1、第三章 效用论1. 已知一件衬衫的价格为 80 元，一份肯德基快餐的价格为 20 元，在某消费者关于这两种商品的效用最大化的均衡点上，一份肯德基快餐对衬衫的边际替代率 MRS 是多少？解答：按照两商品的边际替代率 MRS 的定义公式，可以将一份肯德基快餐对衬衫的边际替代率写成：MRS12X 2/X 1其中， X1表示肯德基快餐的份数； X2表示衬衫的件数； MRS12表示在维持效用水平不变的前提下，消费者增加一份肯德基快餐消费时所需要放弃的衬衫的消费数量。在该消费者实现关于这两种商品的效用最大化时，在均衡点上有MRS12P 1/P2即有: MRS12 0.252080它表明，在效用最大化的均衡
2、点上,该消费者关于一份肯德基快餐对衬衫的边际替代率 MRS为 0.25。2. 假设某消费者的均衡如图 31(即教材中第 96 页的图 322)所示。其中，横轴 OX1和纵轴 OX2 分别表示商品 1 和商品 2 的数量，线段 AB 为消费者的预算线，曲线图 31 某消费者的均衡U 为消费者的无差异曲线，E 点为效用最大化的均衡点。已知商品 1 的价格 P12 元。(1)求消费者的收入；(2)求商品 2 的价格 P2；(3)写出预算线方程；(4)求预算线的斜率；(5)求 E 点的 MRS12 的值。解答：(1)图中的横截距表示消费者的收入全部购买商品 1 的数量为 30 单位，且已知 P12 元
3、，所以，消费者的收入 I2 元3060 元。(2)图中纵截距表示消费者的收入全部购买商品 2 的数量为 20 单位，且由(1)已知收入I60 元，所以，商品 2 的价格 P2 I/2060/203 元。(3)由于预算线方程的一般形式为：P1X1 P2X2 I所以，由(1)、(2)可将预算线方程具体写为：2X 13X 260(4)将(3)中的预算线方程进一步整理为 X2 X120。很清楚，预算线的斜率为 。23 23(5)在消费者效用最大化的均衡点 E 上，有 MRS12 ，即无差异曲线斜率的绝对值即 MRSP1P2等于预算线斜率的绝对值 。因此，MRS 12 P1P2 P1P2 233.请画出
4、以下各位消费者对两种商品(咖啡和热茶) 的无差异曲线，同时请对 (2)和(3)分别写出消费者 B 和消费者 C 的效用函数。(1)消费者 A 喜欢喝咖啡，但对喝热茶无所谓。他总是喜欢有更多杯的咖啡，而从不在意有多少杯热茶。(2)消费者 B 喜欢一杯咖啡和一杯热茶一起喝，他从来不喜欢单独喝咖啡，或者单独喝热茶。(3)消费者 C 认为，在任何情况下，1 杯咖啡和 2 杯热茶是无差异的。(4)消费者 D 喜欢喝热茶，但厌恶喝咖啡。解答：(1)根据题意，对消费者 A 而言，热茶是中性商品，因此，热茶的消费数量不会影响消费者 A 的效用水平。消费者 A 的无差异曲线见图 32(a)。图 32 中的箭头均
5、表示效用水平增加的方向。(2)根据题意，对消费者 B 而言，咖啡和热茶是完全互补品，其效用函数是Uminx 1，x 2。消费者 B 的无差异曲线见图 32(b)。(3)根据题意，对消费者 C 而言，咖啡和热茶是完全替代品，其效用函数是U2x 1x 2。消费者 C 的无差异曲线见图 32(c)。(4)根据题意，对消费者 D 而言，咖啡是厌恶品。消费者 D 的无差异曲线见图 32(d)。,图 32 关于咖啡和热茶的不同消费者的无差异曲线4.对消费者实行补助有两种方法：一种是发给消费者一定数量的实物补助，另一种是发给消费者一笔现金补助，这笔现金额等于按实物补助折算的货币量。试用无差异曲线分析法，说明
6、哪一种补助方法能给消费者带来更大的效用。 图 33解答：一般说来，发给消费者现金补助会使消费者获得更大的效用。其原因在于：在现金补助的情况下，消费者可以按照自己的偏好来购买商品，以获得尽可能大的效用。如图 33所示。在图 33 中，直线 AB 是按实物补助折算的货币量构成的现金补助情况下的预算线。在现金补助的预算线 AB 上，消费者根据自己的偏好选择商品 1 和商品 2 的购买量分别为 x和 x ，从而实现了最大的效用水平 U2，即在图 33 中表现为预算线 AB 和无差异曲*1 *2线 U2 相切的均衡点 E。而在实物补助的情况下，则通常不会达到最大的效用水平 U2。因为，譬如，当实物补助的
7、商品组合为 F 点(即两商品数量分别为 x11、x21)，或者为 G 点(即两商品数量分别为x12 和 x22)时，则消费者能获得无差异曲线 U1 所表示的效用水平，显然，U1U2。5. 已知某消费者每年用于商品 1 和商品 2 的收入为 540 元，两商品的价格分别为P120 元和 P230 元，该消费者的效用函数为 U3X1X ，该消费者每年购买这两种商品2的数量应各是多少？每年从中获得的总效用是多少？解答：根据消费者的效用最大化的均衡条件: MU1MU2 P1P2其中，由 U3X 1X 可得2MU1 3X dTUdX1 2MU2 6X 1X2dTUdX2于是有: 3X26X1X2 203
8、0整理得: X 2 X1 (1)43将式(1)代入预算约束条件:20X 130X 2540得：20X 130 X154043解得：X 9 1将 X 9 代入式(1)得： 1X 12 2因此，该消费者每年购买这两种商品的数量应该为 9 和 12。将以上最优的商品组合代入效用函数得：U*3X (X )23912 2*1 *23 888它表明该消费者的最优商品购买组合给他带来的最大效用水平为 3 888。6. 假设某商品市场上只有 A、B 两个消费者，他们的需求函数各自为 Q 204P 和dAQ 30 5P。dB(1)列出这两个消费者的需求表和市场需求表。(2)根据(1)，画出这两个消费者的需求曲线
9、和市场需求曲线。解答：(1)由消费者 A 的需求函数 Q 204P，可编制消费者 A 的需求表；由消费者dAB 的需求函数 Q 305P，可编制消费 B 的需求表。至于市场的需求表的编制可以使用dB两种方法，一种方法是利用已得到消费者 A、B 的需求表，将每一价格水平上两个消费者的需求数量加总来编制市场需求表；另一种方法是先将消费者 A 和 B 的需求函数加总来求得市场需求函数，即市场需求函数 QdQ Q (20 4P) (305P)509P， 然后运dA dB用所得到的市场需求函数 Qd509P 来编制市场需求表。这两种方法所得到的市场需求表是相同的。按以上方法编制的 3 张需求表如下所示。
10、消费者 A 的需求表P QdA0 201 162 123 84 45 0,消费者 B 的需求表P QdB0 301 252 203 154 105 56 0,市场的需求表P QdQ Ad+QBd0 501 412 323 234 145 56 0(2)由(1)中的 3 张需求表，所画出的消费者 A 和 B 各自的需求曲线以及市场的需求曲线如图 34 所示。图 34在 P5 的范围，市场需求函数 Qd509P 成立；而当 P5 时，只有消费者 B 的需求函数才构成市场需求函数，即 Qd305P。在此，需要特别指出的是，市场需求曲线有一个折点，该点发生在价格 P5 和需求量 Qd5 的坐标点位置。
11、关于市场需求曲线的这一特征，可以从两个角度来解释：一个角度是从图形来理解，市场需求曲线是市场上单个消费者需求曲线的水平加总，即在 P5的范围，市场需求曲线由两个消费者需求曲线水平加总得到；而当 P5 时，只有消费者B 的需求曲线发生作用，所以，他的需求曲线就是市场需求曲线。另一个角度是从需求函数看，7. 假定某消费者的效用函数为 Uxeq f(3,8) 1xeq f(5,8) 2，两商品的价格分别为 P1，P 2，消费者的收入为 M。分别求该消费者关于商品 1 和商品 2 的需求函数。解答：根据消费者效用最大化的均衡条件eq f(MU 1,MU2)eq f(P 1,P2)其中，由已知的效用函数
12、 U xeq f(3,8) 1xeq f(5,8) 1 可得MU 1eq f(dTU, dx1)eq f(3,8) xeq f(5,8) 1xeq f(5,8) 2MU 2eq f(dTU, dx2)eq f(5,8) xeq f(3,8) 1xeq f(3,8) 2于是，有eq f(f(3,8)xf(5,8) 1xf(5,8)2,f(5,8)xf(3,8)1xf(3,8) 2)eq f(P 1,P2)整理得 eq f(3x 2,5x1) eq f(P 1,P2)即有 x 2eq f(5P 1x1,3P2)(1)将式(1)代入约束条件 P1x1P 2x2M，有P 1x1P 2eq f(5P 1
13、x1,3P2)M解得 xeq oal( *,1)eq f(3M,8P 1)代入式(1)得 xeq oal( *,2)eq f(5M,8P 2)。所以，该消费者关于两商品的需求函数为eq blcrc (avs4alco1(xoal( *,1)f(3M,8P 1)xoal(*,2)f(5M,8P 2)8. 令某消费者的收入为 M，两商品的价格为 P1、P 2。假定该消费者的无差异曲线是线性的，且斜率为a。求该消费者的最优商品消费组合。解答：由于无差异曲线是一条直线，且其斜率的绝对值 MRS12eq f(dx2,dx1)a，又由于预算线总是一条直线，且其斜率为eq f(P1,P2)，所以，该消费者的
14、最优商品组合有以下三种情况，其中第一、二种情况属于边角解，如图 35 所示。第一种情况：当 MRS12eq f(P1,P2)，即 aeq f(P1,P2)时，如图 35(a)所示，效用最大化的均衡点 E 位于横轴，它表示此时的最优解是一个边角解，即 xeq oal(,1)eq f(M,P1) ，xeq oal(*,2)0。也就是说，消费者将全部收入都购买商品 1，并由此达到最大的效用水平，该效用水平在图中用以实线表示的无差异曲线标出。显然，该效用水平高于在既定的预算线上的其他任何一个商品组合所能达到的效用水平，例如那些用虚线表示的无差异曲线的效用水平。图 35第二种情况：当 MRS12eq f
15、(P1,P2)，即 aeq f(P1,P2)时，如图 35(b)所示，效用最大化的均衡点 E 位于纵轴，它表示此时的最优解是一个边角解，即 xeq oal(,1)0，xeq oal(,2)eq f(M,P2)。也就是说，消费者将全部收入都购买商品 2，并由此达到最大的效用水平，该效用水平在图中用以实线表示的无差异曲线标出。显然，该效用水平高于在既定的预算线上的其他任何一个商品组合所能达到的效用水平，例如那些用虚线表示的无差异曲线的效用水平。第三种情况：当 MRS12eq f(P1,P2)，即 aeq f(P1,P2)时，如图 35(c)所示，无差异曲线与预算线重叠，效用最大化的均衡点可以是预算
16、线上任何一点的商品组合，即最优解为 xeq oal(,1)0，xeq oal(,2)0，且满足 P1x1P 2x2M。此时所达到的最大效用水平在图中用以实线表示的无差异曲线标出，显然，该效用水平高于其他任何一条在既定预算约束条件下可以实现的用虚线表示的无差异曲线的效用水平。9. 假定某消费者的效用函数为 Uq 0.53M ，其中，q 为某商品的消费量，M 为收入。求：(1)该消费者的需求函数；(2)该消费者的反需求函数；(3)当 peq f(1,12) ，q4 时的消费者剩余。解答：(1)由题意可得，商品的边际效用为MUeq f(U,q)0.5q 0.5货币的边际效用为eq f(U,M)3于是
17、，根据消费者均衡条件eq f(MU,p)，有eq f(0.5q 0.5 ,p)3整理得需求函数为 qeq f(1,36p 2)。(2)由需求函数 qeq f(1,36p 2)，可得反需求函数为peq f(1,6r(q)(3)由反需求函数 peq f(1,6r(q)，可得消费者剩余为CS eq oal(q,0)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,6r(q)dqpqeq f(1,3) qeq f(1,2)eq oal(q,0)pqeq f(1,3) qeq f(1 ,2)pq将 peq f(1,12)，q4 代入上式，则有消费者剩余CS eq f(1,3)4eq f(1,2) eq
18、f(1,12)4 eq f(1,3)10. 设某消费者的效用函数为柯布道格拉斯类型的，即 Ux y，商品 x 和商品 y 的价格分别为 Px和 Py，消费者的收入为 M， 和 为常数，且 1。(1)求该消费者关于商品 x 和商品 y 的需求函数。(2)证明当商品 x 和 y 的价格以及消费者的收入同时变动一个比例时，消费者对两商品的需求关系维持不变。(3)证明消费者效用函数中的参数 和 分别为商品 x 和商品 y 的消费支出占消费者收入的份额。解答：(1)由消费者的效用函数 Ux y，算得eq blc rc (avs4alco1(MU xf( U,x)x 1 yMUyf(U,y) x y1 )
19、消费者的预算约束方程为P xxP yyM(1)根据消费者效用最大化的均衡条件eq blcrc (avs4alco1(f(MU x,MUy)f(P x,Py)PxxP yyM) (2)得 eq blcrc (avs4alco1(f(x 1 y,xy1 )f(P x,Py)PxxP yyM) (3)图 36解方程组(3)，可得xM/P x(4)yM/P y(5)式(4)和式(5)即为消费者关于商品 x 和商品 y 的需求函数。上述需求函数的图形如图 36 所示。(2)商品 x 和 y 的价格以及消费者的收入同时变动一个比例，相当于消费者的预算线变为P xxP yyM(6)其中 为一非零常数。此时消费者效用最大化的均衡条件变为eq blcrc (avs4alco1(f(x 1 y,xy1 )f( Px,Py)PxxP yyM)(7)由于 0，故方程组 (7)化为eq blcrc (avs4alco1(f(x 1 y,xy1 )f( Px,Py)PxxP yyM) (8)显然，方程组(8)就是方程组(3)，故其解就是式(4) 和式(5) 。这表明，消费者在这种情况下对两商品的需求关系维持不变。(3)由消费者的需求函数式(4)和式(5) ，可得P xx/M(9)P yy/M(10)关系式(9)的右边正是商品 x 的消费支出占消费者收入的份额。关系式(10) 的右边正是
