1、第六章 定积分及其应用1 证明：设 )(xf为 ,ba上连续且非负，则 badxf0)(的充要条件为f在 ,上恒为零，即 0)(xf。证明：充分性是显然的，以下证明必要性。法 1 0：反证法。若存在 ,0为 )(f的某一连续点，且 0)(xf，则 ，使)(xf)(20f， ,),(0baxx从而有 bad0 xfdf与已知矛盾。从而结论成立。法 2 0：对一切的 ,b有xaf)(axf0)(从而 xadf)(， ,。那么 xadf)(即 0 。2利用定积分求极限：1）)211(limnnIn；2）J()。解：1）)211(li nnIni 2ln)1l(010xd2）nJlimnn)1()(l
2、iiniexp0edx4)1l(3设在 ,ba上 g为连续函数， )(f为单调的连续可微函数。证明：存在 ,ba，使得 xf)(agfbdxgf)(。证明：这是加强条件的积分第二中值定理，有一个不难的证明。设 xadtgG)()(， ,ba，则有bafbxGf)(badxf)()(f由假设 )(xf为单调函数，故 x不变号，从而 ,ba，使得badg)(bGfadxf)(b)(fbaxgadxgf)()(dbxf4设 )(xf连续， xttfF02)()(，求 )(F。解：令 2tu，则xdf0)()( 02)(1xduf201xduf所以 2 。5设 )(xf连续，且 10)()(ff，求
3、)(xf。解：令 10dxI，对 102dx两边积分有：)(f II10所以 2I。则 )(xf。6设 )(xf在区间 1,0上可微，且满足条件 210)()(dxff。试证：存在 ，使 )(ff。证明：令 )(xF，则存在),(c，使1210)dff )(21cF又由 )(x在 ,上连续，在 ),(内可导且 1，由 Rolle 定理可知：存在 ,),(c，使 F。即 )(ff 。7设 xf在区间 ,ba上是连续且递增的函数，证明： babadxfdxf)(2)(。证明：法 1 0：只要证 0)(dxfba令 dxftta)()(xfta)(2， ,t，则 )(a。tft)()()(tff),
4、(t02tat所以 )(t为递增的函数，因此 dxfba)()(0)(2dxfba。法 2 0：由 )(xf递增，所以2fx。因此0)()2fab即 dxfa)(dxba dxbab)2(f)(法 3 0：dxbxba2(2ba xfx)()(fa1() dbafba20)2(12ffb8设 )(xf在 ,0上单调减少且连续，证明：对 )1,(q，恒有不等式dxfq)(dxf0)(。证明：法 1 0：令 Ff10)(， ),0(x则 )(xF在 ,上连续，在 )1,(内可导，且 F，所以 1,c使)(cf0dxf由于 f在 ,上单调减少且连续，则当 cx时， ，当 时， 0)(c；即 是 )(
5、x的最大值点； )(xF的最小值只能在端点取得，又 )1(F，所以 q。命题得证。法 2 0：qtxqdf)(dtf0)1,(1)(。法 3 0： dxfq)(dxf10)(qdxfq1)(xf0)(1(f)(1其中 q0， 。又 )(xf在 ,上单调减少，则 ff。故原命题得证。法 4 0： dxf)(dx10)(q0fqdxfq1)(xf)(1( 0)(1f故原命题得证。9证明： dtxf10)(lndufx0)(lnduf10)(ln。证明：左= tux1l右= fx0)1(lf0)(lf0)(dt1ndu1nduxlnfx0)(lfx0)(lux1= 左10证明：xdafa12)( x
6、daf12)(（ 1） 。证明：左=， 令 2t， t，则左= xdafa12)( dafa)(21ttfa又令 ut2，则有 tdfa)(2duaufa)(2)(21 udaf2)(1所以左 ttfa)()(122ttfa)(1fa)(1xdaf12)(右 。11设 0,)ex，求 dxf31)2(。解：法 1 0：令 2t，则 t， tdf3)2(tf1)(12)(e1003tet37法 2 0： 2,)()(2xxf即 ,542efx原式 d21)( xe32135xx1712若函数 )(f在 ,0上有连续导数，且 0)(f，证明：d12df02)(4。证明：由 tfxf0)()(，利用
7、 Cauchy-Schwarz 不等式202tf tfxx02)(1dfx)(dt同理由 tf1)(，记 tfI102)(，22(fxx(Ix)于是 df102)(df210)(df12)(xIxI1I4113证明 Cauchy-Schwarz 不等式：若 )(f和 g都在 ,ba上可积，则有2)(dgfba2dba)(2xb证明：法 1 0： 对任意实数 xxfba2)(xfba)(2 dgfba)(0)(2dxgba上式右端是 的二次三项式，则其判别式非正，即2)(dgfba )(2dfba0)(2xba故原式得证。法 2 0：令 dxftta)()(2xgta)(2 2)(dxgfta，
8、则 0)(a。)(2ft gdft xfta)(2xtta x)(2 xfta)()(ftf 0dgtft所以 )(t在 ,b上单调递增， )(b0即 2)(dxgfa2dxfa)(2xba。14 （Young 不等式）设 (y（ ）是严格单调增加的连续函数， 0)(f。)(yx是它的反函数，求证：xfa0 bb0)（ 0， b）等号仅当 )(时成立。证明：1 0先证 dfa0)( )()(0afdygaf成立。 （2）由 )(xf是 ,严格单调增加的连续函数，故 在 )(,f也是严格单调增加的连续函数，故式（2）中的积分有意义。将 ,n等份，记分点为xx10相应的点 )(iigy（ ,2 ）
9、构成区间 )(,0af的一个划分。由 )(xf在 ,0a连续，故一致连续，故当 n时，对上述划分有：ini1ma)(11iiiy0ma1iini x故 dxf0)(daf)0niiixf1(l )(1niiyg)() 1iiiiiin xff)(lm11iiiixfxf)0nn(lifaf)(af故式（2）得证。2 0由式（2）可知，若 b，则所要证的不等式中等号成立。3 若 )(fb，则由 )(xf的连续性可知，存在 ),0(ax，使 bxf)(0，于是 dxfa0)(yg0df0fax0)(dygb0xfax0)(0)(yb（ )(0xf）dxfax0)()(0fxbf4 0若 )(afb
10、的情形，只要将 )(f看成 )(yg的反函数，即可由 3 0的结论得到。5 联系 2 、3 0、4 可知所要证明的不等式成立。当且仅当 baf)(时等号成立。15证明 Minkowski 不等式：若 xf和 都在 ,ba上可积，则有 21)(dxgxfba 212)(dba 212)(dxg其更一般的形式是 pxgf) pbapf pbapdxg1)(（ 0） 。证明： dxfba2( xfgfba )()(xf) dgba(又由 Cauchy-Schwarz 不等式得dxgfxba)() 212)(dfba 21)(xfbaxgdg所以dxgxfba2)(212)(dfba 21)(xfba
11、xgdg212)(dfba )(212dba 21)(xxfba从而21)(xgxfba 212)(xfba 212)(gba16计算下列积分的值（1）21d（2） 0sindex（3） 10lnxd解：（1）l21|lx。（2） 2002|)sinco(sin babxabaebdexa 。（3）1lml10。17设 )(xf在 ,上连续，在 ),(内有 )(f，证明存在唯一的 ),(使曲线y与 )(f， ax所围图形的面积 1S是曲线 )(xfy与 f， bx所围图形的面积 2S的三倍。证明：设对任意 ),(bat，则tdxfftS)(1， )()()(2 tfbdxftSbt 令 )(3
12、21St， ,。问题是要证明存在唯一的 ,使 0。显然 )(在 ,ba上连续，且)()(afdxf 0)(3dxafxfba)(ba b则存在 ,ba使 0)(。又 )()()( ttft，即 )(t单增，故存在唯一的 使 。18求摆线 sintx， cos1y的一拱（ 20t） ，与 x轴所围图形绕y轴旋转所得的旋转体的体积。解：本题用柱壳法求 dV较易。xfd)(2dtta23)(in(故 taV203cos1sid2)( )cos1(i20tttt203cs6a19半径为 r、比重为 g的球沉入水中。试求把球提提出水面需作的功。分析：由于球的比重与水相同，处于悬浮状态，因此可设初始时刻球的顶部与水面相齐；而且把球从水中提出的作功问题，相当于把球形水罐中的水从顶部全部抽出的作功问题。只是这里在把球的每一薄片提升至水面时并不需要作功，需要克服重力作功的是将它继续提升至使整个球离开水面的那一段距离。解：设球的顶与水面相切，以水平面为 y轴，以球的直径为 x轴，方向垂直相下建立直角坐标系。将球从水平面提升时，深度为 x的那一薄片（厚度为 d）从水面提升的距离为 xr2，则提升这一薄片需作功为gdVxrdW)2(rr)()2(22则 g0xrr)(22 43gr
