1、椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用江西省上犹中学 刘鹏关键词：椭圆 焦点弦 弦长公式 应用摘要：直线与椭圆相交时的弦长问题，可以用万能的弦长公式解决即或者 ，而有一种特殊的弦是过焦点的弦，它的弦长有21=ABkx21=+()kABy专门的公式： ，如果记住公式，可以给我们解题带来方便.2cosab下面我们用万能弦长公式，余弦定理，焦半径公式，仿射性四种方法来推导椭圆的焦点弦长公式，这几种方法涉及到很多思想，最后举例说明其应用.解法一：根据弦长公式直接带入解决.题：设椭圆方程为 ，左右焦点分别为 ，直线 l 过椭圆的右焦点 交12byax12(,0)(,Fc2F椭圆于 两点，求弦长 .1(
2、,)(,)ABAB椭圆方程 可化为 ，2byax 022bayx直线 l 过右焦点，则可以假设直线为： (斜率不存在即为 时) ，代入得：mc0m，整理得，2222() 0mycab22240baycb ，4121222,by2424212 2 (1)=+()()1k mcbabmABaa 22abm（1）若直线 l 的倾斜角为 ，且不为 ,则 ，则有：901tanm,222 211ttanabbAB由正切化为余弦，得到最后的焦点弦长公式为 .2cosabAB（2）若 ，则 ，带入 ,得通径长为 ，同样满足式.并且=90m221abm2a由,当223222222()()()1=aba babA
3、Bba且仅当 即斜率不存在的时候，过焦点弦长最短为 ，故可知通径是最短的焦点弦，.0mb2综上，焦点弦长公式为 .2cosabAB解法二：根据余弦定理解决题：设椭圆方程为 ，左右焦点分别为 ，直线 l 过椭圆的右焦点 交12byax12(,0)(,Fc2F椭圆于 两点，求弦长 .1(,)(,)ABAB解：如右图所示，连结 ，设 ，假设直线1F22=,xy的倾斜角为 ，则由椭圆定义可得 ，在11aFa中，由余弦定理得12AF，化简可得 ，在22()()cos(4cxa2cosbxa中，由余弦定理同理可得 ，则弦长12BF2cosby.222=cosbaAxya解法三：利用焦半径公式解决题：设椭圆
4、方程为 ，左右焦点分别为 ，直线 l 过椭圆的右焦点 交12byax12(,0)(,Fc 2F椭圆于 两点，求弦长 .1(,)(,)ABAB解：由解法一知 .由椭22121212=()mcbacxmycya圆的第二定义可得焦半径公式，那么 2122,FAaexBex故2221212 (1)=()bmabmABaexaex后面分析同解法一.解法四：利用仿射性解决题：设椭圆方程为 ，左右焦点分别为 ，直线 l 过椭圆的右焦点 交12byax12(,0)(,Fc2F椭圆于 两点，求弦长 .1(,)(,)ABAB解：利用仿射性，可做如下变换 ，则原椭圆变为 ，这是一个以原点为圆xayb22()xya心
5、， 为半径的圆.假设原直线的斜率为 ，则变换后斜率为 .椭圆中弦长 ，akkb21=ABkx经过变换后变为 ，带入，得变换前后弦长关系为21()aABxb21=bka而我们知道圆的弦长可以用垂径定理求得.如图所示，假设直线为，圆心到直线的距()aykxcb离为 ，根据半径21()dakb为 ，勾股定理求得弦长为，将此结果带入中，得2222()(1)=1cabkABak，由 ，带入得2222211(1)(1)=bkbkabkabkABABatan.2cos上面我们分别用了四种不同的方法，求出了椭圆中过焦点的弦长公式为：，记住这个公式，可以帮助我们快速解决一些题目，下面我们举例说明.2csabAB
6、例 1 已知椭圆 ，过椭圆焦点且斜率为 的直线交椭圆于 两点，求 .215xy3,AB分析：如果直接用弦长公式解决，因为有根号，特别繁琐，利用公式则迎刃而解.解：由题， ,带入 得 .22,4=3abc，2cosabAB=10例 2 已知点 在椭圆 ： 上，过椭圆 的右焦点 的直线3(1,)PC21(0)xyabC2(,)F与椭圆 交于 两点.lC,MN（1）求椭圆的标准方程；（2）若 是椭圆 经过原点 的弦，且 ， ,试判断 是否为定值？若是定ABOMNABP2W值，求出这个定值，若不是，说明理由.分析：因为 过焦点，故弦长可以用过焦点的弦长公式解决，显得十分简洁简单.l解：（1）由题知 ，
7、将点 带入得 ，又 ，解得 ，故椭1c2194ab22abc24,3ab圆方程为 .243xy（2）假设 ，则 ，设倾斜角为 ，则 ，根据过焦点(,)Amn2Bmn2cosmn的弦长公式则 ，故2 22134cos()4abnMNmn.22=43ABmnW（ ）例 3 如图，已知椭圆 的左右焦点为 ，过 的直线 交椭圆于 两点，过214xy12,F1l,AC的直线 交椭圆于 两点， 交于点 ( 在 轴下方) ，且 ，求四边形1F2l,BD12,lPx1234FP的面积的最大值.ABC分析：注意到以原点为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆没有交点，故形成 的点 在圆12P内，先可以用焦点弦长公式表示出面积，再利用换元求出其最大值.解：假设 的倾斜角为 ,则 的倾斜角为 ，由椭圆的焦点弦长公式得： ,1l2l3+4 24cosAC， ,24cos()BD 22111=cos4s()SACBD设 22()4cos()f 7171971cos(insin2+cosin4248（ ）设 ，in2,)t则 ,带入得2s41t21()8ft即 79()8f,此时 ，min142ft t即 ，得到 .scos=8综上，四边形 的最大值为 .此时ABCD25149S，得到 的倾斜角为 ,刚好两直线关于 轴对称，=82l78y如右图所示.
