1、极坐标与参数方程综合测试题1在极坐标系中，已知曲线 C：=2cos，将曲线 C 上的点向左平移一个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长到原来的 2 倍，得到曲线 C1，又已知直线 l 过点 P（ 1,0） ，倾斜角为 ，且直线 l 与曲线 C1 交于 A，B 两点3（1）求曲线 C1 的直角坐标方程，并说明它是什么曲线；（2）求 + 2在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程 （ 为参数） ，以 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（1）求圆 C 的极坐标方程；（2）直线 l 的极坐标方程是 2sin（ + ）=3 ，射线 OM：= 与圆 C 的交点为 O、P，与直线 l 的交点为
2、Q，求线段 PQ 的长3在极坐标系中，圆 C 的极坐标方程为： 2=4（ cos+sin）6若以极点 O为原点，极轴所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系（）求圆 C 的参数方程；（）在直角坐标系中，点 P（x ，y）是圆 C 上动点，试求 x+y 的最大值，并求出此时点 P 的直角坐标4若以直角坐标系 xOy 的 O 为极点，Ox 为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线 C 的极坐标方程是 = （1）将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；（2）若直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ， ，当直线 l 与曲线 C3P,02相交于 A，B 两点，求 .2BP5在
3、平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C1 的参数方程为 为参数） ，曲线 C2 的极坐标方3cos(2iny程为 （1）求曲线 C1 的普通方程和曲线 C2 的直角坐标方程；（2）设 P 为曲线 C1 上一点， Q 曲线 C2 上一点，求|PQ|的最小值及此时 P 点极坐标6在极坐标系中，曲线 C 的方程为 2= ，点 R（2 ， ） （）以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线 C的极坐标方程化为直角坐标方程，R 点的极坐标化为直角坐标；（）设 P 为曲线 C 上一动点，以 PR 为对角线的矩形 PQRS 的一边
4、垂直于极轴，求矩形 PQRS 周长的最小值7已知平面直角坐标系中，曲线 C1 的参数方程为 （ 为参数） ，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 =2cos（）求曲线 C1 的极坐标方程与曲线 C2 的直角坐标方程；（）若直线 = （ R）与曲线 C1 交于 P，Q 两点，求|PQ|的长度8在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，己知直线 l 的极坐标方程为 cossin=2，曲线 C 的极坐标方程为 sin2=2pcos（p 0） （1）设 t 为参数，若 x=2+ t，求直线 l 的参数方程；（2） 已知直线
5、l 与曲线 C 交于 P、Q，设 M（2， 4） ，且|PQ|2=|MP|MQ|，求实数 p 的值9在极坐标系中，射线 l：= 与圆 C：=2 交于点 A，椭圆 的方程为 2=，以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系 xOy（）求点 A 的直角坐标和椭圆 的参数方程；（）若 E 为椭圆 的下顶点，F 为椭圆 上任意一点，求 的取值范围10已知在直角坐标系中，曲线的 C 参数方程为 （ 为参数） ，现以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为= （1）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程；（2）在曲线 C 上是否存在一点 P，使点 P 到直
6、线 l 的距离最小？若存在，求出距离的最小值及点 P 的直角坐标；若不存在，请说明理由11已知曲线 C1 的参数方程为 （t 为参数） ，以原点 O 为极点，以 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 （ I）求曲线 C2 的直角坐标系方程；（ II）设 M1 是曲线 C1 上的点，M 2 是曲线 C2 上的点，求|M 1M2|的最小值12设点 A 为曲线 C：=2cos 在极轴 Ox 上方的一点，且 0 ，以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系 xOy，（1）求曲线 C 的参数方程；（2）以 A 为直角顶点，AO 为一条直角边作等腰直角三角形 OAB（B 在
7、 A 的右下方） ，求 B 点轨迹的极坐标 方程13在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1： （ 为参数，实数 a0） ，曲线 C2： （ 为参数，实数 b0） 在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 l：=（0，0 ）与 C1 交于O、A 两点，与 C2 交于 O、B 两点当 =0 时，|OA|=1；当 = 时，|OB|=2（）求 a，b 的值；（）求 2|OA|2+|OA|OB|的最大值14在平面直角坐标系中，曲线 C1： （a 为参数）经过伸缩变换后，曲线为 C2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建极坐标系（）求 C2 的极坐标方程；（）设曲线 C3 的极坐标方程
8、为 sin（ ）=1 ，且曲线 C3 与曲线 C2 相交于P， Q 两点，求|PQ |的值15已知半圆 C 的参数方程为 ，a 为参数，a ， （）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求半圆 C 的极坐标方程；（）在（）的条件下，设 T 是半圆 C 上一点，且 OT= ，试写出 T 点的极坐标16已知曲线 C1 的参数方程为 （t 为参数） ，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 =2sin（）把 C1 的参数方程化为极坐标方程；（）求 C1 与 C2 交点的极坐标（0，02）极坐标与参数方程综合测试题答案 一
9、解答题（共 16 小题）1在极坐标系中，已知曲线 C：=2cos，将曲线 C 上的点向左平移一个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长到原来的 2 倍，得到曲线 C1，又已知直线 l 过点P（1,0） ，倾斜角为 ，且直线 l 与曲线 C1 交于 A， B 两点3（1）求曲线 C1 的直角坐标方程，并说明它是什么曲线；（2）求 + 【解答】解：（1）曲线 C 的直角坐标方程为：x 2+y22x=0 即（x1） 2+y2=1曲线 C1 的直角坐标方程为 =1，曲线 C 表示焦点坐标为（ ，0） ， （ ，0） ，长轴长为 4 的椭圆（2）将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的方程 =1 中，得 213
10、0t设 A、B 两点对应的参数分别为 t1，t 2， + = 21032在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程 （ 为参数） ，以 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（1）求圆 C 的极坐标方程；（2）直线 l 的极坐标方程是 2sin（ + ）=3 ，射线 OM：= 与圆 C 的交点为 O、P，与直线 l 的交点为 Q，求线段 PQ 的长【解答】解：（I）利用 cos2+sin2=1，把圆 C 的参数方程 为参数）化为（x1） 2+y2=1， 22cos=0，即 =2cos（II）设（ 1， 1）为点 P 的极坐标，由 ，解得 设（ 2， 2）为点 Q 的极坐标，由 ，解得
11、 1=2，|PQ|=| 12|=2|PQ|=23在极坐标系中，圆 C 的极坐标方程为： 2=4（ cos+sin）6若以极点 O为原点，极轴所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系（）求圆 C 的参数方程；（）在直角坐标系中，点 P（x ，y）是圆 C 上动点，试求 x+y 的最大值，并求出此时点 P 的直角坐标【解答】 （本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程解：（）因为 2=4（cos+sin ）6，所以 x2+y2=4x+4y6，所以 x2+y24x4y+6=0，即（x2） 2+（y2） 2=2 为圆 C 的普通方程（4 分）所以所求的圆 C 的参数方程为 （ 为参数） （6 分）（）由（）可得， （7 分）当 时，即点 P 的直角坐标为（3，3）时， （9 分）x +y 取到最大值为6（10 分）
