1、1毕业论文开题报告信息与计算科学有理多项式曲线逼近的新方法一、选题的背景与意义CAGD（计算机辅助几何设计）是一门迅速发展的新兴学科，它的核心问题是要解决工业产品几何形状的数学描述。它的出现和发展既是现代工业发展的要求，又对现在工业的发展起到了巨大的促进作用。它使几何学从传统时代进入数字化定义的信息时代，焕发出勃勃生机。有理函数（有理曲线、有理曲面）在CAGD（计算机辅助几何设计）学科中占有重要的地位，有广泛和重要的应用，它广为人们接受，为CAGD的进一步发展奠定了坚实基础。由于有理曲线在几何造型设计中有着广泛和重要的应用，但是相比较多项式曲线的形式较复杂，尤其是微分和积分的形式。因此用多项式
2、逼近有理曲线的问题具有重要的理论和实际意义，并已得到广泛的研究。BZIE曲线是参数多项式曲线，由于它采用一组独特的多项式基函数，使得它具有许多优良的性质，在诸多形式的参数多项式曲线中独树一帜，一经问世，就受到工业界和CAGD学术界的广泛重视，它是CAGD中最基本的造型工具之一，人们对它情有独钟。BZIER方法在实践中表现出强大的生命力。国内外研究文献中已有许多多项式BZIER曲线逼近有理BZIER曲线的方法，例如用混合多项式逼近有理函数、研究混合曲线控制点的移动范围、利用多项式逼近有理函数和有理曲线的收敛条件，研究区间有理BZIER曲线的边界、基于有理函数的混合表达式用HERMITE多项式逼近
3、有理BZIER曲线，研究多项式逼近有理曲线的收敛条件、用HERMITE多项式逼近有理BZIER曲线的递归方法，以及通过用低阶的多项式曲线来插值有理参数曲线等。此外，由于BZIER曲线可以不断升阶，从而得到一个控制多边形序列，它们都定义同一条BZIER曲线。这个多边形序列将收敛都一个极限，就是所定义的BZIER曲线。因此可以通过升阶的方法使BZIER曲线一致收敛到有理多项式BZIER曲线。例如参考文献7中提到的方法对一个任意给定连续升阶的有理BZIER曲线，用它的控制点构造BZIER曲线的控制点，得出任意给定阶数的BZIER曲线序列的R2阶导数将一致收敛到对应的原有理BZIER曲线的R阶导数。这
4、些方法各有特点，各有自己的适用场合，但是关于这一问题显然还有值得完善和改进的地方。我将在已有研究方法的基础上，构造一个新的BZIER曲线，实现用新构造的多项式BZIER曲线逼近原有理BZIER曲线，与现有的研究方法相比，更具几何直观性，方法更简洁直接，并且将尽可能提高逼近精度，便于计算机操作与应用的实现。二、研究的基本内容与拟解决的主要问题1调研用多项式参数曲线逼近有理曲线的背景及意义，综述已有方法的优缺点；2提出用多项式参数曲线逼近有理曲线的一种新方法，并给出具体计算实例。构造新的BZIER曲线来逼近有理BZIER曲线。根据参考文献7，对一个任意给定连续升阶的有理BZIER曲线，用它的控制点
5、构造BZIER曲线的控制点，得出任意给定阶数的BZIER曲线序列的R阶导数将一致收敛到对应的原有理BZIER曲线的R阶导数,记升阶后的有理BZIER曲线的控制点为RP，根据参考文献7中的引理1SEEFARIN,1999当有理BZIER曲线NINININININININTBWTBPWTR0,0,不断升阶，它的控制点,NIP一致收敛到NIR，用RP和NIR的线性组合构造新的控制点，用这些线性变化的控制点作为多项式BZIER曲线的控制点，以此实现课题研究的目的，用构造的多项式BZIER曲线逼近有理BZIER曲线。三、研究的方法与技术路线1、尝试给出新控制顶点的解析表达式。使用直观的几何方法，通过升阶
6、的方法，改变原有理BZIER曲线的控制点和权值，以参考文献7作为理论依据，构造新的多项式BZIER曲线的控制点。实现用多项式BZIER曲线逼近有理BZIER曲线。2、提高逼近精度。在BZIER曲线性质的基础上，移动BZIER曲线的控制点，来逼近有理BZIER曲线，使得逼近误差尽可能小。3、给出适当的算例来说明我们所给出方法的可行性与可操作性。选4阶、5阶、6阶的BZIER曲线逼近同阶的有理BZIER曲线，以此说明用构造的新的多项式BZIER曲线逼近原有理BZIER曲线的有效性和可行性。4、整理用代表性算例计算的算法和结果，针对算例中出现的问题，提高逼近精度。3、在BZIER曲线性质的基础上，移
7、动BZIER曲线的控制点，调整逼近的方法。、修正逼近的精度的算法。四、研究的总体安排与进度120102011年第一学期第13周选题、开题论证会。第14周对文献综述和开题报告进行修改。第1519周收集资料，提交论文研究框架。220102011年第二学期第17周提交毕业论文初稿给指导教师审阅，修改论文。第8周毕业论文定稿，完成相关材料的填写，装订成册。第911周毕业论文上交教务办。第12周参加毕业论文答辩。五、主要参考文献1王国谨,汪国昭,郑建明,计算机辅助几何设计北京市高等教育出版社,200136462陈效群,陈发来,陈长松有理曲线的多项式逼近J高校应用数学学报A辑（中文版）,1998,S13寿
8、华好,王国瑾区间BEZIER曲线的边界J高校应用数学学报A辑（中文版）,1998,S14陈效群,娄文平有理曲线的区间BEZIER曲线的逼近J中国科学技术大学学报,2001,045孟祥国,王仁宏有理曲面的区间BEZIER曲面的逼近J数值计算与计算应用，2003,046THOMASWSEDERBERG,MASANORIKAKIMOTO,APPROXIMATINGRATIONALCURVESUSINGPOLYNOMIALCURVES,INNURBSFORCURVEANDSURFACEDESIGN,GFARIN,ED,SIAM,PHILADELPHIA,1991,PP1491587HUANGYOUDU
9、,SUHUAMING,LINHONGWEI,ASIMPLEMETHODFORAPPROXIMATINGRATIONALCURVESUSINGBEZIERCURVES,COMPUTERAIDEDGEOMETRICDESIGN,VOLUME25,ISSUE8,NOVEMBER2008,PAGES6976994毕业论文文献综述信息与计算科学有理多项式曲线逼近的新方法CAGD（计算机辅助几何设计）是一门迅速发展的新兴学科，它的核心问题是要解决工业产品几何形状的数学描述。它的出现和发展既是现代工业发展的要求，又对现在工业的发展起到了巨大的促进作用。它使几何学从传统时代进入数字化定义的信息时代，焕发出勃勃
10、生机。有理函数（有理曲线、有理曲面）在CAGD（计算机辅助几何设计）学科中占有重要的地位，有广泛和重要的应用，它广为人们接受，为CAGD的进一步发展奠定了坚实基础。由于有理曲线在几何造型设计中有着广泛和重要的应用，但是相比较多项式曲线的形式较复杂，尤其是微分和积分的形式。因此用多项式逼近有理曲线的问题具有重要的理论和实际意义，并已得到广泛的研究。BZIE曲线是参数多项式曲线，由于它采用一组独特的多项式基函数，使得它具有许多优良的性质，在诸多形式的参数多项式曲线中独树一帜，一经问世，就受到工业界和CAGD学术界的广泛重视，它是CAGD中最基本的造型工具之一，人们对它情有独钟。BZIER方法在实践
11、中表现出强大的生命力。国内外研究文献中已有许多多项式BZIER曲线逼近有理BZIER曲线的方法，例如用混合多项式逼近有理函数、研究混合曲线控制点的移动范围、利用多项式逼近有理函数和有理曲线的收敛条件，研究区间有理BZIER曲线的边界、基于有理函数的混合表达式用HERMITE多项式逼近有理BZIER曲线，研究多项式逼近有理曲线的收敛条件、用HERMITE多项式逼近有理BZIER曲线的递归方法，以及通过用低阶的多项式曲线来插值有理参数曲线等。此外，由于BZIER曲线可以不断升阶，从而得到一个控制多边形序列，它们都定义同一条BZIER曲线。这个多边形序列将收敛都一个极限，就是所定义的BZIER曲线。
12、因此可以通过升阶的方法使BZIER曲线一致5收敛到有理多项式BZIER曲线。例如参考文献7中提到的方法对一个任意给定连续升阶的有理BZIER曲线，用它的控制点构造BZIER曲线的控制点，得出任意给定阶数的BZIER曲线序列的R阶导数将一致收敛到对应的原有理BZIER曲线的R阶导数。这些方法各有特点，各有自己的适用场合，但是关于这一问题显然还有值得完善和改进的地方。我将在已有研究方法的基础上，构造一个新的BZIER曲线，实现用新构造的多项式BZIER曲线逼近原有理BZIER曲线，与现有的研究方法相比，更具几何直观性，方法更简洁直接，并且将尽可能提高逼近精度，便于计算机操作与应用的实现。研究的主要
13、内容有以下几点1、构造新的多项式BZIER曲线的解析表达式。根据参考文献7，对一个任意给定连续升阶的有理BZIER曲线，用它的控制点构造BZIER曲线的控制点，得出任意给定阶数的BZIER曲线序列的R阶导数将一致收敛到对应的原有理BZIER曲线的R阶导数,记升阶后的有理BZIER曲线的控制点为RP，根据参考文献7中的引理1SEEFARIN,1999当有理BZIER曲线NINININININININTBWTBPWTR0,0,不断升阶，它的控制点,NIP一致收敛到NIR，用RP和NIR的线性组合构造新的控制点，用这些线性变化的控制点作为多项式BZIER曲线的控制点，以此实现课题研究的目的，用构造的
14、多项式BZIER曲线逼近原有理BZIER曲线。2、根据研究方案，找到线性变化的控制点，具体计算几个有代表性的算例，这里选4阶、5阶、6阶的BZIER曲线逼近同阶的有理BZIER曲线，以此说明用构造的新的多项式BZIER曲线逼近原有理BZIER曲线的有效性和可行性。3、整理用代表性算例计算的算法和结果，针对算例中出现的问题，提高逼近精度。、在BZIER曲线性质的基础上，移动BZIER曲线的控制点，调整逼近的方法。6、修正逼近的精度的算法。参考文献1王国谨,汪国昭,郑建明,计算机辅助几何设计北京市高等教育出版社,200136462陈效群,陈发来,陈长松有理曲线的多项式逼近J高校应用数学学报A辑（中
15、文版）,1998,S13寿华好,王国瑾区间BEZIER曲线的边界J高校应用数学学报A辑（中文版）,1998,S14陈效群,娄文平有理曲线的区间BEZIER曲线的逼近J中国科学技术大学学报,2001,045孟祥国,王仁宏有理曲面的区间BEZIER曲面的逼近J数值计算与计算应用，2003,046THOMASWSEDERBERG,MASANORIKAKIMOTO,APPROXIMATINGRATIONALCURVESUSINGPOLYNOMIALCURVES,INNURBSFORCURVEANDSURFACEDESIGN,GFARIN,ED,SIAM,PHILADELPHIA,1991,PP1491
16、587HUANGYOUDU,SUHUAMING,LINHONGWEI,ASIMPLEMETHODFORAPPROXIMATINGRATIONALCURVESUSINGBEZIERCURVES,COMPUTERAIDEDGEOMETRICDESIGN,VOLUME25,ISSUE8,NOVEMBER2008,PAGES6976997本科毕业设计（20届）有理曲线多项式逼近的新方法8摘要【摘要】本文首先对BZIER曲线和有理BZIER曲线的发展、基本概念及性质做了比较简短的概括性介绍。在分析已有研究方法的基础上提出了一种构造多项式BZIER曲线的方法，用构造的多项式BZIER曲线逼近有理BZIER
17、曲线。连续升阶的有理BZIER曲线的控制点一致收敛到有理BZIER曲线等距点上的函数值，用升阶后的有理BZIER曲线的控制顶点和有理BZIER曲线等距点上的函数值构造一个线性组合，将这个线性组合作为BZIER曲线的控制点。用构造的多项式BZIER曲线逼近有理BZIER曲线，通过适当的实例说明了这种构造方法的可行性与可操作性，针对算例中出现的问题，通过两种方式提高逼近精度。【关键词】有理BZIER曲线；多项式逼近；升阶；一致收敛。ABSTRACT【ABSTRACT】FIRSTLY,THISPAPERINTRODUCESABRIEFCONCEPTSANDTHEDEVELOPMENTOFTHEBZI
18、ERCURVESANDTHERATIONALBZIERCURVESINTHEANALYSISOFTHEEXISTINGRESEARCH,AMETHODISPROPOSEDTOCONSTRUCTBZIERCURVE,WHICHAPPROXIMATESRATIONALBZIERCURVESASTHERATIONALBZIERCURVEBEINGELEVATED,ITSCONTROLPOINTSCONVERGETORATIONALBZIERCURVEEQUIDISTANTFUNCTIONVALUESUNIFORMLY,USINGALINEARCOMBINATIONOFELEVATEDCONTROLP
19、OINTSANDRATIONALBZIERCURVEEQUIDISTANTFUNCTIONVALUESASABZIERCURVECONTROLPOINTSUSINGTHECONSTRUCTEDPOLYNOMIALBZIERCURVEAPPROXIMATESRATIONALBZIERCURVE，THROUGHAPPROPRIATEEXAMPLESILLUSTRATETHECONSTRUCTIONANDOPERATIONALFEASIBILITYOFTHEMETHOD,INORDERTOSOLVETHEPROBLEMSOFTHEEXAMPLES,TWOWAYSCANBEUSEDTOIMPROVET
20、HEAPPROXIMATIONACCURACY【KEYWORDS】RATIONALBZIERCURVE；APPROXIMATIONWITHPOLYNOMIAL；DEGREEELEVATION；UNIFORMCONVERGENCE。9目录摘要8ABSTRACT8目录91绪论1011研究背景及意义1012研究现状及相关工作112逼近方法1221基础知识1222研究方法153计算实例1631算例一（控制顶点为凸型）16311构造的BZIER曲线（目标曲线）16312修正最优化过程中逼近精度的方法1832算例二（控制顶点为弯曲型）20321构造的BZIER曲线（目标曲线）20322修正最优化过程中逼近
21、精度的方法224总结24参考文献26致谢错误未定义书签。附录错误未定义书签。101绪论本章首先介绍BZIER曲线和有理BZIER曲线的历史背景，指出有理BZIER曲线的形式比较复杂，尤其实微分和积分的形式，而BZIER曲线不仅克服了这些不足，形式简单，微分和积分也很容易求解，而且增强了曲线、曲面设计和表示的灵活性。因此用BZIER曲线逼近有理BZIER曲线的问题具有重要的理论和实际意义，并已得到广泛地研究。11研究背景及意义CAGD（计算机辅助几何设计）是一门迅速发展的新兴学科，它的核心问题是要解决工业产品几何形状的数学描述。它的出现和发展既是现代工业发展的要求，又对现代工业的发展起到了巨大的
22、促进作用。它使几何学从传统时代进入数字化定义的信息时代，焕发出勃勃生机。有理函数（有理曲线、有理曲面）在CAGD学科中占有重要的地位，有广泛和重要的应用，它广为人们接受，为CAGD的进一步发展奠定了坚实基础。由于有理函数（有理曲线，有理曲面）在几何造型设计中有着广泛和重要的应用，但是相比较有理曲线的形式较复杂，尤其是微分和积分的形式。因此用多项式曲线逼近有理曲线的问题具有重要的理论和实际意义。BZIER曲线是参数多项式曲线，也是应用于图形应用程序的数学曲线。曲线的定义有四个点起始点、终止点（也称锚点）以及两个相互分离的中间点。由于它采用一组独特的多项式基函数，使得它具有许多优良的性质，滑动两个
23、中间点，BZIER曲线的形状会发生变化，在诸多形式的参数多项式曲线中独树一帜。十九世纪六十年代晚期，PIERREBZIER应用数学方法为雷诺公司的汽车制造业描绘出了BZIER曲线。BZIER曲线就是这样的一条曲线，它是依据四个位置任意的点坐标绘制出的一条光滑曲线。在历史上，研究BZIER曲线的人最初是按照已知曲线参数方程来确定四个点的思路设计出这种矢量曲线绘制法。BZIER曲线的有趣之处更在于它的“皮筋效应”，也就是说，随着点有规律地移动，曲线将产生皮筋伸引一样的变换，带来视觉上的冲击。因此BZIER曲线一经问世，就受到工业界和CAGD学术界的广泛重视，它是CAGD中最基本的造型工具之一，人们
24、对它情有独钟。BZIER方法在实践中表现出强大的生命力。BZIER曲线具有很多优良性质，克服了有理BZIER曲线形式复杂的不足，它的形式简单，微分和积分也很容易求解，同时BZIER曲线也增强了曲线、曲面设计和表示的灵活性。因此11用BZIER曲线逼近有理BZIER曲线的问题具有重要的理论和实际意义，并已得到广泛地研究。12研究现状及相关工作由于有理曲线的形式较复杂，尤其是微分和积分的形式，因此用多项式曲线逼近有理曲线的问题具有重要的理论和实际意义，并已得到广泛的研究。作为CAGD系统中重要的一个概念，BZIER曲线和有理BZIER曲线理论的发展与不断完善是国内外无数科研工作者几十年努力的结果。
25、特别是有理BZIER曲线，他通过增加了若干个权值而大大增强了曲线的灵活性，因而倍受人们的关注。国内外研究文献中已有许多多项式BZIER曲线逼近有理BZIER曲线的方法，例如SEDERBERG和KAKIMOTO1991提出用混合多项式逼近有理函数，WANG和SEDERBERG1994研究了区间有理BZIER曲线的边界。基于有理函数的混合表达式，WANGETAL1997提出用HERMITE多项式逼近有理BZIER曲线，研究多项式逼近有理曲线和有理函数的收敛条件。WANG和ZHENG1997研究了混合曲线控制点移动的边界。LIU和WANG2000提出用HERMITE多项式逼近有理BZIER曲线的递归
26、公式。FLOATER2006利用HERMITE的方法，证明很多有理参数曲线能够用相对于基准数目的低阶多项式曲线插值。此外，由于BZIER曲线可以不断升阶，从而得到一个控制多边形序列，它们都定义同一条BZIER曲线。这个多边形序列将收敛到一个极限，就是所定义的BZIER曲线。因此可以通过升阶的方法使BZIER曲线一致收敛到有理BZIER曲线。HUANGYOUDU,SUHUAMING,LINHONGWEI提出用BZIER曲线序列逼近有理BZIER曲线，对任意一个给定阶数的有理BZIER曲线连续升阶，用连续升阶的有理BZIER曲线的控制点构造BZIER曲线序列的控制点，通过引用两个基本引理，得出任意
27、给定阶数的BZIER曲线序列的R阶导数将一致收敛到对应的原有理BZIER曲线的R阶导数。这些方法各有特点，各有自己的适用场合，但是关于这一问题显然还有值得完善和改进的地方。在已有研究成果的基础上，通过研究分析提出一种新的逼近方法，构造一个用线性组合为控制点的BZIER曲线，实现用构造的多项式BZIER曲线逼近有理BZIER曲线。这种新的逼近方法以已有研究成果为理论指导，综合了已有成果，从而确保了逼近方法的可行性。借助强大的数学软件MAPLE，通过两个代表性实例进行具体的实践操作，保证了逼近方法的可操作性。与现有的研究方法相比，更具几何直观性，方法更简洁直接。针对实例中出现的问题，提出可行的两种
28、解决方法，尽可能的提高了逼近精度，便于计算机操作与应用的实现。122逼近方法本章着重介绍了BZIER曲线和有理BZIER曲线的定义和一些基本性质，在已有研究成果的基础上，通过研究分析提出一种新的逼近方法，构造一个线性组合作为BZIER曲线的控制点，得到逼近有理BZIER曲线的BZIER曲线，用两个代表性的实例，说明逼近方法的可操作性。针对两个典型实例中出现的问题，采用两种解决方法，提高逼近精度。21基础知识BERNSTEIN基函数IINNINITTTB1，1,0,11TTTININTTCINIINIINNI0I10,0其他NIBNI10,1其他NIBBZIER曲线的定义在空间给定N1个点NPP
29、P,10，称下面的多项式参数曲线为N次BZIER曲线1,0,0TTBRTPNINII，其中TBNI为BERNSTEIN基函数。称折线NPPP10为TP的控制多边形，称NPPP,10各点为TP的控制顶点。控制多边形NPPP10是对BZIER13曲线TP的大致勾画，TP是对控制多边形的逼近。如图1是N次BZIER曲线和它的控制多边形。图图2N次BZIER曲线和它的控制多边形有理BZIER曲线的定义及性质称下面的参数曲线1,0,0,0,TTBWTBPWTRNINIININIII为以NPPP10为控制多边形，以NWWW,20为权值的N次有理BZIER曲线。为使分母不为0，一般要求权值IW0。易知TR具
30、有以下性质令IRIP，所有的IW等于相同的非零值W,则任何多项式BZIER曲线都能表示一个有理BZIER曲线。00000TPWTBPWTBWTBPWTWBTBWPTRRIRIIRIRIRIRIIRIRIRIRII形状灵活BZIER曲线的形状由控制多边形唯一决定，而有理BZIER曲线则不同。控制多边形确定14后，还可以通过调整权值，改变曲线的形状，因而显得更灵活。良好的端点性质与BZIER曲线一样，有理BZIER曲线也以NPP,0为端点与边NPPP10相切等。即00PP，1PPN1,0110101NNNNPPWWNPPPWWNP）（良好的几何性质有理BZIER曲线与BZIER曲线一样具有凸包性、
31、保凸性、变差减缩性、几何不变性、仿射不变性和良好的交互能力等性质。对称性将有理BZIER曲线与BZIER曲线多边形顺序取反，定义同一条有理BZIER曲线与BZIER曲线，只是曲线的方向相反。移动N次有理BZIER曲线与BZIER曲线的第I个控制顶点IP，将对曲线上参数为NIT那点的函数值NIR和NIP发生最大的影响。这是因为相应的BERNSTEIN基函数TBNI在NIT处达到最大值。有理BZIER曲线的升阶令,NININIPWQ则NIW,NIP,NIQ,有递归的公式,11011111,N,IWNINWNIWI,N,NII,N,N,IQNINQNIQI,N,NII,N110111111,N0,1
32、,I,WI1NIWQI1NIQWQPNI,N1,INI,N1,I1NI,1NI,1NI,则有理BZIER曲线升阶后的参数形式为1,0,101,1,101,1,1,TTBWTBPWTRNINNINININININI有理BZIER曲线等距点的函数值作为控制顶点的BZIER曲线令1,1,3,2,1NNNINIT，将T代入有理BZIER曲线中，得到以有理BZIER曲线等距点的函数值，以这些函数值作为控制顶点，得到一条BZIER曲线。151,0,1110TTBNIRTUNDPNINI22研究方法本文提出用BZIER曲线逼近有理BZIER曲线的另一种方法，这种方法能够很容易地推广到一系列一般的有理函数、有
33、理曲线、有理曲面。也就是对一个给定的连续升阶的有理BZIER曲线，由于连续升阶的有理BZIER曲线的控制点一致收敛到NIR，用连续升阶的有理BZIER曲线的控制点TRN和NIR的线性组合作为BZIER曲线的控制点，用构造的多项式BZIER曲线逼近有理BZIER曲线。BERNSTEIN基函数有很多优良的性质，像引理2【10】令,0,TBNIPTBNININ则对于任意给定的非负R，0,0TRTBNIRTRTBRRNINIRRNN,T0,1表示一致收敛。而BZIER曲线0TBRTPPIPII和有理BZIER曲线NINIININIIITBWTBPWTR0,0,（IP为控制点，IW为权值）中都采用BER
34、NSTEIN基函数多项式，这使得BZIER曲线和有理BZIER曲线也有很多优良的性质，便于形状设计。引理1【10】SEEFARIN,1999当NINININININININTBWTBPWTR0,0,不断升阶，,NIP一致收敛到NIR，NIP,NIROR0,NIRPNINI0,1,N，表示一致收敛。基于此引理可以将任意给定阶数的有理BZIER曲线连续升阶。根据升阶公式，升阶后的有理BZIER曲线的控制顶点在原有理BZIER曲线控制顶点的基础上不断增加，这些升阶后的控制顶点形成一个位于有理BZIER曲线图像上方的一个控制多边形。若以有理BZIER曲线等距点上的函数值为控制顶点，这些控制顶点也将形成
35、一个位于有理BZIER曲线图像下方的控制多边形。也就是说在有理BZIER曲线的上方有一条升阶的有理BZIER曲线，下方有一条以有理BZIER曲线等距点上的函数值NIR为控制点的BZIER曲线。如果用升阶的有理BZIER曲线的控制点,NIP和有理BZIER曲线等距点上的函数值16NIR构成一个线性组合5,2,1,1,INIRUPUINII，将这个线性组合作为BZIER曲线的控制顶点，用这个构造的BZIER曲线逼近有理BZIER曲线。由于IU的变化可以调节BZIER曲线的控制顶点，通过最优化，得到最适合的IU即得到多项式BZIER曲线最佳的控制顶点，这个最适的控制顶点得到的BZIER曲线使得逼近有
36、理BZIER曲线的效果最好。这种构造方法是在已有方法的基础上，通过一个线性组合，将已有的方法进行综合，实现用多项式BZIER曲线逼近有理BZIER曲线。很明显，理论上这种构造方法是非常简单可行的。而且，可以通过两个代表性的算例说明构造BZIER曲线方法的可行性与可操作性。同时针对两个实例中出现的精度问题，采用两种方法不断升级和增加取点的方式提高逼近精度，使逼近误差尽可能小。3计算实例本章主要通过两个实例说明所用构造的BZIER曲线逼近有理BZIER曲线方法的可行性与可操作性。由于BZIER曲线是应用于图形应用程序的数学曲线，而MAPLE又作为世界上最通用的数学和工程计算软件，在数学和科学领域享
37、有盛誉。MAPLE不仅提供编程工具，更主要的是在它的运行环境下，从简单的数字计算到高度复杂的非线性问题，它都可以帮助快速、高效地解决问题。因此借助于数学软件MAPLE的运行环境，通过编写程序，论文中实例的各种表达式都很容易求解，每条曲线的图像可以轻而易举的画出并加以区别。31算例一（控制顶点为凸型）311构造的BZIER曲线（目标曲线）选4阶的BZIER曲线作为算例，控制顶点TP0,0,1,15,3,2,5,15,6,05权值TW1,1,2,15,1有理BZIER曲线的参数表达式4322344322316112141613013614TTTTTTTTTTTTTTTRX4322344322316
38、112141501912416TTTTTTTTTTTTTTTRY17升阶后的有理BZIER曲线按升阶公式升阶后的权值TICSW1,1,16,18,14,1；升阶后的控制顶点TICSP0,0,08,12,25,1875,3667,1833,5142,1357,6,05升阶后的有理BZIER曲线的参数表达式54233245542332417118116151613616614014TTTTTTTTTTTTTTTTTTTICSRX542332455423324171181161515015913313016TTTTTTTTTTTTTTTTTTTICSRY以有理BZIER曲线等距点的函数值作为控制顶点
39、的BZIER曲线控制顶点TUNDP0,0,1314,1104,2619,1588,3686,1617,4768,131,6,05曲线的参数表达式为542332461842318636119261576TTTTTTTTTUNDX542332450155611716188151525TTTTTTTTTUNDY构造的BZIER曲线（即目标曲线）目标曲线的控制顶点按公式5,2,1,1IUNDPUICSPUOBJPTITIT计算，则控制顶点TOBJP0,0,0805142U,1200962U,2501193U,187502873U,36670024U,183302164U,514303755U,1375
40、00475U,6,05；构造的BZIER曲线（即目标曲线）的参数表达式55442333224637501435150206673T110T0119U25110T0514U0815TUTTUTTTOBJX5544233322450047035711521608331T110T0287U1875110T0096U1215TUTTUTTTOBJY最优化使用积分函数1022OBJYRYOBIXRXMIN求最优化值，具体方法均匀的取4个点，使有理BZIER曲线和构造的BZIER曲线距离的平方最小，使用MAPLE软件里最优化18函数MINIMIZE计算最优化结果802022OBJYRYOBJXRXMINI
41、MIZE最优化结果8770,9190,0541,5921,05431UUUUU将最优化结果代入目标曲线，得到控制顶点为TOBJP0,0,1619,1046,2375,2177,3645,2032,4814,1316,6,05目标曲线的参数表达式5423324610724149361752310938TTTTTTTTTOBJX54233245015786132201772112325TTTTTTTTTOBJY逼近精度IMIN0801036702610图3粉色为控制多边形，蓝色为升阶的有理BZIER曲线（有理BZIER曲线），棕色为等距点的BZIER曲线，绿色为目标曲线312修正最优化过程中逼近精
42、度的方法取点多少对精度的影响均匀的取9个点，使有理BZIER曲线和构造的BZIER曲线距离的平方最小，使用MAPLE软件的最优化函数MINIMIZE计算最优化结果901022OBJYRYOBJXRXMINIMIZE最优化结果8630,1621,7860,4461,054321VVVVV将最优化结果代入目标曲线，得到逼近精度IVMIN00401016399650由于MINVMIN，因此取点越多逼近效果会越好19图4粉色为控制多边形，蓝色为升阶的有理BZIER曲线（有理BZIER曲线）棕色为等距点的BZIER曲线，绿色为目标曲线连续升阶对精度的影响升一阶即5阶权值和控制顶点都按升阶公式升阶均匀的取
43、4个点，使有理BZIER曲线和构造的BZIER曲线距离的平方最小，使用MAPLE软件的最优化函数MINIMIZE计算最优化结果802022OBJYRYOBJXRXMINIMIZE最优化结果1852,6535,2835,7323,162,0654321KKKKKK将最优化结果代入目标曲线，得到逼近精度IKMIN07800665519400由于MINKMIN，因此升阶可以提高逼近精度图5粉色为控制多边形，蓝色为升阶的有理BZIER曲线（有理BZIER曲线）棕色为等距点的BZIER曲线，绿色为目标曲线再升一阶即6阶在升5阶的基础上，权值和控制顶点都按升阶公式升阶均匀的取4个点，使有理BZIER曲线和
44、构造的BZIER曲线距离的平方最小，使用MAPLE20软件的最优化函数MINIMIZE计算最优化结果802022OBJYRYOBJXRXMINIMIZE最优化结果1413,2535,1693,80,391,282,0RE76543212222222KKKKKKKSULT将最优化结果代入目标曲线，得到逼近精度IMINK0007707639802由于MINMINK2，因此升阶可以提高逼近精度。图6粉色为控制多边形，蓝色为升阶的有理BZIER曲线（有理BZIER曲线）棕色为等距点的BZIER曲线，绿色为目标曲线32算例二（控制顶点为弯曲型）321构造的BZIER曲线（目标曲线）选4阶的BZIER曲线
45、作为算例，控制顶点TP1,3,2,2,3,1,4,4,5,2权值TW1,1,2,15,1有理BZIER曲线的参数表达式4322344322342161121415124136181TTTTTTTTTTTTTTTTRX43223443223421611214121241121813TTTTTTTTTTTTTTTTRY升阶后的有理BZIER曲线升阶后的权值2TICSW1,1,16,18,14,121升阶后的控制顶点2TICSP1,3,18,22,275,125,333,2,414,371,5,2升阶后的有理BZIER曲线的参数表达式542332455423324521711811615151291
46、60144191TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTICSRX5423324554233245217118116151212613612011113TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTICSRY以有理BZIER曲线等距点的函数值作为控制顶点的BZIER曲线控制顶点TUNDP1,3,1982,2154,2773,1929,3377,2244,4034,268,5,2曲线的参数表达式542332452511720177331732719191TTTTTTTTTTUNDX5423324522141314422129191771013TTTTTTTTTTUNDY构造的BZIER曲线（即目标曲线
47、）目标曲线的控制顶点按公式5,2,1,1222IUNDPUICSPUOBJPTITIT计算，则控制顶点2TOBJP1,3,180182U,2200462U,27500232U,12506832U,333004442U,202442U,4143010952U,37110352U,5,2；目标曲线的参数表达式524223232245251090143415040333T10T10022U275110T018U181515432TUTTUTTTTOBJX524223232245220317131524402T110T0679U125110T0046U2215135432TUTTUTTTTOBJY最优化使用积分函数10222222OBJYRYOBIXRXMIN求最优化值。具体方
