1、简单几何体的外接球与内切球问题定义 1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。定义 2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。5、体积分割是求内切球半径的通用做法。一、 直棱柱的外接球1、 长方体的外接球：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为 ，则
2、体对角线长为 ，几何体的外接球直径 为体对cba, 22cbal R2角线长 即l2cbaR2、 正方体的外接球：正方体的棱长为 ，则正方体的体对角线为 ，其外接球的直径 为 。aa3R2a33、 其它直棱柱的外接球：方法：找出直棱柱的外接圆柱，圆柱的外接球就是所求直棱柱的外接球。例 1、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 ，底面周长为，则这个球的体积为 .98例 2、已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为 4，体积为 16，则这个球的表面积是A. B. C. D.16202432二、 棱锥的外接球1、 正棱锥的外接球方法：
3、球心在正棱锥的高线上，根据球心到各个顶点的距离是球半径，列出关于半径的方程。例 3、正四棱锥 的底面边长和各侧棱长都为 ，点 都在同一球面上，则此球的体积为 .SABCD 2SABCD、 、 、 、例 5、若正四面体的棱长为 4，则正四面体的外接球的表面积为_。例 6、一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是：（ ） （A） 43 (B) 3 (C) 43 (D) 1232、 补体方法的应用（1） 、正四面体（2） 、三条侧棱两两垂直的三棱锥（3） 、四个面均为直角三角形的三棱锥例 7、如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分
4、别为 6 2cm、4 2和 3 2cm，那么它的外接球的体积是 。例 9、在三棱锥 中， ,BCDABCD,平 面 53CDA，则三棱锥 外接球的表面积_。例 10、如图为一个几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为( )A. 4 B. 8 C. 12 D. 16三、 圆柱、圆锥的外接球旋转体的外接球，可以通过研究轴截面求球的半径。例 11、圆柱的底面半径为 4，母线为 8，求该圆柱的外接球的半径。例 12、圆锥的底面半径为 2，母线长为 4，求该圆锥的外接球的半径。四、 正方体的内切球设正方体的棱长为 ，求（1）内切球半径；（2）与棱相切的球半径。a（1）截面图为正方形 的内切圆，得 ；
5、（2）与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为EFGHaR各棱的中点，作截面图，圆 为正方形 的外接圆，易得 。OEFGHaR2五、 棱锥的内切球（分割法）将内切球的球心与棱锥的各个顶点连线，将棱锥分割成以原棱锥的面为底面，内切球的半径为高的小棱锥，根据分割前后的体积相等，列出关于半径 R 的方程。若棱锥的体积为 V，表面积为 S，则内切球的半径为 .SVR3例 17、正四棱锥 ，底面边长为 2，侧棱长为 3，则内切球的半径是多少？SABCD图 1 图 2例 18、三棱锥 中，底面 是边长为 2 的正三角形， 底面 ，且 ，则此三棱锥内切球的半PABCABCPABC2PA径为（ ）六
6、、 圆柱（轴截面为正方形） 、圆锥的内切球（截面法）例 19、圆锥的高为 4，底面半径为 2，求该圆锥内切球与外接球的半径比。例 20、圆柱的底面直径和高都是 6，求该圆柱内切球的半径。巩固训练：1、一个正三棱柱恰好有一个内切球(球与三棱柱的 两个底面和三个侧面都相切)和一个外接球(球经过三棱柱的 6 个顶点),则此内切球与外接 球表面积之比为 。2、如图，半径为 2 的半球内有一内接正六棱锥 PABCDEF，则此正六棱锥的侧面积是_3、棱长为 2 的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是 .ABCPDEF4、已知三棱锥 SABC的所有顶点都在球 O的球面上,ABC是边长为 1的正三角形, S为球 的直径,且 2SC;则此棱锥的体积为 （ ）A 26B 36C 23D5、已知点 P,A,B,C,D 是球 O 表面上的点,PA平面 ABCD,四边形 ABCD 是边长为 2 3正方形.若 PA=2 6,则OAB 的面积为_.
