1、1毕业论文开题报告数学与应用数学一类随机时滞系统周期解的P阶矩稳定性研究一、选题的背景与意义时滞系统普遍存在于生物自然现象和工程实际应用中，若一个动态系统的演化不仅以来于当前的状态，而且也受之前状态的影响，由此会产生时滞。时滞系统在生物学的一个重要应用是对时滞神经网络的研究。本文以周期随机时滞神经网络这一类典型的随机时滞系统为研究对象。神经网络是一门新兴的，交叉性学科。以神经网络为基础的自然活动和社会活动以成为众多学科研究的热点和焦点，其理论在信号处理、模式识别、联想记忆和优化问题等前沿领域的应用也十分广泛。神经网络，尤其是人工神经网络是一种模仿动物神经网络行为特征，进行分布式并行信息处理的算
2、法数学模型。这种网络依靠系统的复杂程度，通过调整内部大量节点之间相互连接的关系，从而达到处理信息的目的。对其的研究一般认为从年美国芝加哥大学的生理学家WSMCCULLOCH和WAPITTS提出MP神经元。20世纪80年代初，JJHOPFIELD和DRUMELHART等人的PDP报告显示出神经网络的巨大潜力，使得该领域的研究进入了繁荣期。1982年，JHOPFIELD提出单层全互连含有对称突触连接的反馈网络，用能量函数的思想形成了一种新的计算方法，阐明了神经网络与动力学的关系，并用非线性动力学的方法来研究这种神经网络的特性，建立了神经网络稳定性判据，并指出信息存储在网络中神经元之间的连接上，形成
3、了所谓的离散HOPFIELD网络。美国BERKELEY加州大学的著名学者CHUALO教授于1988年提出细胞神经网络CELLULARNEURALNETWORKS，简称CNN是一个非线性模拟电路的数学模型，继续推动了神经网络的发展。至此以后，神经网络的研究进入了新时期，理论在机械工程、航空航天、生态学、生物学、电子和信息技术等领域广泛应用。二、研究的基本内容与拟解决的主要问题本文以周期随机时滞神经网络这一类典型的随机时滞系统为研究对象，先证明系统解的唯一存在性，再通过分析给出周期解P阶指数稳定的充要条件。2三、研究的方法与技术路线本文根据实际情况，结合一定理论基础，建立神经网络的随机微分方程。构
4、造LYAPUNOV泛函，利用HERDER不等式，证明该微分方程解的唯一存在性，然后证明周期接的P阶矩指数稳定性。四、研究的总体安排与进度2010年8月2009年9月确定选题，联系指导老师。2010年9月2009年10月按任务书的要求进行相关文献资料的搜索，做好文献综述和开题报告的撰写，初拟论文的提纲。2010年10月200911月完成文献综述和开题报告的修订。2010年12月开题论证。2010年12月整理论文的相关资料并准备论文初稿，交予指导老师审阅。2011年1月在指导老师的指导下对论文进行第一次修改。2011年2月在指导老师的指导下对论文进行第二次修改。2011年2月在指导老师的指导下对论
5、文进行第三次修改。2011年3月论文定稿，完成相关资料填写。2011年4月完成论文打印并上交教务办。2011年4月准备论文答辩2011年5月论文答辩。五、主要参考文献1JUNXIANGLU,YICHENMAMEANSQUAREEXPONENTIALSTABILITYANDPERIODICSOLUTIONOFSTOCHASTICDELAYCELLULARNEURALNETWORKSJCHAOSSOLITONSANDFRACTALS38,2008132313312CHUANGXIAHUANG,YIGANGHE,LIHONGHUANG,WENJIZHUPTHMOMENTSTABILITYANALYS
6、ISOFSTOCHASTICRECURRENTNEURALNETWORKSWITHTIMEVARINGDELAYSJINFORMATIONSCIENCE178,2008219422033XLI,JCAOEXPONENTIALSTABILITYOFSTOCHASTICINTERVALHOPFIELDNEURALNETWORKSWITHTIMEVARYINGDELAYSJNEURALNETWORKWORLD161,200731404CHUALO,YANGLCELLULARNEURALNETWORKSTHEORYJ,IEEETRANSCIRCSYST3510,198812577235CHUALO,Y
7、ANGLCELLULARNEURALNETWORKSAPPLICATIONSJIEEETRANSCIRCSYS3510,19881273906COHENMA,GROSSBERGSABSOLUTESTABILITYANDGLOBALPATTERNFORMATIONANDPARALLELMEMORYSTORAGEBYCOMPETITIVENEURALNETWORKJIEEETRANS,SYSTEMSMANCYBERNET13,200063697WANL,SUNJMEANSQUAREEXPONENTIALSTABILITYOFSTOCHASTICDELAYEDHOPFIELDNEURALNETWOR
8、KSJPHYSLETTA,20063063188QSONG,ZWANGSTABILITYANALYSISOFIMPULSIVESTOCHASTICCOHENGROSSBERGNEURALNETWORKSWITHMIXEDTIMEDELAYSJPHYSICAA387,2008331433269CHENY,WUJMINIMALINSTABILITYANDUNSTABLESETOFAPHASELOCKEDPERIODICORBITINADELAYNEURALNETWORKJDHYSICAD134,199918519910JCAO,JWANGGLOBALASYMPTOTICSTABILITYOFAGE
9、NERALCLASSOFRECURRENTNEURALNETWORKSWITHTIMEVARYINGDELAYJIEEETRANSCIRCSYST1502003344411XLIGLOBALEXPONENTIALSTABILITYFORACLASSOFNEURALNETWORKSJAPPLMATHLETT22,20091235123912QZHOU,LWANEXPONENTIALSTABILITYOFSTOCHASTICDELAYEDHOPFIELDNEURALNETWORKSJAPPLMATHCOMPUT199,2008848913CHUANG,JCAOALMOSRSUREEXPONENET
10、IALSTABILITYOFSTOCHASTICCELLULARNEURALNETWORKSWITHUNBOUNDEDDISTRIBUTEDDELAYSJNEUROCOMPUTING72,20093352335614XYANGEXISTENCEANDGLOBALEXPONENTIALSTABILITYOFPERIODICCOHENGROSSBERGSHUNTINGINHIBILITYCELLULARNEURALNETWOEKSWITHDELAYSANDIMPULSESJNEUROCOMPUTING72,20092219222615ROSKAT,WUCW,CHUALOSTABILITYOFCEL
11、LULARNEURALNETWORKSWITHDOMINANTNONLINEARANDDELAYTYPETEMPLATESIEEETRANSCIRCSYSTPTI,1994,51852816MASTSUOKAKSTABILITYCONDITIONSFORNONLINEARCONTINOUSNEURALNETWORKSWITHASYMMETRICCONNECTIONWEIGHTSNEURALNETWORKSJ,199249550017BLYTHES,MAOX,LIAOXSTABILITYOFSTOCHASTICDELAYJNEURALNETWORKSJFRANKLININST,200116518
12、518XJCAO,NEWRESULTSCONCERNINGEXPERIENTIALSTABILITYANDPERIODICSOLUTIONSOFDELAYEDCELLULARNEURALNETWORKS,PHYSLETTJA2072003136147419HZHAO,JCAONEWCONDITIONSFORGLOBALEXPONENTIALSTABILITYOFCELLULARNEURALNETWORKSWITHDELAYSJNEURALNETWORKS18,20051332134020SHAYKINNEURALNETWORKSMPERENTICHALL,NJ,19945毕业论文文献综述数学与
13、应用数学一类随机时滞系统周期解的P阶矩稳定性研究时滞系统普遍存在于生物自然现象和工程实际应用中，若一个动态系统的演化不仅以来于当前的状态，而且也受之前状态的影响，由此会产生时滞。时滞系统在生物学的一个重要应用是对时滞神经网络的研究。神经网络是一门新兴的，交叉性学科。以神经网络为基础的自然活动和社会活动以成为众多学科研究的热点和焦点，其理论在信号处理、模式识别、联想记忆和优化问题等前沿领域的应用也十分广泛。神经网络，尤其是人工神经网络是一种模仿动物神经网络行为特征，进行分布式并行信息处理的算法数学模型。这种网络依靠系统的复杂程度，通过调整内部大量节点之间相互连接的关系，从而达到处理信息的目的。对
14、其的研究一般认为从年美国芝加哥大学的生理学家WSMCCULLOCH和WAPITTS提出MP神经元。20世纪80年代初，JJHOPFIELD和DRUMELHART等人的PDP报告显示出神经网络的巨大潜力，使得该领域的研究进入了繁荣期。1982年，JHOPFIELD提出单层全互连含有对称突触连接的反馈网络，用能量函数的思想形成了一种新的计算方法，阐明了神经网络与动力学的关系，并用非线性动力学的方法来研究这种神经网络的特性，建立了神经网络稳定性判据，并指出信息存储在网络中神经元之间的连接上，形成了所谓的离散HOPFIELD网络。美国BERKELEY加州大学的著名学者CHUALO教授于1988年提出细
15、胞神经网络CELLULARNEURALNETWORKS，简称CNN是一个非线性模拟电路的数学模型，继续推动了神经网络的发展。至此以后，神经网络的研究进入了新时期，理论在机械工程、航空航天、生态学、生物学、电子和信息技术等领域广泛应用。近几年来，神经网络的研究主要依靠根据一定的实际情况建立微分方程，分析使其解存在和稳定条件。在微分方程建立方面，随着研究的深入，时滞因素慢慢被纳入考虑范围。神经网络的研究发展出了许多类型原始的HOPFIELD神经网络模型是一个带有复杂算法的二值神经网络。考虑到6生物神经元在进行信号传输过程中存在的诸如细胞时滞、传输时滞及突触时滞等原因，XLI和JCAO在EXPONE
16、NTIALSTABILITYOFSTOCHASTICINTERVALHOPFIELDNEURALNETWORKSWITHTIMEVARYINGDELAYS中介绍了引入变时滞的HOPFIELD神经网络。CHUALO和YANGL在CELLULARNEURALNETWORKSTHEORY和CELLULARNEURALNETWORKSAPPLICATIONS中提出了细胞神经网络（CELLULARNEURALNETWORKS,记作CNN）。该模型是一个非线性模拟系统，细胞之间的连接是局部的，信号输出函数是分段线性的，信号处理是连续实时的。细胞神经网络是目前最流行的人工神经网络之一，它的每一细胞只与其相邻
17、的细胞连接。一个细胞包括线性电容、线性电阻、线性和非线性的控制电源和独立电源。JUNXIANGLU和YICHENMA在CNN的基础上引入随机时滞，在MEANSQUAREEXPONENTIALSTABILITYANDPERIODICSOLUTIONOFSTOCHASTICDELAYCELLULARNEURALNETWORKS中介绍了随机时滞细胞神经网络模型（STOCHASTICDELAYCELLULARNEURALNETWORKS,记作SDCNN）。COHENGROSSBERG神经网络是COHEN和GROSSBERG在ABSOLUTESTABILITYANDGLOBALPATTERNFORMAT
18、IONANDPARALLELMEMORYSTORAGEBYCOMPETITIVENEURALNETWORK中首次提到。该模型考虑到外部输入的影响。MARAEUS和WESTERVELT在ONIMPULSIVEAUTOASSOCIATIVENEURALNETWORKS将时滞引入该系统进行了分析。虽然随着神经网络这类系统的研究不断地深化，进几年来，时滞因素，包括常时滞和变时滞的影响被充分考虑纳入系统模型建立之中，但是对系统具有重大影响的随机干扰，包含系统内部和外界的，却很少有文献考虑。另外，分布时滞也很少考虑纳入模型之中。在实际应用中，神经网络模型的稳定性具有十分深远的意义。当模型被用作联想存储时，
19、系统的均衡状态相当于存储模式，如果系统稳定，表示存储模式在出现扰动或者外界脉冲的时候是能被修复的。当模型应用于最有化问题时，网络的均衡状态表示最优可行解。如果模型是稳定的，如果均衡点唯一且全局渐进稳定，表示初始状态可以是任意的；如果解是指数稳定的，则表示解将在很短时间内收敛。所以通过稳定性研究，通过神经网络模型参数控制，给出系统稳定的充分条件，对实际应用具很大的参考意义。以下是近几年对神经网络稳定性的研究状况7WANL和SUNJ在MEANSQUAREEXPONENTIALSTABILITYOFSTOCHASTICDELAYEDHOPFIELDNEURALNETWORKS中运用线性矩阵不等式方法
20、研究随机时滞神经网络的指数稳定性。该方法相对于传统的用矩阵范数估计的方法而言具有较少保守性。将该方法运用于研究系统与时滞相关稳定性间题时,对原系统作合适的变换并构造相应的泛函,是获得较少保守性结果的关键。QSONG和ZWANG在STABILITYANALYSISOFIMPULSIVESTOCHASTICCOHENGROSSBERGNEURALNETWORKSWITHMIXEDTIMEDELAYS中用L算子微分不等式，M椎体性质和随机分析方法证明了混合时滞脉冲随机COHENGROSSBERG神经网络解的唯一存在性和P阶矩指数稳定性。JUNXIANGLU和YICHENMA在MEANSQUAREEX
21、PONENTIALSTABILITYANDPERIODICSOLUTIONOFSTOCHASTICDELAYCELLULARNEURALNETWORKS中利用一般LYAPUNOV函数、随机分析、杨式不等式来证明随机时滞神经网络均方指数稳定性。运用不动点定理和POINCARES收敛定理证明周期时滞随机时滞神经网络周期接存在性和收敛性。CHENY和WUJ在MINIMALINSTABILITYANDUNSTABLESETOFAPHASELOCKEDPERIODICORBITINADELAYNEURALNETWORK用离散LYAPUNOV泛函和不变流理论，用以求HOPF分岔产生的锁相周期解的极小不稳定
22、性和不稳定集。经过几十年的发展，对神经网络稳定性研究虽然有了很大发展，方法也日趋多样，但相当一部分研究仅局限于解的均方指数稳定性，很少推广到P阶矩指数稳定性，缺乏一定普遍性。同时模型的周期性也当纳入考量范围，把常系数这一特殊周期的情况推广。从以上综述可以看出，于普通神经网络相比，具有随机时滞的周期神经网络更为复杂，研究难度更大。另一方面，国内外对时滞动力系统的研究还是集中在几个典型的问题上，结论相对是普通的，很少有创新性的研究。人们对神经网络类似的动力系统认识还十分有限,仍有许多问题有待我们去深入理论研究，仍有许多现象等待我们去发现，徐鉴和裴利军在时滞系统动力学近期研究进展和展望中认为以时滞反
23、馈为中心的控制与鲁棒控制、非线性因素和时滞联合作用的影响、时滞导致的多稳态运动、多级分岔和复杂动力学及含有耦合时滞状态变量的网系统动力学这四个方向是今后几年时滞系统研究关注的热点问题。8主要参考文献21JUNXIANGLU,YICHENMAMEANSQUAREEXPONENTIALSTABILITYANDPERIODICSOLUTIONOFSTOCHASTICDELAYCELLULARNEURALNETWORKSJCHAOSSOLITONSANDFRACTALS38,20081323133122CHUANGXIAHUANG,YIGANGHE,LIHONGHUANG,WENJIZHUPTHMOM
24、ENTSTABILITYANALYSISOFSTOCHASTICRECURRENTNEURALNETWORKSWITHTIMEVARINGDELAYSJINFORMATIONSCIENCE178,20082194220323XLI,JCAOEXPONENTIALSTABILITYOFSTOCHASTICINTERVALHOPFIELDNEURALNETWORKSWITHTIMEVARYINGDELAYSJNEURALNETWORKWORLD161,2007314024CHUALO,YANGLCELLULARNEURALNETWORKSTHEORYJ,IEEETRANSCIRCSYST3510,
25、198812577225CHUALO,YANGLCELLULARNEURALNETWORKSAPPLICATIONSJIEEETRANSCIRCSYS3510,198812739026COHENMA,GROSSBERGSABSOLUTESTABILITYANDGLOBALPATTERNFORMATIONANDPARALLELMEMORYSTORAGEBYCOMPETITIVENEURALNETWORKJIEEETRANS,SYSTEMSMANCYBERNET13,2000636927WANL,SUNJMEANSQUAREEXPONENTIALSTABILITYOFSTOCHASTICDELAY
26、EDHOPFIELDNEURALNETWORKSJPHYSLETTA,200630631828QSONG,ZWANGSTABILITYANALYSISOFIMPULSIVESTOCHASTICCOHENGROSSBERGNEURALNETWORKSWITHMIXEDTIMEDELAYSJPHYSICAA387,20083314332629CHENY,WUJMINIMALINSTABILITYANDUNSTABLESETOFAPHASELOCKEDPERIODICORBITINADELAYNEURALNETWORKJDHYSICAD134,199918519930JCAO,JWANGGLOBAL
27、ASYMPTOTICSTABILITYOFAGENERALCLASSOFRECURRENTNEURALNETWORKSWITHTIMEVARYINGDELAYJIEEETRANSCIRCSYST1502003344431XLIGLOBALEXPONENTIALSTABILITYFORACLASSOFNEURALNETWORKSJAPPLMATHLETT22,20091235123932QZHOU,LWANEXPONENTIALSTABILITYOFSTOCHASTICDELAYEDHOPFIELDNEURALNETWORKSJAPPLMATHCOMPUT199,2008848933CHUANG
28、,JCAOALMOSRSUREEXPONENETIALSTABILITYOFSTOCHASTICCELLULARNEURALNETWORKSWITHUNBOUNDEDDISTRIBUTEDDELAYSJNEUROCOMPUTING72,200933523356934XYANGEXISTENCEANDGLOBALEXPONENTIALSTABILITYOFPERIODICCOHENGROSSBERGSHUNTINGINHIBILITYCELLULARNEURALNETWOEKSWITHDELAYSANDIMPULSESJNEUROCOMPUTING72,20092219222635ROSKAT,
29、WUCW,CHUALOSTABILITYOFCELLULARNEURALNETWORKSWITHDOMINANTNONLINEARANDDELAYTYPETEMPLATESIEEETRANSCIRCSYSTPTI,1994,51852836MASTSUOKAKSTABILITYCONDITIONSFORNONLINEARCONTINOUSNEURALNETWORKSWITHASYMMETRICCONNECTIONWEIGHTSNEURALNETWORKSJ,199249550037BLYTHES,MAOX,LIAOXSTABILITYOFSTOCHASTICDELAYJNEURALNETWOR
30、KSJFRANKLININST,200116518538XJCAO,NEWRESULTSCONCERNINGEXPERIENTIALSTABILITYANDPERIODICSOLUTIONSOFDELAYEDCELLULARNEURALNETWORKS,PHYSLETTJA207200313614739HZHAO,JCAONEWCONDITIONSFORGLOBALEXPONENTIALSTABILITYOFCELLULARNEURALNETWORKSWITHDELAYSJNEURALNETWORKS18,20051332134040SHAYKINNEURALNETWORKSMPERENTIC
31、HALL,NJ,199410本科毕业设计（20届）一类随机时滞系统周期解的P阶矩指数稳定性研究11摘要【摘要】时滞系统普遍存在于神经网络的自然过程和实际工程应用中，神经网络是生物学一类重要的时滞系统。它是时滞系统的一类重要应用。时滞效应和随机影响是研究该类问题必须考虑的因素，在本文中，主要研究了神经网络周期解的唯一存在性和P阶矩指数稳定性问题。利用LYAPUNOV函数，随机分析，HALANAY型不等式，HOLDER不等式，给出一些关于解P阶矩指数稳定性的充分条件。一个例子也证明了结果的正确性和有效性。【关键词】时滞神经网络；随机；P阶矩指数稳定性；周期解。ABSTRACT【ABSTRACT】D
32、ELAYEDSYSTEMSAREUNIVERSALLYEXISTINPHYSICALPROCESSANDPRACTICALENGINEERINGNEURALNETWORKS,WHICHAREESSENTIALAPPLICATIONSOFDELAYEDSYSTEMINBIOLOGY,AREANIMPORTANTAPPLICATIONOFDELAYEDSYSTEMBOTHDELAYANDSTOCHASTICEFFECTSSHOULDBETAKENINTOACCOUNTINTHISPAPER,WEMAINLYINVESTIGATETHEISSUEOFPTHMOMENTEXPONENTIALSTABI
33、LITYOFPERIODICSOLUTIONSFORSTOCHASTICDELAYEDNEURALNETWORKSBYUTILIZINGLYAPUNOVFUNCTION,STOCHASTICANALYSIS,HALANAYTYPEINEQUALITYANDHOLDERINEQUALITYSOMESUFFICIENTCONDITIONSONPTHMOMENTEXPONENTIALSTABILITYOFTHESOLUTIONHAVEBEENESTABLISHEDANEXAMPLEISALSOPROVIDEDTOILLUSTRATETHATTHERESULTSARECORRECTANDEFFECTI
34、VE【KEYWORDS】DELAYEDNEURALNETWORKS；STOCHASTIC；PTHMOMENTEXPONENTIALSTABILITYPERIODICSOLUTION。12目录摘要11ABSTRACT11目录121背景介绍132模型描述及问题准备1421模型描述14211模型建立14212模型假设1522问题准备163主要结果及证明1931证明周期解的唯一存在性20311证明周期解的存在性20312证明周期解的唯一性2332证明周期解的P阶指数稳定性234实例245结论26参考文献27致谢错误未定义书签。1背景介绍时滞系统普遍存在于神经网络的自然过程和实际工程应用中，神经网络是生
35、物学一类重要的时滞系统。过去的几十年中，神经网络有了相当重大的发展，在优化问题、模式识别、联想记忆等实际领域都有重要的应用，见1、7。神经网络发展至今，已出现各种形式的神经网络模型。例如，当信号在神经单元间传递时需要时间，所以时滞因素在模型建立上经常被列入考虑，成为时滞神经网络，见3、4。另外一个是由于外部和内部环境引起的随机干扰因素，就像HAYKIN在20中指出的。实际上，随机时滞有时候会十分不确定，所以作为一个重要的考虑因素随机影响，见5、6。在本文中，时滞效应和随机影响都将纳入模型建立中。周期解的动态行为在一些研究领域十分重要，例如需要不断重复过程的学习理论。在这几年中，关于随机时滞系统
36、的研究主要集中在周期解的存在性和全局指数稳定性分析。一些研究已有结果，例如，在1中，利用POINCARE收敛理论得到确保变时滞随机细胞神经网络周期解存在性，利用LYAPUNOV函数和YOUNG式不等式，得出使解均方指数稳定的充分条件。但是，现有文献大部分都研究了解的均方指数稳定性，关于随机时滞神经网络系统的P阶矩指数稳定性研究结果却很少。综上所述，在本文中，研究了随机时滞神经网络周期解的唯一存在性和P阶矩指数稳定性。通过LYAPUNOV函数、随机分析、HOLDER不等式等建立了一些新的确保P阶矩指数稳定的充分条件。另外，一个例子也证明了结果的正确性和有效性。2模型描述及问题准备21模型描述21
37、1模型建立在本文中，我们研究了如下随机时滞神经网络1111,0210NNNMTIIIIJJJIJJJIJJJJIILIILJJJLIIDXTATXTBTFXTCTGXTTDTKTSHXSDSITDTXTXTTDTTXTTT,1,2,IN。在上述模型中，N2是神经网络单位的数目；12,NXTXTXTXT，其中IXT表示第I个单位在时间T时的状态；0IAT代表第I个单位在不与其他单位接触和不收外界影响的孤立情况下回到静止状态的速率；IJIJIJBTCTDT、表示第J个单位对第I个单位的作用强度；T表示T时刻的传递时滞，0T，是一个正的常数；JJFXT和JJHXT表示在T时第J个单位的输出；JJGX
38、TT表示在TT时第J个单位的输出；IITRR是周期函数，表示周期输入作用；JKTS是定义在0,）上的正实值的连续函数，1NTIJJJJJDTKTSHXSDS表示神经网络中的分布时滞。12,NTTTT是定义在全概率空间PF中M维的BROWNIAN运动，0TTF是由0SST产生的自然流域，我们将与概率P衡量的T产生的标准空间联系起来，在T产生的代数F上定义；IJNN是扩散系数矩阵，,IJIIXY表示随机作用的概率密度；0012,0,BNBNTTTTPCBRPCBFF，R表示实数集，NR表示N维有欧式范数的实数空间，显然T是0F可测，NR值随机变量，我们定义0PESDS。令2,1,NCRR表示非负函
39、数族。定义在,NR上的连续函数,VTX对于X二阶可导，对于T一阶可导。对于每一2,1,NVCRR，根据（21）定义一个算子LV1111,1,2INNNNTTXIIIJJJIJJJIJJJJIJJJTXXLVVTXVTXATXTBTFXTCTGXTTDTKTSHXSDSTRACEVTX其中,TVTXVTXT,IXIVTXVTXX2,XXNNIJVTXVTXXX212模型假设在本文中,有以下几条假设1A对于,IJ,IIJIJIJATBTCTDTT和IIT是定义在0,连续的,以常数0为周期的周期函数。2A对于,IJ0000JJJFGH，0,0IJ。3A0,MAXIJIJTBBT，0,MAXIJIJT
40、CCT，0,MAXIJIJTDDT，0,MAXIITAAT4A,JJFXGX和JHX满足LIPSCHITZ条件，即存在正数,FGHJJJLLL使得对于所有,XYRJFJJJFXFYLXY，GJJJGXGYLXY，HJJJHXHYLXY。5A时滞核函数0,JKRJ，是分段函数，且对于所有0,S满足,0,JKSKSKSR其中是连续可导函数且满足0,SKSEDS其中是正数6A存在非负常数,IIUV对于任意,IIIIXXYYRI满足22,TIIIIIIIIIIIIIIIIXYXYXYXYUXXVYY7A在本文中，定义模为1121,NPNPINIAAAAAAR0112,01SUP,NPNBPINSISC
41、PCBF。11,NPPIIXTXT22问题准备为方便得到本文结果，我们先给出以下定义和引理定义21如果存在正的常数和M，使得（21）的解,XT如果满足,0PPTEXTXTMET其中,XT是系统（21）的一个周期解，2P是整数，则称解,XT是P阶指数稳定的。定义22FTRR是一个连续函数，FT的DINI右导数定义为0LIMTFTTFTDFTT引理21系统（21）一定存在一个解12,NXTXTXTXT。证明显然，,0XT是系统（21）的一个解。引理22HALANAY型不等式2,0,0PAB那么11PPPPABPAB，2222PPPPABPAB。引理23若,PQR和是非负常数，2,NVXPCRR且满
42、足系统（21）的0SUP0TSTLVXTPVXTQVXSRKSVXTSDST22其中KS是假设5A中所提及的。假设0IPQRKSDS23II存在0,满足0SPQERKSEDS24那么，存在一个0M使得0TEVXTMEVE其中00SUPTVVXT证明令00TVXTETFTVXTT25现在我们需要得出00FTVT假设结论不成立，则存在一个0,T使得0FTV显然当0T时，0FTV，令0INF0,TTFTV，那么00,0FTVFTVTTDFT26由（22），（23），（24），（26），依据（25）计算DFT得|TTDFT|TTTTTDVXTEDVXTEVXTE000SUPSUPSUPTTTSTTTS
43、TTTTSTSTPVXTQVXSRKSVXTSDSEVXTEPVXTQVXSRKSVXTSDSEQEVXTEQEVXSRVXTEKSEDS0STSRKSEVXTSEDS假设SUP,TTTSTVVXTTT，那么|TTDFT0000000TTTTTSSTSSSTSQEFTQEVERVXTEKSEDSRKSEVXTSEDSQEFTQEFRFTKSEDSRKSEFTSDSQEFTQEVRFTKSEDSRVK00SSEDS这与（26）中的0FTV矛盾，所以对于所有的0,T，0FTV，即00TVXTVET，存在一个足够大的0M，成立00TVXTMVET引理24若2,0IPAI，那么11PNNPPQIIII
44、ANA证明该结论是HOLDER不等式中当1,IBI的特殊情况。HOLDER不等式若110,0,1,1,1IIABIPQPQ，则11111NNNPQPQIIIIIIIABAB证明如下若110,0,1,1,1PQPQ，则PQPQ，令1111,PQPQIINNIIAB，由（）得111111111111111111111111NPQPQIINNPQIIIIINNNNNNPQPQIIPQPQIIIIIIIIIIIIPQNNIINNPQIIIIIIABABABPQABABABABPQPQAB（）（）证毕。3主要结果及证明在这个部分，主要研究了系统（21）周期解的唯一存在性和P阶矩指数稳定性。定理1假设1A
45、7A成立，若满足以8A和9A，则系统（21）存在唯一一个以为周期的周期解，该解P阶矩指数稳定。8A01111011MIN1MAXMAX1MAXMAXMAXMAXMAXMAXFNNNNFGHIIIJJJJIIJJIJJJIIIIIIIJJJJIGNNHIJJIIIJJIIJJIILPAPBLMBPCLDLKSDSUMLMCVDLKSDSM9A11101101MIN1MAXMAX1MAXMAXMAXMAXMAXMAXFNNNFGIIIJJJJIIJJIIIIJJJIGNNHIIJJJIJJIIIIIIJJINHSIJJJILPAPBLMBPCLMLDLKSDSUMCVEMDLKSEDS31证明周期
46、解的唯一存在性311证明周期解的存在性证明假设12,NXTXTXTXT是系统（21）的任意一个解，012,BNPCBF,定义,0,IIXTTI则12,NXTXTXTXT也是系统（21）的一个解，012,BNFPCB。令1,0NPIIIIIVXTMXTXTMI，,IIIXTXTYT则由引理（22）和系统（21）得12221122,0,SGN1,IPTXIIIPPPXXNNVTXVTXPMYTYTVPPDIAGMXMXMX1011,NIIIIIIIJJJJJJNNIJJJJJIJJJJJJJJILIDYTDXTXTATXTXTBTFXTFXTCTGXTTGXTTDTKSHXTSHXTSDSDTXT1,MIILIIILXTTXTXTTDT110111,12INNXIIIIJJJJJIJNNIJJJJJIJJJJJJJJTXXIILVVTXATXTXTBTFXTFXTCTGXTTGXTTDTKSHXTSHXTSDSTRACEVPM1101121SGN,12NNPIIIIIIJJJJJJNNIJJJJJIJJJJJJJJNPIIIYTYTATXTXTBTFXTFXTCTGXTTGXTTDTKSHXTSHXTSDSPPMY
