1、线性代数第三章习题解1. 计算下列行列式:1) ; 2) ; 3) 43212ba704解: 1) ;2632) ;)(22abab3) .0)4(7042. 计算下列三阶行列式:1) ; 2) ; 3) 24130320175bac解: 1) 将行列式按第一列展开 81034124130 2) 将行列式按第二行展开 17235273053) 3333 cbacbacbaccb 3. 计算下列行列式:1) ; 2) ;0543222111baedcba xyyxyDn0000 3) fedc0解: 1) 将行列式按第一列展开后, 得到的各子式再按第二列展开 , 这样展开后的后三列构成的任何三阶
2、子式都至少包括一行 0, 因此后三列任何三阶子式均为 0, 整个行列式的值 D=0.2) 将行列式按第一列展开得 nnnn yxyyxxyyxD 11 )(00)(00 3) 先对第一列展开, 然后对第二列展开 , 得 abdfffedbafeab004. 利用行列式的性质计算下列行列式1) ; 2) ;2605314efcfbda3) 2222222 )3()()1()()()(ddccbaa解: 下面都将所求行列式的值设为 D.1) 因为第 1 行加到第 2 行以后 , 第 2 行将和第 4 行相等, 因此行列式的值 D=0;2) 首先从第 1,2,3 行分别提取公因子 a,d,f, 再从
3、第 1,2,3 列提取公因子 b,c,e, 得adfbcefadfbcecfbda 402113) 将第 2,3,4 列都展开, 并统统减去第 1 列, 得964122 ddccbbaaD再将第 3 列减去 2 倍的第 2 列, 第 4 列减去 3 倍的第 2 列, 得06212dcbaD5. 把下列行列式化为上三角形行列式, 并计算其值1) ; 2) 150233421647954解:1) 1203485012038451)/3(2502134 24 cr 130510305583504812442342 crr 27)(52701)2(43 r2) 0210365)(21461759231
4、64729543 433 rc930125130125)2(0106235 44332 rrr6. 计算下列 n 阶行列式1) 2) 1215432nn abba解: 1) 设此行列式的值为 D, 将第 2,3,n 列均加于第一列, 则第一列的所有元素均为, 将此公因式提出, 因此有)(3 12154321)(2nnD 再令第 n 行减去第 n-1 行, 第 n-1 行减去第 n-2 行, , 第 2 行减去第 1 行, 可得 11)(21103)1(2 nnnnnD 1)(2)(2)0011)(2 nnnn 2) 此题和第 3 题的 2)一样, 因此有 nbaD1)(7. 证明下列行列式1)
5、 )()(1acbacba2) nbanbaba)(22 证: 1) )()()()(01)(1322 cabcabcbacab )()(c2) 用归纳法, 设 Dn为所求行列式值, 当 n=1 时, 等式成立.21ba假设当 n=k 时假设成立, 即有 kk bababaD)(2 当 n=k+1 时, 按 第 一 列 展 开 21kabbaDk 1212kabbakabab122222 )()()()( kkkk bDa证毕.8. 求矩阵 的伴随矩阵 A*, 并求 A-1.2103A解: 310,30, 1211 2,40,03212 AAA 10,1,132313 因此得 243213*A
6、AA 的行列式为 5130| 13121 aa因此有 21435|*1A9. 设 A 为三阶方阵, A *是 A 的伴随矩阵, 且| A|=1/2, 求行列式|(3A) -1-2A*|的值.解: 因 , 以及 , 还有 ,111 2| 113(2|1|则 7628|3|3|2)3(| 111*1 AAA10. 设 A 为 n 阶可逆阵, A 2=|A|I, 证明: A 的伴随矩阵 A*=A.证: 因 A 可逆, 则在等式 A2=|A|I 两边乘 A-1, 得 A=|A|A-1, 即, 而因为 , 所以有 A=A*, 证毕.|1 *1|11. 用克莱姆法则解下列方程组.(1) (2) 10329
7、534321x243256111431xx解: (1) 方程的系数矩阵 A 为, 常数向量 , 则求 A 的逆矩阵:13254AT0293 103170584)(50312r 3179/524)9/1(2r 19/7/800/7)(321r 3/127/8100952/3/1r /)(23r因此得 3/127/8109/A则方程的解 X 为 5431029/7/2/89/132x即 x1=3,x2=4,x3=5.(2) 方程的系数矩阵 A 为, 常数向量43125AT26先求 A 的逆 A-1: 10431251043125r 102075)(412r 102041631)(32r 01416
8、02/034)2/1(34r 31502/26)1(432r 5/315/10202/21)5/(4r 5/3/15/10007/7/9/1)2(34r因此有 5/3/15/107/2/9/A则 0265/3/15/107/7/2/9/1432xX即 x1=0, x2=2, x3=0, x4=0.12. 如果齐次线性方程组有非零解, k 应取什么值?0)4(265zxy解: 此方程组的系数矩阵 A 为kkA402625要使方程组有非零解, 必须有 det(A)=0.而 kkrkkA 402245)(402625)det( 321 krkk 1)(2)1)( 13 )8(5)2(806402)5( 312 krkk因此, 只有当 k=5 或者 k=2 或者 k=8 时, 此方程组才有非零解.13. 问 , 取何值时, 齐次线性方程组有非零解?0231xx解: 此方程组的系数矩阵 A 为, 要使方程组有非零解, 必须 det(A)=0, 12A而 012)(12)det(321rA )()(3 列 展 开按 第因此, 只有当 =1 或者 =0 时, 方程组才有非零解.
