1、第 9 章 多元函数的积分学第一节 重积分的概念与性质一、重积分的概念引例 1 曲顶柱体的体积曲顶柱体是指底是 面上的有界闭区域 ，它的侧面是以 的边界为准线而母线xOyD平行于 轴的柱面的一部分，它的顶面是曲面 ， ，且z ),(yxfzD,为 上的连续函数，如图所示，现在我们讨论如何计算上述曲顶柱体的体积0),(yxfD。V（1）分割区域 ：任取一组曲线网将区域 分割成 个小闭区域：Dn， ， ， ，12i（2）近似代替：在 中任取一点 ，用 表示 的面积，则以 为底，iD),(iii iD以 为高的平顶柱体的体积为： ，于是有),(if iifiiiV),(),21(n（3）作和：。ni
2、 iinif11),(（4）取极限：记 ，当 趋于零时，max1inidni iifV10),(lm引例 2 平面薄片的质量设有一平面薄片占有 面上的有界闭区域 ，它在点 处的面密度为OyD),(yx,且在 上连续，现在要计算该薄片的质量 。0),(yxDM首先作分割，将薄片任意分成 个小块，在 上任取一点 ，用 表示ni),(ii的面积，就可得到每个小块薄片质量 的近似值： ii ii),21(n再通过求和即得平面薄片质量的近似值： ，ni iini11),记 ，则 。max1inidni iiM10),(l1.二重积分的定义定义 1 设 是有界闭区域 上的有界函数，将闭区域 任意分割成 个
3、小闭区域),(yxfDDn， ， ， ，12in并用 表示第 个小闭区域 的面积。在每个小区域 上任取一点 ，iii i iiD),(作乘积（近似代替） ，并作和 ，记iif),(),21(nni iif1),(，如果当 趋于零时和式的极限 存在，则称此极)(max1iniDdni iif10),(lm限为函数 在有界闭区域 上的二重积分，记为,yf，其中 称为被积函数， 称为被积ni iiDfdxf10),(l),( ),(yxf dyxf),(表达式， 称为面积元素， 及 称为积分变量， 称为积分区域， 称为二重积分xyD号。定理 1 （可积的充分条件）若函数 在有界闭区域 上连续，则函数
4、 在),(xf ),(yxf上必可积。D定理 2（可积的必要条件）若函数 在有界闭区域 上可积，则函数 在),(yfD),(f上必有界。曲顶柱体体积 ；非均匀平面薄片质量 。dyxfVD),( dyxMD),(若 ，则由引例 1 知 表示曲顶柱体的体积；若 ，曲0),(yxf fD),( 0f顶柱面位于 面的下方，故二重积分为负值，其绝对值恰为曲顶柱体的体积，即O为曲顶柱体体积的负值；若 在区域 上正负相间，则dyxfD),( ),(yxf为位于 面上方的曲顶柱体体积与位于 面下方的曲顶柱体体积的代xyO数和。这一几何意义与一元函数定积分的几何意义完全类似。2.三重积分的定义定义 2 设三元函
5、数 是空间有界闭区域 上的有界函数，将 任意分割成),(zyxf 个小闭区域 ， ， ，并用 表示第 个小区域 的体积。现任取n12niVii一点 ，作乘积（近似代替） ，并作和iii),( iiif),(),21(n，记 ，如果当 趋于零时和式的极限ni iiiVf1),()(max1inid存在，则称此极限为函数 在有界闭区域 上的三重积分，ni iiif10),(lm ),(zyxf D记为 ，即 ，其中 称dVzyxf),( ni iiiVfdVzyxf10),(l),( ),(zyxf为被积函数， 称为被积表达式， 称为体积元素， ， 及 称为积分变f, x量， 称为积分区域， 称为
6、三重积分号， 称为积分区域。D与二重积分相类似，若函数 在有界区域 上连续，则 在 上的三),(zyxf),(zyxf重积分必存在，即 在 上可积。),(zyxf如果 于 上，表示物体在 点的体密度， 是该物体所占有的空0),(f ),(zyx间闭区域，则 在 上的三重积分就为该物体的质量 ，即zyx M。dVfM),(二、 重积分的性质性质 1 如果函数 ， 都在 上可积，则对任意常数 ， ，函数),(yxf),(gD在 上也可积，且有,),(gyxfD。 DDdyxgdyxfdyxf ),(),(),()(这一性质称为重积分的线性性质。性质 2 如果函数 在 上可积，用曲线将 分成两个闭区
7、域 ， ，则),(f 12D在 和 上仍可积，且有： 。这),(yxf1D2 21 ),(),(),(DDD dyxfdyxfdyxf一性质称为重积分的区域可加性。性质 3 如果函数 在 上可积，并且在 上 ，则 。),(yxf 0),(f 0),(f性质 4 如果函数 ， 都在 上可积，且在 上有： 成),(f),(g ),(),(yxgf立，则 。DDdyxdyxf ),(性质 5 如果函数 在区域 上可积，则 在 上也可积，且有：),(fD),(yxfD。DDdyxfdyxf ),(),(性质 6 如果 ，则有： 。其中 表示 的面积。1,f )(D)(D性质 7 如果函数 在 上连续，
8、则在 上至少存在一点 ，使),(yxf ),(。此性质称为二重积分中值定理，称)(,),(fdyxfD为函数 在区域 上的函数平均值。)(),(f),(yxfD性质 8 如果函数 在区域 上连续可积， ， 为 在区域 上的最小,f mM),(yxfD值和最大值，则有 。),()(dyxfDm上述性质对三重积分仍然成立。例 1 估计二重积分 的值，其中 为圆形区域 。DyxecosinD42yx解 对任意 均有 ，故 ，而 ，yx),( 1si1eecosin)(D由性质 8 得 。edeDyx44cosin第二节 二重积分的计算法一、直角坐标系下二重积分的计算法二重积分可表示成 DDdxyfd
9、yxf),(),(设积分区域 可用不等式组 ，21ba不妨设函数 ，则 应表示以 为底、以 为顶的曲顶0),(yxfDxyf),( ),(yxfz柱体的体积，如图所示：，从而曲顶柱体可视为平行截面为已知的空间体，由定积分可求得)(21,xdfA其体积为： 。从而得积分等式： 。ba)( dxyfdxyfbaxD )(21,),(若 为 型区域： ，则Dx ,)(,21yx。)(21,),(xbadfdyf类似的，如果区域 可以用不等式组 ，D)()(21yydc则 。)(21,),(ydcDdxfxyf例 1 计算 其中 为：（a）由直线 ， 及 围成。 （b）由直1y2xxy线 和抛物线 围
10、成。xy62xy解 （a）如图所示： ，由公式得21,),(xy。8921312 dxxydxydD如按 型区域计算，则区域 可表示为： ，由公式得D21,),(yxy。89)4(21321 dyxydxydD（b）区域 可表示为 ，由公式得42,1)6(),2 yx。368422351)6(24 dyxydxydD本题如按 型区域计算麻烦。例 2 计算 ，其中 为是由直线 ， 及 所围成的闭区域。D)sin(D0x1yx解 如图所示：区域 既是 型域，又是 型域，若按 型区域计算，由公式得xy。21cos)sin()sin()sin( 1020212 ddydxyD二、极坐标系下二重积分的计
11、算法有些二重积分的积分区域 的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便，且被积函数用D极坐标变量 ， 表达比较简单。这时，可以考虑利用极坐标系来计算二重积分。r假设积分区域 满足这样的条件：从极点 出发且穿过闭区域 内部的射线与 的边OD界至多有两个交点。此时，用极坐标系下的坐标曲线来划分区域 ，即用过极点 的一组O射线（ =常数）及另一组以 为圆心的同心圆（ =常数）来划分区域 ，那么除了包含r区域 的边界点的小闭区域外，其余小区域均为小曲边四边形，如图所示。考虑一个一般D性的小闭区域，即 ， 各自取微小增量 ， 后所形成的小曲边四边形区域，如图阴rd影部分。在舍去高阶无穷小的情况下，可把它近似地
12、看成一个小矩形域，矩形的两个边长分别为 ， 。由此得到极坐标系下二重积分的面积元素为： 。又由直角d rd坐标与极坐标的关系 可知，被积函数 。由此，我sincoryx )sin,co(),(rfyxf们将二重积分 化为极坐标系下的形式，即Ddf),(。此式表明，要将二重积分中的变量由直角 D rdryxf )si,co),(坐标化为极坐标，只要把被积函数中的 ， 分别转换成 ， ，并将面积元素xycosrin换成极坐标系下的面积元素 即可。d极坐标系下的二重积分，同样可以化为二次积分来计算。设积分区域 可用不等式组 ， 来表示，如图所示。其中)()(21rr， 在区间 上连续，且 。 。 。
13、)(1r2,0i ),1i 20在 上任意取定一个 值，对应于这个 值， 上的点的极径 从 变到,Dr)(1。于是先以 为积分变量，在区间 上作定积分，记为)(2rr )(,21r。)(21 )sin,cor rdfF又因为 的变化区间为 ，于是再以 为积分变量对 在 上求定积分：)(F,。此积分值便为式中对应的二重积分值。从而得到极坐标系下二重积分化为二d)(次积分的公式为 。)(21 )sin,co)sin,co( rD rdfdrrf若积分区域 由闭曲线 围成，且极点 在 的内部，如图所示：右边的二次(OD积分为 )(02 )sin,cor rdfd若积分区域 由闭曲线 围成，且极点 在
14、 的边界上，如图所示：此时求出(使 的两个角度 及 ，则右边的二次积分为 。)(r)(0)sin,cor rdfd例 3 计算 ，其中 是由 与 所围成的圆环在dxyD2D12yx42yx第象限部分。解 如图所示区域 ，可用极坐标系下的不等式表示成： ： ， 。D201r由公式得 。672102drdxyD例 4 计算 ，其中 是由 所围成。dxyD2Dxy22解 是由圆曲线所围成，如图所示，其边界曲线的极坐标方程为 。由于极cosr点 在 的边界上，为了确定 的积分限，令 ，则 。积分区域Ocosr在极坐标系下可用不等式表示为 ： ， 。由式子得2s0r。 31644cos2022rddxy
15、D例 5 计算 ，其中 为圆域 。e2D2ayx)0(解 如图所示，用极坐标系下的不等式表示为 ， ，由式子得r)1(22202aarDyx edd 利用本例所得结果，可以计算一个重要的反常积分 。dxe02设 ，),(221Ryx，2。,),(yxS由图可见， 由于被积函数 ，所以有21D02yxeddxyedxyeDSD2212由例 5 知 ， 。)1(12Ryx)1(222Ryxee而积分 2022222 4 RxRxRyRRxyxSyx dedededede所以 。)1(4)1(42220RRxRe令 ，上式两端趋于同一极限 ，于是得202dx第三节三重积分的计算法一、直角坐标系下三重
16、积分的计算方法称为三重积分的直角坐标系形式，称 为直角坐标系下的体dxyzf),( dxyz积元素。将积分区域 投影到 面的投影柱面把 的边界曲面 分成下边界曲面 和上边O1界曲面 ，其方程分别为2： 1),(1yxz：22且 。现在 内任取一点 过该点作平行于 轴的直线，这直线通),(),(1yxzxyD),(yxz过 穿入 ，然后通过 穿出 ，穿入点和穿出点的竖坐标分别为 和 ，2),(1yx),(2z于是先对固定的 ，在区间 上作定积分 当xy),( ),(,21yxz,)(21zyxdf点 在 内变化时，该定积分是 上的二元函数，即),(yxxyDxyD。然后，将 在 上作二重积分，可
17、以证明，该二),(21),zyxdzf ),(xy重积分 就为三重积分的积分值，即xyD),(。 xyxy DzD dxyzfddzf ),(21),),(),(上式右端的二重积分，可视 的类型再化成二次积分，如若 为 型域，即xy xyD。),()(,21 baxyDxy 则 。称此式右端为三次积分。 ),(),(2121 ), yxzyxba dzfddzf例 1 计算 ，其中 是由三个坐标面及平面 所围成的有界x 12zyx闭区域。解 将 作为 型空间区域，如图所示：y则 ),(210),( xyDyxzx其中 ,如图所示。 为 型平面区域，即1,Dxy xy，由公式得10,20),(x
18、yxDy 481)(41)21(022011010 dxdyxdzddzyx。如果将空间区域 向 轴作投影得一投影区间 ，且 能表示成z,fe。其中 是过点 且平行于 面的平行截,),(,feDyxzxyzD),0(zxOy所得的平面区域，则称 是 型空间区域，其特点是：当 时，竖坐标为 的z fez平面截 所得的是一个平面区域 ，如图所示：z当 是 型空间区域时，对固定的 ，我们先在截面区域 上作二重积分z ,fezD，而 在 区间上变动时该积分为 的函数，即ZDdxyf),(,fez，然后将 在区间 上求定积分：Zzfz,)(z,fe。可以证明，该定积分值就是三重积分的值，即dxyfdfe
19、DfeZ),()(。zfxyzffeZ),(),(如果二重积分 能较容易地算出，其结果对 积分也比较方便，那么ZDdxyf, z就可以用公式来计算三重积分。例 2 计算 ，其中 为椭球 。xyz2 122czbyax解 将 视为 型空间区域，如图所示：故 可表示成：。其中,),(,czDyxzz ),(22czyxDz (c则 。其中 表示 的面积，由椭czDc ddxyzdxyzZ )(222 )(zzD圆面积的公式得 。22211)( czabczbczaDz 于是得 。322 541dzdxyc二、柱面坐标系下三重积分的计算方法设 为空间一点，点 在 面上的投影点 的极坐标为 ， 。则这
20、样),(zMMxOyPr的三个数 ， ， 就称为点 记为 的柱面坐标，如图所示：这里规定 ，r),(zr， 的变化范围为： ， ， 。zr020z三组坐标面分别为：=常数，即以 轴为中心的圆柱面；rz=常数，即过 轴的半平面；=常数，即与 面平行的平面。zxOy显然，点 的直角坐标与柱面坐标的关系为Mzryxsinco现在讨论怎样把三重积分 中的变量从直角坐标变换成柱面坐标，为此，dVzxf),(用三组坐标面 =常数， =常数， =常数，把区域 分成几个小闭区域除了含 的边界r点的一些不规则小区域外，其余的小区域都是小柱体，先考虑由 ， ， 各取得微小增rz量 ， ， 所构成的小柱体的体积，如
21、图所示：dz这个体积等于底面积与高的乘积。现在高是 ，底面积在不计高阶无穷小时为dz（即极坐标系中的面积元素） 。于是得 ，这就是柱面坐标系中的体积r rV元素，再由关系式就可以将三重积分化为柱面坐标形式，即 rfdVzyxf ),sin,co(),(对于上式右端的柱面坐标系下的三重积分的计算，则可化为三次积分来进行，化为三次积分时，积分限可根据 ， ， 在积分区域 中的变化范围来确定。z例 3 利用柱面坐标计算三重积分 ，其中 是由曲面 与平面dxyz2yxz所围成的闭区域。4z解 把闭区域 投影到 面上，得半径为 的圆形闭区域 ，将 用极坐标表示为xOy2D在 内任取一点 ，过该点作平行于 轴的直线，20,),(rDD),(rz此直线通过曲面 即 穿入 内，然后通过平面 穿出 外，如图所2yxzrz4z示：因此闭区域 可表示成 。20,4),(2 rz
