1、1组合数学基础-问题与练习（陶平生）基本内容与方法：组合计数；组合构造；组合结构；映射与对应；分类与染色；归纳与递推；容斥原理；极端原理；调整法；补集法；数形结合法，等等、设 为 元集，若 有 个不同的子集 ，满足：对于每个1Mnk12,kA， ，求正整数 的最大值,2,ijk ijA、将前九个正整数 分成三组，每组三个数，使得每组中的三数之和皆为质1,29数；求出所有不同分法的种数、设正整数 的各位数字全由 和 组成，由其中任意 个连续数位上的数3a 2k字所组成的 位数，称为数 的一个“ 段” ；若数 的任两个“ 段”都不相同kka证明：对于具有这种性质的最大正整数 ，其开初的一个“ 段”
2、和最后的一个“1段”必定相同.1、将数集 中所有元素的算术平均值记为 ，4,.21naA )(AP（ ）. 若 是 的非空子集，且 ，则称 是 aP.)(21 BABBA的一个“均衡子集” 试求数集 的所有“均衡子集”的个数9,8765,43M、某校有 名新生，每人至少认识其中 人，试求 的最小值，使得其中必存在5201n彼此认识的 个人.6、有 名运动员，其编号分别是 ，在一次活动中，他们以任意方式n1,2站成了一排. 如果每次允许将其中一些人两两对换位置，但在同一轮操作过程中,任一人至多只能参与一次这种对换.证明：至多只需两轮这样的操作，可使队列变成 的顺序排列.,n、称自然数 开初若干位
3、数字组成的数为 的“前缀”.例如， 都7aa2,01,是数 的“前缀”.201证明：对于任一给定的正整数 ，存在正整数 ，使 为 的“前缀”.MnMn2、对于 元集合 ，若 元集 ，82n1,2Mn 12,nAa满足： ，且 ，则称 是集12,nBb ,AB11nkkbAB的一个“等和划分” （ 与 算是同一个划分） 试确定集 共有多少个“等和划分” 1,2M、对于由前 个正整数构成的集合 ，若能将其元素适当划分，排成9n1,2Mn两个 项的数列： ，使得 ，12(,),()nAaBb ,12,kabn则称 为一个友谊集，而数列 称为 的一种友谊排列，例如 和M(30796)A便是集合 的一种
4、友谊排列，或记为 ；(2,8451)B1,20 ,28451、证明：若 为一个友谊集，则存在偶数种友谊排列；0),n、确定集合 及 的全体友谊排列(2128M 21,0、一副纸牌共 张，其中“方块” 、 “梅花” 、 “红心” 、 “黑桃”每种花色的牌各 张，105 13标号依次是 ，其中相同花色、相邻标号的两张牌称为“同花顺牌” ，2,310,JQKA并且 与 也算是顺牌（即 可以当成 使用）. A1试确定，从这副牌中取出 张牌，使每种标号的牌都出现，并且不含“同花顺牌”的3取牌方法数、一副三色牌，共有纸牌 张，其中红黄蓝每种颜色的牌各 张，编号分别是13210；另有大小王牌各一张，编号均为
5、 ，从这副牌中任取若干张牌，然后按如下,20 0规则计算分值：每张编号为 的牌计为 分，若它们的分值之和为 ，就称这些牌为kk 24一个“好”牌组 试求 “好”牌组的个数、奥运会排球预选赛有 支球队参加，其中每两队比赛一场，每场比赛必决出胜负，12n如果其中有 （ ）支球队 ，满足： 胜 ， 胜 ，k312,kA 1A23A3胜 ， 胜 ，则称这 支球队组成一个 阶连环套；1kAk1Akk证明：若全部 支球队组成一个 阶连环套，则对于每个 （ ）及每支球队nn3kniA， 必另外某些球队组成一个 阶连环套.ii k、任意给定 个互不相等的 位正整数，证明：存在 ，使13 2nn1,2kn得将它
6、们的第 位数字都删去后，所得到的 个 位数仍互不相等.k1、桌面上放有 枚硬币，其中有的正面朝上，其余的正面朝下，今有 人依401 0次按如下方法翻转硬币：第一人翻转其中的一枚，第二人翻转其中的两枚，第 人翻k转其中的 枚，第 人则将 枚硬币全部翻转k20证明： 、不论硬币最初正反面的分布情况如何，他们总可采取适当的步骤，使得人都操作之后，恰使所有的硬币朝同一个方向；209、硬币最后的统一朝向，只依赖于初始分布，而与具体的翻币方案无关、平面上任给 个点，每两点间的距离不超过 ；15161证明：其中必有两点，它们间的距离不超过 24、某选区有 个选民，分别持有编号为 的选票，选区共设16100,
7、1,9有 个投票站，编号分别是 选区制定了一条法律：规定选民 如果要0,012,9 z将选票投到票站 ，只有当该选民所持有的选票号码中，若去掉其中某一数码后，剩下的A两位数恰好就是该票站的号码时方可进行， （例如，持 号票的选民，只能到135号票站之一去投票） ；13,5问，在这一法规下，该选区最多可以关闭多少个投票站，使得剩下的投票站还能确保选举照常进行？、在平面直角坐标系中给定 边形 ，满足： 、 的顶点坐标都是整数；1710P01P、 的边都与坐标轴平行； 、 的边长都是奇数02P3证明： 的面积为奇数、 矩形 的一组邻边之长为： ，其中 是互质的18mnABCD,ABmDn,正奇数，该
8、矩形被分割成 个单位正方形，设矩形的对角线 与这些单位正方形的边C4相交，顺次得到交点 （其中 ） 12,kA 1,kAC试求 的值11()kjjj、边长为 的菱形 , 其顶角 为 ,今用分别与 及 平行的19nABCDAo60,ABD三组等距平行线，将菱形划分成 个边长为 1 的正三角形2n(如图所示).试求以图中的线段为边的梯形个数 .sn、某学校有 名学生，学号分别是 ，该校的会场恰有 个座位，202011,20 201分别编号为 ，学生的每次集会都是不用对号入座的；如果在一次集会中，任,一个学号为 的学生都不坐在 号位，且任意 个学号为 的学生，其座位号kkn12,nkka集合 异于学号集合 ， （其中 ， 为坐在 号12,n 12,nkka 0ma位置上的学生的学号） ，就称这种坐法是“奇特”的对于每种“奇特”坐法 ：，令 ，求 的最小值，并确定达到最小值时的所1201,a 2012kMaM有入座情况
