1、1毕业论文开题报告数学与应用数学循环矩阵及其计算问题一、选题的背景与意义背景循环矩阵是一类很重要的特殊矩阵，它在很多领域中都有着广泛的应用。如在编码理论，数理统计，理论物理，固态物理，结构计算，分子轨道理论，数学图象处理等方面应用很广。而循环矩阵的逆特征值问题，在力学振动系统设计，分子结构理论，线性多变量控制理论及数值分析等领域中也经常出现。因此，自1950年提出循环矩阵的概念以来，许多数学工作者对它进行了大量研究，得出很多成果。目前由于循环矩阵的理论还不是很完善，有些理论过于繁琐复杂，晦涩难懂，在实际应用中也不是很方便，而且由于不同的研究人员的研究视角不同，对其界定不同，结论也就不同，使得循
2、环矩阵的理论成果比较多且杂，在应用过程中难以取舍等等。循环目前在实际生活中许多的数学模型是涉及循环矩阵的，数学工作者对循环矩阵的研究仍在继续着，循环矩阵及其计算问题是多国数学工作者研究的一个热点，而且循环矩阵还内部还出现大量的分支结构，包括广义循环矩阵及其逆的有关问题，分块矩阵，R循环矩阵，G循环矩阵等等，随着研究的深入对循环矩阵的研究也发生了一定的变化，循环矩阵中分化出越来越多的子结构，对循环矩阵的研究越来越细致，越来越透彻。本文根据已有文献的结论，给出循环矩阵的一些特殊性质定理并将其应用到具体问题中去，解决一些实际中的循环矩阵问题。意义本文旨在循环矩阵的性质定理基础上，进行创新和提高，在理
3、论和实际应用方面进行发展，解决一些前人尚未解决或解决不深的问题，能够简化运算，将一些晦涩难懂、复杂的问题进行整理和简化，使其表达形式更加简洁系统，对循环矩阵的讨论更加完整，了解更加深入，在讨论过程中寻求一些简便算法，在使用这些理论的时候能够灵活自如，根据所发展的性质定理，通过举例说明探索出循环矩阵问题的新解法，并且将这些理论知识应用到具体实践中去，解决一些实际2应用中的问题，真正做到数学来源于生活实际，应用于生活实际。归纳整理针对循环矩阵的一些性质定理及其用法，总结出一般步骤，方便后人能够方便使用。二、研究的基本内容与拟解决的主要问题论文提纲1、阐述有关循环矩阵的背景、有关这方面的研究现状以及
4、它在实际问题中的一些应用。2、对于已有的关于循环矩阵及其计算问题研究成果进行归纳总结，整理出一套系统完整的理论，包括性质定理及其他们的用法等等。3、在总结的循环矩阵的理论基础上进行创新、发展和提高，拟解决一些前人尚未解决或解决不深的问题，深入了解循环矩阵的性质定理及其具体意义。寻求在实际应用中的更优解法；4、结合归纳总结和发展的有关循环矩阵的性质及其定理，进行举例说明它们在实际用法，并寻求最优解决方法。5、归纳整理出针对循环矩阵的一套系统完整的理论及其用法，总结出一般的最优解题步骤等等。6、对于论文中一些不足与问题作总结，找出自己论文中的局限性，应该如何改进，后人可以在哪些角度以进一步提高等等
5、。三、研究的方法与技术路线首先，从循环矩阵背景，发展现状和有关理论的具体应用入手，阐述论文意义；其次，归纳总结前人的理论成果，归纳出一套系统完整的能够灵活应用的理论基础；再次，在循环矩阵的理论基础上进行创新、发展和提高，更加深入的了解循环矩阵的性质及其意义；最后，通过举例说明验证本论文的研究价值。四、研究的总体安排与进度2010年12月8日提交文献综述；2010年12月10日2010年12月15日提交开题报告，提交外文翻译；2010年12月20日准备开题，开题论证；2011年4月4日提交毕业论文；2011年4月5日2011年4月29日完成毕业论文的修改与完善；2011年5月1日前准备毕业论文答
6、辩及正式答辩。3五、主要参考文献（1）王萼芳、石生明高等代数高等教育出版社，第三版（2）孙清华、孙昊、李金兰高等代数内容、方法与技巧华中科技大学出版社第三版（3）张凯院、徐仲矩阵论新北工业大学出版社张贤达（4）矩阵分析与应用清华大学出版社（5）程云鹏矩阵论M西安西北工业大学出版社，2001（6）王萼芳高等代数教程M清华大学出版社19967北京大学数学数学力学系高等代数北京人民教育出版社1979290（8）屠伯堰线性代数方法导引上海；复旦大学出版社，198612110KIMKH,KRABILLJRCIRCULANTBOOLEANRELATIONMATRICESJCZECHMATHJ,1974,2
7、424725111GAVALECMPERIODSOFSPECIALFUZZYMATRICESJTATRAMTMATHPUBL,1999,16476012KATARINACPOWERSOFMATRICESOWERDISTRIBUTIVELATTICESAREVIEWJFUZZYSETSANDSYSTEMS,2003,13862764113SCHWARZSCIRCULANTBOOLEANMATRICESJCZECHMATH,1974,242522534毕业论文文献综述数学与应用数学循环矩阵及其计算问题循环矩阵是一类特殊的矩阵，它的概念是TMUIR于1885年首先提出来的，他称如下形式的矩阵011,
8、NNCCIRCCCC012110121230NNNAAAAAAAAAAAA为循环矩阵，即一个NN矩阵C被称为循环矩阵,如果它的元素CI,JC1,JI1,I,J1,2,N,且下标是取模N的换言之,第I行的元素是矩阵C的第一行的元素循环向右移动I1步得到的1显然,任意的循环矩阵都惟一地被其第一行的元素所确定因此,常用CIRCC1,C2,CN来表示第一行的元素依次是C1,C2,CN的循环矩阵C1并约定用W表示第一行是0,1,0,0的循环矩阵,即WCIRC0,1,0,0循环矩阵的平方仍然是循环矩阵所以一个简便的ON2的算法就是先用原始的矩阵乘法计算出第一行，然后余下的行参照第一行的数值循环移就得到了，
9、如果取01000001000000110000A5为基本矩阵，则NC可改写为210121NNNCCICACACA（1），正是由于（1）式的成立才使得循环矩阵NC的研究得以顺利进行。然而直到1950年之前，对于循环矩阵的研究还没有引起数学工作者的足够重视。19501955年，GOOD等才分别对循环矩阵的逆，行列式及其特征值进行了研究。近年来，循环矩阵已成为矩阵理论和应用数学领域中一个非常活跃的和重要的研究方向，他之所以引起数学工作者如此大的研究兴趣，主要基于两方面的原因一是循环矩阵是一类非常重要的特殊矩阵，在现代科技工程领域中被广泛的应用，在分子震动，信号处理，纠错码理论，编码理论，图像处理，结
10、构计算，电动力学。二是由于循环矩阵类有许多特殊而良好的性质和结构，已被广泛的应用于应用数学和计算数学的许多领域，如控制理论，最优化，求解（偏）微分方程，矩阵分解，多目标决策，二次型化简及平面几何学等。1950年以来，循环矩阵被数学界高度重视，发展迅速，各种新的循环矩阵理论被相继提出提出，已有几十种。如向后循环矩阵，循环布尔矩阵，Y（块）循环矩阵，R循环矩阵，向后（对称R循环矩阵等。而循环矩阵的逆特征值问题，在力学振动系统设计，分子结构理论，线性多变量控制理论及数值分析等领域中也经常出现。因此，自1950年提出循环矩阵的概念以来，许多数学工作者对它进行了大量研究，得出很多成果。目前由于循环矩阵的
11、理论还不是很完善，有些理论过于繁琐复杂，晦涩难懂，在实际应用中也不是很方便，而且由于不同的研究人员的研究视角不同，对其界定不同，结论也就不同，使得循环矩阵的理论成果比较多且杂，在应用过程中难以取舍等等。6目前在实际生活中许多的数学模型是涉及循环矩阵的，数学工作者对循环矩阵的研究仍在继续着，循环矩阵及其计算问题是多国数学工作者研究的一个热点，而且循环矩阵还内部还出现大量的分支结构，包括广义循环矩阵及其逆的有关问题，分块矩阵，R循环矩阵，G循环矩阵等等，随着研究的深入对循环矩阵的研究也发生了一定的变化，循环矩阵中分化出越来越多的子结构，对循环矩阵的研究越来越细致，越来越透彻。这些文献的结论，给出循
12、环矩阵的一些特殊性质定理及其实际应用，能够解决一些实际中的循环矩阵问题。它们还讲述了循环矩阵的特征值由其第一行元素的离散傅里叶变换组成，并且第一行元素是特征值的傅里叶变换的逆，而且所有同阶循环矩阵的特征向量相同还包括了循环矩阵的逆矩阵、乘积矩阵、和矩阵和行列式等的性质。但国内外循环矩阵研究的理论还不是很完善，而在实际生活中许多的数学模型是有关循环矩阵的，数学工作者对循环矩阵的研究仍在继续着。下面简要介绍一下这些文献中的主要理论1、形如011,NNCCIRCCCC012110121230NNNAAAAAAAAAAAA的矩阵成为循环矩阵，他可以由其第一行元素完全确定，简记为,120NRAAACIR
13、CCN，它为循环矩阵的充分必要条件是KJKJAAAKJNKJ,NJ。72、定理1对任何循环矩阵,120NRAAACIRCA，均有,111NWFWFFAPDIAGP，反之，对任何对角矩阵,120NRAAACIRCCN，1PCP必为循环矩阵，其中P为2112112421211101111111,NNNNNNWWWWWWWWWP。3、定理2两个循环矩阵A与B的乘积是循环矩阵，并且ABBA4、对于向量X,110）（XXXN定义XS如下,1,0XSJJX）（显然1,1,0NXS，在集合0,1,N1上定义一个二元运算“”如下MOD,1,1,0,NJIJINJI则0,1,N1在运算“”的作用下同构于ZN把（
14、0,1,N1,）记作群ZN,MOD,1,1,0,2211212121JJJJJJJJJJNN定义，定理3A,B,CMNF是循环矩阵，其中ACIRCX,BCIRCY,CCIRYZ,则CAB1,0,YXZSSS5、定理4N阶循环矩阵CIRCX是幂等矩阵当且仅当对任意的,1,0XS是ZN的子群6、性质1同阶循环矩阵，它们和矩阵为循环矩阵，乘积满足交换律且仍为循环矩阵，循环矩阵的逆矩阵为循环矩阵7、性质2可逆的N阶循环矩阵的逆矩阵仍是N阶循环矩阵8推论设A为N阶可逆循环矩阵，则A的伴随矩阵A的也是N阶循环矩阵8、性质3两个N阶循环矩阵A,B的乘积仍为N阶循环矩阵，且ABBA9、性质4任何一个N阶循环矩
15、阵都可以在复数域上对角化10、定理5设CN是一行元素为）（CCCN110,的循环矩阵，若C可逆，则1C是第一行为）（BBBN110,的循环矩阵，其中BBBN,10是方程组的唯一解00110XXXNC的唯一解11、定理6设矩阵C可逆，则1C是第一行元素为）（CCCCCCN110,的循环矩阵，其中,110CCCN分别是第一列元素的代数余子式12、定理7设A是以AAAN,21为元素的N阶循环矩阵，则矩阵A的行列式,21WWWNFFFA其中WWWN,21是N次单位根13、定理8设N阶Y循环矩阵,21YNAAAA则矩阵A的行列式,21WWWNFFFA其中WWWXAAANNNXXF,21121是多项式YX
16、ND的N个不同的根主要参考文献（1）王萼芳、石生明高等代数高等教育出版社，第三版（2）孙清华、孙昊、李金兰高等代数内容、方法与技巧华中科技大学出版社第三版（3）张凯院、徐仲矩阵论新北工业大学出版社张贤达（4）矩阵分析与应用清华大学出版社9（5）程云鹏矩阵论M西安西北工业大学出版社，2001（6）王萼芳高等代数教程M清华大学出版社19967北京大学数学数学力学系高等代数北京人民教育出版社1979290（8）屠伯堰线性代数方法导引上海；复旦大学出版社，198612110KIMKH,KRABILLJRCIRCULANTBOOLEANRELATIONMATRICESJCZECHMATHJ,1974,2
17、424725111GAVALECMPERIODSOFSPECIALFUZZYMATRICESJTATRAMTMATHPUBL,1999,16476012KATARINACPOWERSOFMATRICESOWERDISTRIBUTIVELATTICESAREVIEWJFUZZYSETSANDSYSTEMS,2003,13862764113SCHWARZSCIRCULANTBOOLEANMATRICESJCZECHMATH,1974,2425225310本科毕业设计（20届）循环矩阵及其计算问题11摘要【摘要】本文针对循环矩阵在许多实际问题具有非常广泛的应用这一实际情况，在前人对循环矩阵的研究基础
18、上，介绍了循环矩阵的概念、性质，又根据其结构的特殊性，讨论了它的行列式的计算方法，给出了循环矩阵行列式的一般计算公式，并概括出了其可逆的充要条件以及求逆矩阵的方法等。在此基础上本文还讨论了循环矩阵的特征根，给出了其对角化的一般方法和基本步骤，并简单证明了循环矩阵一些基本性质和定理，稍微改进了一些性质的证明方法及计算方法，使大家对循环矩阵的理解更为透彻，计算起来更为简捷。最后本文还实际解决了一些循环矩阵中的典型题目，真正使循环矩阵来源于生活，应用于生活。【关键词】循环矩阵；特征值；行列式；逆矩阵；对角化12ABSTRACT【ABSTRACT】ASCYCLICMATRIXISVERYEXTENSI
19、VEAPPLICATIONININMANYPRACTICALPROBLEMS,THISPAPERINTRODUCESTHECONCEPT,NATUREOFCYCLICMATRIXPARTICULARITYBASEDONTHERESEARCHOFOURPREDECESSORSACCORDINGTOSPECIFICCHARACTERISTICOFTHECYCLICMATRIX,THISPAPERDISCUSSESTHECALCULATIONMETHODOFTHEDETERMINANTOFIT,CONCLUDINGTHECYCLICMATRIXCALCULATIONFORMULAANDGENERAL
20、IZINGTHESUFFICIENTANDNECESSARYCONDITIONSANDTHEWAYTOSEEKTHEMETHODOFITSREVERSIBLEINVERSEMATRIXETCONTHISBASIS,THISARTICLEALSODISCUSSESTHECHARACTERISTICROOTOFTHECYCLICMATRIXTHATTELLUSITSGENERALMETHODSANDBASICSTEPTOTHEDIAGONALIZATION,ANDITSIMPLYPROVESOMEBASICPROPERTIESANDTHEOREMOFTHECYCLICMATRIXITALSOSLI
21、GHTLYIMPROVESSOMEPROOFMETHODSOFTHESEPROPERTIESANDCALCULATINGMETHODS,INORDERTOUNDERSTANDTHECYCLICMATRIXMORETHOROUGHLYOFUSANDTOCOMPUTETHEMMOREFORTHRIGHTATLAST,THISPAPERALSOACTUALLYSOLVESSOMETYPICALPROBLEMSOFCYCLICMATRIX,ANDMAKETHECYCLICMATRIXORIGINATESCOMEFROMLIFE,ANDISAPPLIEDTOLIFE【KEYWORDS】CYCLICMAT
22、RIXEIGENVALUETHEDETERMINANTINVERSEMATRIXDIAGONALIZATION13目录诚信承诺中文摘要英文摘要目录1引言与基本概念错误未定义书签。11引言错误未定义书签。12基本概念错误未定义书签。2循环矩阵的性质定理及其证明错误未定义书签。21循环矩阵的基本性质322循环矩阵的行列式423循环矩阵的逆矩阵5231循环矩阵之逆矩阵的基本性质错误未定义书签。232循环矩阵可逆的充分必要条件624循环矩阵的特征根及其对角化6241循环矩阵的特征根7242循环矩阵的对角化82421使循环矩阵对角化的条件82422循环矩阵的对角化的算法92423循环矩阵的对角化的性质1
23、025循环矩阵之充要条件1126循环矩阵的其他性质定理1227注解143循环矩阵的计算问题1431引理1432循环矩阵的行列式及其逆矩阵15321基本方法153211解方程组法153212伴随矩阵法16322典型例题17323小结2533循环矩阵的特征根及其对角化26331循环矩阵对角化步骤26332典型例题264结束语28参考文献29致谢30141引言与基本概念11引言循环矩阵的概念是TMUIR于1885年首先提出来的，它是一类具有特殊结构的矩阵，但1950年之前，对于循环矩阵的研究还没有引起数学工作者的足够重视，直到19501955年，GOOD等才分别对循环矩阵的逆，行列式及其特征值进行了
24、研究。之所以循环矩阵受到越来越多的人青睐，是因为循环矩阵能够解决许多实际问题，还可以简化运算，具有非常广泛的应用，如在编码理论，数理统计，理论物理，固态物理，结构计算，分子轨道理论，数学图象处理等方面应用很广；而循环矩阵的逆及特征值问题，在力学振动系统设计，分子结构理论，线性多变量控制理论及数值分析等领域中也经常出现。但是循环矩阵作为一类特殊的矩阵，目前由于相关理论还不是很完善，有些过于繁琐复杂，晦涩难懂，在实际应用中也不是很方便。首先，由于不同的研究人员的研究视角不同，对其界定不同，结论也就不同，使得循环矩阵的理论成果比较多且杂，在应用过程中难以取舍等等；再者，在实际生活中的许多数学模型也是
25、涉及循环矩阵的，因此数学工作者对循环矩阵的研究仍在继续着，循环矩阵及其计算问题是多国数学工作者研究的一个热点。目前循环矩阵还内部还出现大量的分支结构，包括广义循环矩阵及其逆的有关问题，分块矩阵，R循环矩阵，G循环矩阵等等，随着研究的深入对循环矩阵的研究也发生了一定的变化，循环矩阵中分化出越来越多的子结构，对循环矩阵的研究越来越细致，越来越透彻。本文根据前人的研究成果，经过不断斟酌推敲，介绍了循环矩阵的概念、性质，并根据其结构的特殊性，讨论了它的行列式的计算方法，得出了循环矩阵行列式的一般计算公式，又概括出了其可逆的充要条件以及求逆矩阵的一般方法等。在此基础上本文还讨论了循环矩阵的特征根，给出了
26、其对角化的一般方法和基本步骤，并简单证明了循环矩阵一些基本性质和定理，稍微改进了一些性质的证明方法及计算方法，使大家对循环矩阵的理解更为透彻，计算起来更为简捷。最后本文将其应用到具体问题中去，解决一些实际中的循环矩阵问题。12基本概念在研究循环矩阵之前，我们先给出N阶循环矩阵的定义定义121如下形状的矩阵15032121011210AAAAAAAAAAAAANNN称为循环矩阵，为方便，记为110N,A,AACIRCA注1若对称循环矩阵110,NAAACIRCA中的110,NAAA只有两个不为零，则称A为二元对称循环矩阵。注2从定义可以看出，KJAA为循环矩阵的充分必要条件是KJAKJAAKJN
27、KJKJ,定义122如果取010000011000000100000101NE则,2,100NKEEKKNK可知也是N阶循环矩阵，称为基本循环矩阵，显然，INN,132，N阶单位矩阵都是循环矩阵，则A可改写为112210NNAAAIAA1只有在（1）式成立的条件下，我们才可以顺利地研究循环矩阵。本文中均表示N阶基本循环矩阵，A表示循环矩阵，下文不再赘述。2循环矩阵的性质定理及其证明循环矩阵的性质定理的研究证明是一个非常重要的问题，也是一个很麻烦的问题，如果直接将其归类到矩阵这个大的框架中去，按照矩阵的一般性质定理对其界定，将会浪费人力和物力，因此我们有必要根据循环矩阵特殊的结构进一步研究其性质
28、定理，利用这些性质定16理可以更好的解决问题。本文所考虑的N阶循环矩阵都是复数域上的循环矩阵，以后不再重复说明了。21循环矩阵的基本性质12101210,NNBBBBCIRCBAAAACIRCA，记性质211同阶循环矩阵的和矩阵以及差矩阵为循环矩阵，即,111100NNBABABACIRCBA。证明设112210NNAAAIAA，112210NNBBBIBB，则1111100NNNBABAIBABA所以,111100NNBABABACIRCBA性质212同阶循环矩阵的乘积为循环矩阵，并且满足交换律，则ABBACCCCIRCBAN，,110。证明设12101210,NNBBBBCIRCBAAAA
29、CIRCA，则令032111011110032111011110032111011110CCCCCCCCCCCCBBBBBBBBBBBBAAAAAAAAAAAABACNNNNNNNNN其中17012110121011011111000,BABABACBABABACBABABACNNNNNNN令032121011210032121011210032121011210DDDDDDDDDDDDAAAAAAAAAAAABBBBBBBBBBBABDNNNNNNNNN因为ID与IC比较,只是A与B的位置颠倒，值不变，所以1,1,0,NICDII即ABBA所以同阶循环矩阵的乘积为循环矩阵，并且满足交换律。性
30、质2131210,NKAKAKAKACIRCKA,其中K为任意常数。不难看出，复数域上N阶循环矩阵按以往定义的一般矩阵的加减法，数与矩阵的乘法都是封闭的。22循环矩阵的行列式不管是研究一般矩阵，还是特殊的循环矩阵，我们都要首先考虑一下它的行列式，行列式的计算是一个非常重要的问题，只有在行列式的基础上我们才可以更方便的研究它的其它性质。下面我们利用行列式的性质给出一个计算行列式的方法。引理221设,112210FAXAXAXAAXFNN，则且1211N，是1NX的N个不同复根，则111NFFFA。对于求行列式的值不只上述一种方法，我们都知道，循环矩阵是矩阵的一种特殊形式，因此对于一般矩阵适用的计
31、算方法，对循环矩阵也适用，任何矩阵经过一系列初等变换总能变成阶梯矩阵，其行列式的值就是对角线的元素的乘积，或者可以按照某一行或某一列展开18计算。下面我们还会用具体例子来阐述。23循环矩阵的逆矩阵根据上述，我们知道循环矩阵作为矩阵的一种特殊形式，有循环矩阵之间的加减运算，有与数域之间的乘法运算，按照矩阵的一般性质，也应该有循环矩阵的逆，下面我们就来讨论循环矩阵的逆矩阵问题，即寻找使得IAA1的循环矩阵。对于一般矩阵的逆矩阵的性质定理的内容本文就不再赘述了。231循环矩阵之逆矩阵的基本性质性质2311可逆的N阶循环矩阵的逆矩阵仍是N阶循环矩阵。证明设循环矩阵112210NNAAAIAA,因为A可
32、逆，不妨设其逆矩阵为112210NNBBBIBB，其中1210NBBBB，为待定常数，满足ABI,如果存在1210NBBBB，那么说明可逆的N阶循环矩阵的逆矩阵仍是N阶循环矩。又因为1102312011221100111221100112210112110NNNNNNNNNNNNNNBABABABABABABABAIBABABABABBBIBAAAIAAB根据ABI得001102312011221100111221100NNNNNNNNNBABABABABABABABABABABABA上述方程组以A为系数矩阵，1210NBBBB，为未知数，由于A为可逆矩阵，则190AA,所以方程组有唯一解12
33、10NBBBB，说明可逆的N阶循环矩阵的逆矩阵仍是N阶循环矩阵。性质2312设A为N阶可逆循环矩阵，则A的伴随矩阵A也是N阶循环矩阵。证明1AAA,由性质2311知1122101NNBBBIBA是循环矩阵，故112210NNBABABAIBAA也是循环矩阵。232循环矩阵可逆的充分必要条件定理2321N阶循环矩阵A可逆的充要条件是1,1,00NIFIA。证明因为A可逆，所以0A，根据引理221，0111NFFFA，所以N阶循环矩阵A可逆的充要条件是1,1,00NIFIA。推论2322如果循环矩阵032121011210AAAAAAAAAAAAANNN可逆，那么010NIIA。证明因为A可逆所以
34、0A，因此0111NFFFA，即0110210NIINAAAAAF定理2323设A是以110,NAAA为元素的N阶循环矩阵，则A可逆的充分与必要条件是1110NNXAXAAXF与1NX互素，即（FX,1NX）1。证明由111NFFFA，A可逆的充分与必要条件是0111NFFFA，即1110NNXAXAAXF与1NX没有公共根，从而（FX,1NX）1。2024循环矩阵的特征根及其对角化对角矩阵是矩阵形式中最为简单的一种，对于我们研究矩阵的行列式及其性质都有显著帮助。现在我们来考察究竟哪些循环矩阵，究竟在那些变换下可以变成对角矩阵，即对于循环矩阵A，寻找某些矩阵P和Q，使得110,NDIAGPAQ
35、,并且寻找110,N的来源。241循环矩阵的特征根高等代数中讲过，对角矩阵是所有矩阵中一种相对形式简单，性质良好的矩阵，我们希望通过寻找可以将循环矩阵转化成对角矩阵，这一目标是否实现，我们先按照以往研究矩阵对角化时的一般方法，先介绍特征值的概念及其性质，它们对于研究循环矩阵是否可以对角化具有无可替代的作用。引理2411设FX是一个N1次多项式函数，若是矩阵的特征根，则F是矩阵F的特征根。证明设110N，是的特征根，记,112210FAXAXAXAAXFNN，则根据特征值的定义，我们有1,1,0,NIIII，其中I是的属于特征值I的一个特征向量。因此IIININIIIIININIIIIIININ
36、IIIIIININIIIIIIINNIIIIIINNIIIINNIFAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAIAAAAIAF112210112210212102121021210112210112210所以说F是矩阵F的特征根。若设,112210FAXAXAXAAXFNN，则其中FX称为A的生成多项式。21的特征多项式为10000010001110000100010010100010,0,1,1NCIRCE1N可见有N个互异的特征值,1,2,1,02SIN2COS1121NKNKINKKKN，其中，所以根据引理2411循环矩阵A的特征值为,1,2,1,02SIN2COS1121NKNKI
37、NKFFFFKN，其中，我们还可以进一步知道121,1NFFFF就是A的全部特征根，引理221显而易见得证。242循环矩阵的对角化在讨论了循环矩阵的行列式以及特征值的基础上，我们就要探讨能够使循环矩阵对角化的特殊矩阵，他们对循环矩阵的研究具有基本重要性。2421使循环矩阵对角化的条件通过前文的讨论，我们记N阶基本循环矩阵的属于特征值K的特征向量为K，根据特征值与特征向量的定义有KKK，所以若设110,NKXXX，则220000330220110231201121003211210,00001100000010000010XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXNKKKKNKK
38、KKNKNK即得所以，记1,2,0,11,1121112NKNNKKKKNKKKK，则KKK又因为112210NNAAAAIAFA，由引理2411得KKAKAKFFA可以验证0,1010NKKMLNKKMKLMLML时，当将这N个两两正交的向量K单位化，可得标准正交基1101,1,1NNNN令矩阵11121121222112111011111111,1NNNNNNNNNP1则23113121112322212113111111111011111111111NNNNNNNNNP1N2，（2）2422循环矩阵的对角化的算法根据高等代数P299，我们可以知道对于矩阵A，在某一变换下可以变为对角型，并
39、且主对角线上的元素是确定的，它们就是A的特征值，它们可以用来检验计算是否正确。所以根据上述2421所定义的P和1P,我们有0001000001000010111111111111312112123222113211NNQNNNNNNPP2411113121121232221132121211111222212122121111111312112123222113211121211112322212113121111131211212322211321,11111111111111111111111111000100000100001011111111111111111NNNQNNNNNNNNN
40、NNNNNNNNQNNNNNNNNNNNNNNQNNNNNDIAGNN所以，1211,1NDIAGPP上述所讨论的P和1P的求法，以及循环矩阵对角化算法即为以后做题的依据，也是检验计算是否正确的标准。2423循环矩阵的对角化的性质将循环矩阵对角化以后，具有非常多的优良性质，下面简要介绍一下性质2423任意N阶循环矩阵AFA在复数域C上都可对角化，即1101,NAAAFFFDIAGAPP其中11121121222112111011111111,1NNNNNNNNNP25113121112322212113111111111011111111111NNNNNNNNNP1N2，证明根据上述关于1PP
41、和的定义和循环矩阵的对角化的算法,我们有1211,1NDIAGPP，所以111211113132313121222121,1,1,1NNNNNNNDIAGPPDIAGPPDIAGPP，设FAAAIAANN112210是任意一个N阶循环矩阵，则121111212111011221011,1NNNNNFFFFDIAGPPAPPAPPAIPPAPAAAIAPAPP所以N阶循环矩阵A可对角化。总之，根据A的任意性，对P和1P的定义，以及根据N阶可逆循环矩阵矩阵对角化的算法，我们可以说对于所有N阶循环矩阵都可以对角化。25循环矩阵之充要条件性质251A为循环矩阵的充分必要条件是1PAP为对角矩阵,其中2611121121222112111011111111,1NNNNNNNNNP113121112322212113111111111011111111111NNNNNNNNNP1N2，性质252在复数域内，N阶方阵A相似于对角矩阵的充要条件是A相似于某个循环矩阵。证明充分性
