd，（4） （轮换对称性）若 关于 对称，有 ,(,)Dfxd若 将 分成 两部分，有yx12,12()Dfxyy二、三重积分1、三重积分的概念设三元函数 定义在三维有界空间区域 上，则三重积分(,)fxyz01(,)dlim(,)nkifzvfv1(,)lim,njkbacfebadcfefxyzdv jknn 方法：先提出 ，在凑出 ，可以看出 是 0 到 1 上的 ， 是 0 到 1 上的
5、,ijixj， 是 0 到 1 上的 ， 是 0 到 1 上的 。yknzn,dxyz2、三重积分的性质（1）区域面积 ，其中 为区域 的面积。dvV（2）可积函数必有界：当 在闭区域 上可积时，则 在 上必有界(,)fxyz(,)fxyz（3）线性性质： ，1212,(,)kkgdvkdvkgzdv为常数。12,k（4）可加性： ，1212,。1 2(,)(,)(,)fxyzdvfxyzdvfxyzdv（5）保号性：若在 上 ，则 ；g(,)gxyzdv特殊的有 。|(,)|(,)fxyzvfxyzv（6）估值定理：设 ， 的体积为 ,则有ma,in(,)MffzV,VfdM（7）三重积分中
6、值定理：设函数 在闭区域 上连续， 的体积为 ，则至少存()xy在一点 使得 。(,),(,)fzvfV3、三重积分的计算（1）坐标平面投影法（二套一） 12,(,)xyxyzzxyD21 1(,) (,)(,)d)dd,dzxy zDDfxyzvf fz（2）坐标轴投影法（一套二） (,),zzab(,)(,)()z zb ba aDDfzfxyfxy（3）柱面坐标法“直角坐标系+极坐标系”， ， ，其中cosxsiny0,2,z(,)d(co,sin,)dfzvf（4）球坐标计算法其中sincxrsiyrzr,0,r2(,)(cs,i,cos)indfzvf r4、三重积分的对称性（1）若
7、 关于 平面对称，则xoy为对称区域的一半。10,(,)(,)(,)d2(,)dfxyzfxyzfzvfxyzv 1同理与 关于 平面对称和 平面对称yoo（2）轮换对称性：若 关于 具有轮换对称性（即若 ，将 意互换,xyz,xyz,xyz后的点也属于 ） ，则被积函数中的自变量可以任意轮换而不改变积分值 (,)(,)(,)fdvfxzdvfdv当： ，有()fxdvy()3()fzfxv三、重积分的应用1、曲面的面积设曲面由方程 组成，则曲面的面积(,)zfxy21xyDAzd若光滑曲面方程为 ，且 ，则(,)0FxyzzF,()yx xyzzFD22xyzDAd2、质心（1）薄片的质心：
8、 ， ，(,)DMxy1(,)DxydM(,)Dyxyd若薄片是均匀的，密度为常数，则质心即形心 ，1DxdA1DydA（2）空间立体质心： ，(,)xyzdv则： ， ，1(,)xxyzvM1(,)xyzvM(,)zxyvM3、转动惯量（1）平面薄片 的转动惯量，若面密度为D,，2(,)dxIyxy2()dDIxy（2）空间立体的 转动惯量, 若密度为 ,z()xy, ,2()(xIzv2()yIv2()(,)dzIxzyv4、引力（1）对 面上的平面薄片 对原点处的单位质量质点的引力分量为Oy； ，3(,)dxDxFG 3(,)dyDxyFG2()xy（2）空间立体的 对空间任意一点处的单
9、位质量质点的引力分量为 03(,)xyzvr 03(,)yzvr03(,)zzFGdvr注：匀质球对球外的一质点的引力如同球的质量集中于球心时两质点的引力；匀质球对球内的某一质点的引力等于球心到该质点为半径的球对该点的引力。练习题：1、求极限 21lim()njij2、交换下列积分次序（1） ；（2） ；（3）2,xdfyd ln10(,)exfydsin02(,)xdfyd（4）2 21390(,),x xI 3、计算下列二重积分（1） ， ；（2） ；（3）xyDed(,)1y210yxIde0siny4、将在下列区域表示为极坐标形式（函数为 ）(,)fxy（1） ；（2）2(,)Dxyx
10、01,Dx（3） ；（4）10df210(,)xdf5、用极坐标计算积分（1） ；（2） ；（3） ；220()axy21120()xyd 20dxIe（4） ，其中 是 在第一象限区域；lnDdD（5） ，其中 是 在第一象限区域；21xy21xy6、 （1）求曲面 与 围成立体体积。2z6z（2）计算 面上 围成的闭区域为底，以曲面 为曲顶柱体体积。oa2zxy7、设函数 连续，且 ，其中 是由(,)fx(,)(,)DfxyfuvdD围成，求 。,12yy,8、设函数 在闭区域 上连续，且(,)fx2(),0xyyx，求 。281()Dfd(,)fxy9、设平面闭区域 ，(,),Daa，则
11、 1(,)0xyxy(cosin)xyy（ ）（A） （B） （C） （D）012cosinDd12Dd14(cosin)Dxyd10、计算 其中 由 围成l()Ixyxy2,3,111、计算 ，其中 由 ， ， 围成。Df2 3xyx12、已知 ，计算下列二重积分(,)1xy（1） ， 是定义在 连续正值函数，常数DafbfId()ft(,)。0,b（2） ，常数 。()xyIe013、设 在 上连续，求2(,fF,Dabcd(,)DIFxyd14、已知函数 具有二阶连续偏导数，且 ，)xy(1,)0fy,f，其中 ，计算二重积分Dadf),( 0),(xy。,xyI15、设 为连续函数，
12、，则 _.()fx1()()ttyFdfx(2)F16、设 连续， ，求 。20xtutx17、设 为连续函数， ，求证 。()f()()xtfu(0)f18、设函数 在区间 上具有连续的导数， ，且满足x,1 1f()tDxyd，其中 ，求 表达式。()tDfd()0,tytxtf19*、求极限230limarctnos(35)ttxtdyd20*、计算 ，其中 。()l(1yDId(,1,0tDxyx21、求极限 218li()njkinj22、计算 ，其中 为平面 所围成闭区域。3(dxyz0,1xyzxyz23、 （1）计算 ，其中 是由锥面 与平面 所围成闭区域。Izv2hzRh（2
13、） 是 平面 绕 旋转所得与 ， 所围区域。2(),xydyO2z824、计算 ，其中 为球面 在第一卦限的闭区域。z221xyz25、计算 ，其中 为球面 的闭区域。2xdy26、计算 ，其中 是不等式 所围成闭区域。zv2222(),xyzaxyz27、计算 ，其中 是不等式 所围成闭区2()xy0,0A域。28、求球体上 位于锥面 之间的部分的体积。ra,3429、空间闭区域 221(,),0,xyzzR22(,)xyz，则有 （ 0）（A） （B）124dvx 124ydv（C） （D）12zz12xzxyzdv30、计算 ，其中 为球面 的闭区域。2ln(1)xydv 2y31、计算
14、（1） ；（2）100sin()xyzIdd 110sinxyzIdd32、求球面 含在圆柱面 内部的那部分面积。22xyzaxya33、求两个直交圆柱面 围成立体的表面积。22,Rz34、求均匀薄片 是介于 之间的闭区域的质心。Dcoss()bb35、求均匀立体 是 围成的质心。2222, 0),zAAz36、设球体 中任意一点的密度到球心距离成正比，求球的重心。2(0)xya37、求均匀薄片 是由 与直线 所围成，绕 旋转的转动惯量（ ） 。2x1y1y138、求半径为 、高为 的均匀圆柱体绕轴旋转的转动惯量（ ） 。h39、设面密度为 ,半径为 的薄片 求它对位于点R22,0Rz处的单位质量质点的引力。0(,)0Ma40、求半径 的均匀球 对位于点 的单位质量质点的引力。2xyz0(,)Ma（1） ；（2） ；（3）aa
