1、 9复变函数练习题 第三章 复变函数的积分系 专业 班 姓名 学号 1 复变函数积分的概念 4 原函数与不定积分一选择题1设 为从原点沿 至 的弧段,则 C2yx1i2()Cxiydz(A) (B) (C) (D )56i56156156i2. 设 是 , 从 1 到 2 的线段,则 ()zt argz(A) (B) (C) (D)44i(1)4i1i3设 是从 到 的直线段,则 C02ized(A) (B) (C) (D)1e12ei2ei4设 在复平面处处解析且 ,则积分 ()fz()ifzi()ifzd(A) (B) (C) (D)不能确定2i20二填空题1 设 为沿原点 到点 的直线段
2、,则 2 。C0z1i2z2 设 为正向圆周 ,则|4|23(4)ACzd10.i三解答题1计算下列积分。(1)32621()0iziziiede10(2) 22sin1cosin4sin .24ii izdzeeii (3)1010sin(co)sinco.zdz(4)20 220sin1sini().iizd 2计算积分 的值,其中 为正向圆周:|CzdAC(1)2200|, 4.iiizedii积 分 曲 线 的 方 程 为则 原 积 分I=11(2) 2200|4,448.iiizCedii积 分 曲 线 的 方 程 为则 原 积 分I=3分别沿 与 算出积分 的值。 yx210()i
3、zd解:(1)沿 y=x 的积分曲线方程为(1),zitt则原积分 10 120()2()Iitidti(2)沿 的积分曲线方程为yx2,01ztit则原积分 120 132430()312().Iititdtiti4计算下列积分(1) ,C:从 到 的直线段;2()Cxyidz01iC 的方程: (1),itt,0()xtyt或12则原积分 120()1().3Itidti(2) ,C : 上沿正向从 1 到 。2()Czd|zC 的方程: ,0ie则原积分 2033 0(1)8.3iiiii iIdee13复变函数练习题 第三章 复变函数的积分系 专业 班 姓名 学号 2 柯西古萨基本定理
4、 3 基本定理的推广复合闭路定理一、选择题1 设 在单连通区域 内解析, 为 内任一闭路,则必有 ()fzBC(A) (B) Im()0Cfdz Re()0CfzdA(C) (D)|2设 为正向圆周 ,则 1|2z321cos()Czdz(A) (B) (C) (D)(3cosin)i06cos1i2sin13设 在单连通域 内处处解析且不为零, 为 内任何一条简单闭曲线,则积分)fz B 2()Cfzfd(A) (B) (C) (D)不能确定i2i0二、填空题1设 为正向圆周 ,则|3z|CzdA6.i2闭曲线 取正方向,则积分 0 。:|1C12()3zed三、解答题利用柯西积分公式求复积
5、分(1)判断被积函数具有几个奇点;(2)找出奇点中含在积分曲线内部的,若全都在积分曲线外部,则由柯西积分定理可得积分等零;若只有一个含在积分曲线内部,则直接利用柯西积分公式;若有多个含在积分曲线内部,则先利用复合闭路定理,再利用柯西积分公式.1计算下列积分(1) 2,:|(0);Cdza14. 2112=20.CCdzdzazaiia 解 : 2211.Cza zzidzia解 法 二 : 由 被 积 函 数 在 内 部 只 有 一 个 奇 点 ,故 由 柯 西 积 分 公 式 可 得(2) 2,:|2;1Cz211=+=2).CCdzdzii解 : (解法二: 2 1z被 积 函 数 在 内
6、 部 具 有 两 个 奇 点 ,分别作两个以 1, -1 为心,充分小的长度为半径的圆周 C1、 C2,且 C1 和 C2 含于 C 内部。由复合闭路定理, 12211Czzzzzdddii(3)2|5|1326.zzdzii同上题中的解法二,151 22|5133 31()()46z CCzzzzdddiiii(4) ,其中 正向2cos4ACdz2:xycs/() cos2cos2/().Cz idzi2计算积分 ,其中 C 为下列曲线:2(1)Cdz2 111() 22CCCI dzdzdzzzi ii(1) ; 1:|0.Iii解法二: 201zi(2) ;3:|Czi102.Ii解法
7、二: 2012()zziIiii(3) ; 1:|Czi02.Ii解法二: 1()ziIi16(4) 。3:|2Cz10.Iiii解法二: 20112201()()zzi ziIii i3计算 ,其中LnCzd(1) ;l|arg,:|1izCC 的方程: ,izeLn(1)2.i iCdedei(2) .l|arg2,:|ziziCzRC 的方程: ,iReLn(larg2)arg2.iCCCzdizidizRedi17复变函数练习题 第三章 复变函数的积分系 专业 班 姓名 学号 5 柯西积分公式 6 解析函数的高阶导数一选择题。1设 是正向圆周 ,则 C20xy2sin()41CzdA(
8、A) (B) (C) (D)ii02i2设 为正向圆周 ,则 |2z2cos(1)Czd(A) (B) (C) (D)sin1insin12sin13设 ,其中 ,则 |4()efzdz|4z()fi(A) (B) (C) (D)2i124设 为不经过点 与 的正向简单闭曲线,则 为 C2(1)zdA(A) (B) (C) (D)以上都有可能2i2i0二填空题:1闭曲线 取正方向,积分:|3z3(2).(1)zCedi1832 0111()22()() !zzz zzC eedzieiez 2设 ,其中 ,则 0 , 0 |2sin()Afzz|z(1)f (3)f。 ()=0(3)ff对 满 足 的 所 有 的 , , 从 而三解答题:1设 是解析函数且 ,求 。()fzuiv2uvxy()fz2.xyyuvx分 别 对 方 程两 边 关 于 和 求 偏 导 , 可 得().fzCR由 解 析 知 , 和 满 足 方 程 , 从 而2yxvy22()()xyvxuxyCfzCiz2计算 ,C 分别为:2(1)CdzA(1) ; (2) ; (3) .|1|2z|2z解: