“希望杯”全国数学邀请赛高二试题的研究【毕业设计】.doc

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1、本科毕业设计（20届）“希望杯”全国数学邀请赛高二试题的研究所在学院专业班级数学与应用数学学生姓名学号指导教师职称完成日期年月I摘要【摘要】“希望杯”全国数学邀请赛正越来越盛行于中小学生中间，它的赛题覆盖面广，基础之中暗含玄机，常常要求考生能够举一反三，触类旁通。在历经21届之后，“希望杯”高二试题关注的考点基本已定向，但试题灵活多变，主要考察学生思维方式。我将对“希望杯”全国数学邀请赛高二试题进行一个粗略剖析，从试题分类，典型解法，应试技巧等方面完成，希望可以为将要参加“希望杯”的高二学生提供借鉴。历届真题是法宝，我从中挑选作为我开展研究的例题和观摩题。【关键词】高二“希望杯”；试题分类；典

2、型解法应试技巧ABSTRACT【ABSTRACT】THEHOPECUPISBECOMINGMOREANDMOREPOPULARAMONGTHEJUNIORSANDTHESENIORS,WHOSEPROBLEMSINVOLVEWIDELYANDCOMBINETHEBASICKNOWLEDGEWITHMOREORLESSSOMEMYSTERYGENERALLYTHEYCALLFORTHEEXAMINEESABILITYOFEXTRAPOLATIONANDTHEMENTALFLEXIBILITYAFTERBEINGHELDFOR21TIMES,THEHOPECUPSENIORGRADETWOHASI

3、TSOWNDIRECTIONOFTHESELECTIONOFPROBLEMES,WHICHAIMSTOCHECKTHETHINKINGMODEOFTHESTUDENTSIMGOINGTOGIVEANROUGHIDEAOFTHEPROBLEMSINTHEHOPECUPSENIORGRADETWOTHEANALISISISDISTRIBUTEDINTHECLASSIFICATIONOFTHEPROBLEMS,SOMETYPICALSOLUTIONS,BETTERSKILLSANDSOON,ATTACHEDMYHOPETOPROVIDESOMEHELPTOTHEEXAMINEESTHEEXAMPLE

4、SANDTHEEXERCICESINSIDEMYISSUEAREALLFROMTHECOMPETITIONPAPERSOFEARLYYEARS。【KEYWORDS】HOPECUPSENIORGRADETWO；CLASSIFICATIONOFTHEPROBLEMS；TYPICALSOLUTIONSBETTERSKILLSII目录摘要ISENIORGRADETWO错误未定义书签。ABSTRACTI目录II1序言111“希望杯”全国数学邀请赛简介112“希望杯”之意义所在希望113备考与竞赛12“希望杯”高二数学邀请赛赛题归纳321集合问题3211情形一例题3212情形二例题422复数5221例题解

5、析523三角函数与反三角函数6231三角函数考察重点集中于三角函数的变形化简，求最值，利用三角函数的范围求解参数范围6232反三角函数最重要的是四个常用反三角函数的定义域，值域，及最重要的图像1024数列11241等差数列11242等比数列13243递推数列1425不等式15251解绝对值、根号不等式15252不等式中的参数求解16253不等式中的极值问题1726指数函数和对数函数18261求解不等式18262参数的求解19263大小比较，增减性2027二次高次方程（或函数）及其根的问题21271方程的根问题21272参数求解22273函数最值问题2428抽象函数24281抽象函数的奇偶性和周

6、期性24282抽象函数表达26283抽象函数具体化2629解析几何27III291直线，圆及他们的位置关系27292直线与圆锥曲线30210向量322101向量的加法和乘法322102向量的模与夹角332103向量共线和垂直34211线性规划及其应用34212数形结合35同类题型展示37213统计与概率373总结3831论文总结3832赛题预测394“希望杯”与MPSI考试3941MPSI考试简介3942从“希望杯”到“MPSI”394212011年第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛（高二第2试）试题法文翻译39422试题相通44参考文献47致谢错误未定义书签。11序言11“希望杯”全国数学邀

7、请赛简介第一届“希望杯”全国数学邀请赛于1990年举办，在比赛拉开帷幕之前，主要创始人周国镇、徐伟宣、梅向明、王寿仁等做了相当多得准备工作，经过一番艰苦、充分的筹备，终于让“希望杯”打响了这第一炮。此后，在各方给予的资金、人力的支持下，“希望杯”以上扬的态势稳定发展，坚持每年按时举行，已经成功举办22届。到今天，“希望杯”全国数学邀请赛发展成为由中国科学技术协会普及部、中国优选法统筹法与经济数学研究会、数理天地杂志社、中青在线、华罗庚实验室等主办的全国性数学竞赛。“希望杯”的名字深入广大师生心中。在每年的“希望杯”全国数学邀请赛中，各考点在同一时间开始和结束竞赛。每年三月中旬进行第一试，四月中

8、旬进行第二试。每届“希望杯”结束后，全国组委会、命题委员会都会进行一系列的交流和总结活动到各地或国外考察，组织讲学活动，培训教练员，组织夏令营活动，将试题汇编成书等等。“希望杯”成长的意义在于让数学成为多数人的数学，将数学从课本中解放出来，从多方面、多角度、多层次发展数学，从学生群体开始提升整个民族的数学修养。12“希望杯”之意义所在希望“希望杯”能够激发参赛中小学生的学习热情，让学生们感受到来自数学的魅力。通过参加“希望杯”，拓展学生们的数学思维，在灵活自如应用数学知识的过程中，改变以往对数学的生硬理解。一方面提升了学生的数学水平，让他们对应试的数学更得心应手，另一方面，从中小学起培养学生们

9、对数学的兴趣，为他们将来的数学学习做好铺垫。“希望杯”同时也为数学教师们的教学研究带来了新的内容，注入了新的活力。教师常年面对同样的课本，用千篇一律的方法传能够倒背如流的知识。现在有了“希望杯”的加入，教师们也有了新的追求。他们寻求挑战，挑战新的知识，挑战旧知识的全新出场，在这个过程中，充满意外和惊喜，使教师们再次燃起对教育的浓浓热情，在事业上再攀高峰。“希望杯”在广大师生之间播种希望，也给我们国家带来希望。数学是其他学科发展的基础，几乎所有领域都有数学用武之地。国民的数学修养提升了，国家的发展就有可依靠的人才。数学教育是教育之基础，之重点，“希望杯”给数学教育带来希望，就是给中国教育带来希望

10、。13备考与竞赛“希望杯”全国数学邀请赛的宗旨是鼓励和引导中小学生学好数学课程中的内容，适当地拓宽知识面；希望启发他们注意数学与其它课程的联系和数学在实际中的应用，同时鼓励他们的钻研和探究精神，以培养他们科学的思维能力。由此可见“希望杯”的试题内容不超过考生现有数学2水平，不超过教学进度，它源于课本又高于课本，试题看似常见却又富含思考性和启发性，往往是在熟悉的题中暗含玄机，让人有防不胜防之感。但是相对而言，“希望杯”更注重基础，覆盖面虽广，但是只要能熟练运用基本知识点，学会知识的灵活应用和解题方法的总结，并举一反三，触类旁通，要应付好这场考试是容易的。其中重要的一个备考手段就是充分利用历届真题

11、。历届真题几乎涵盖所有考试知识点，将之各个击破，就是“希望杯”的决胜之道。故我在本文中，选取历届真题中有价值的试题，将他们一一分类，找到每类题型的解决之法，也就算解读了整个“希望杯”赛事了。高二参赛学生作为一个特殊的参赛群体，既可以暂时避开来自高考的压力，又作为“希望杯”全国数学邀请赛参赛队伍中年级最高的一个群体，此赛事对这批学生来讲意义更为重大。他们对初高中知识掌握较全面，命题人可供选择的知识点更宽泛，同时又因为他们即将面临高考，此赛事在锻炼高二参赛学生的思维，拓宽他们的解题思路方面有很大贡献。希望本文对高二考生提供一点帮助。32“希望杯”高二数学邀请赛赛题归纳21集合问题这块内容的考察点很

12、宽泛，除了集合与集合运算的知识点外，还有更多内容涉及，比如最常见的不等式，所以集合本身是简单的，但集合问题是复杂的。该类问题一般是先给出一至两个（可能多于两个）集合，情形一已知集合关系，确定满足条件的集合或满足条件的参数；情形二，求集合补集或判定集合间关系。211情形一例题例11991年“希望杯”，1试）3、设集合PX，1，QY，1，2，其中X，Y1，2，9，且PQ。将满足这些条件的每一个有序整数对（X，Y）看作一个点，这样的点的数目是（B）（A）9（B）14（C）15（D）21解答首先1X，1,2Y；又PQ，故XY或者2X。XY3,4,5,6,7,8,9；2X，3,4,5,6,7,8,9Y；

13、共14个不同的点。例22007年“希望杯”，1试）2、设集合AX|X2X20，BX|AX20，若ABB，则对应的A值的个数是（D）（A）0（B）1（C）2（D）3解答ABBBA2,1A，故B或1或2；可解得对应的A值为0A，2A，1A。例3（2007年“希望杯”，2试）1、设集合MX|1XAX0，若MP，则实数A的取值范围是（D）（A），1（B）0，1（C）1，（D）1，解答1A，|1MXAX，P，不满足题意；1,AM,P,满足题意；1A，|1MXXA，|1PXX，满足题意；故1,A。例4（2009年“希望杯”，2试）21、已知关于X的不等式250AXXA的解集为M，若2及1有且恰有一个不在M

14、中，求实数A的取值范围。4解答当2,1MM时，有250450A11AAAA或解得A的范围为551,4,2（，当2,1MM时，有250A4501AAAA或4解得A的范围为；综上所述A的范围为551,4,2（，。212情形二例题例1（1993年“希望杯”，1试）13、设集合MY|XY21，X，YR，NY|XY1，X，YR，则MN是（D）（A）X，Y|1，0（B）X，Y|2，1（C）X，Y|1，0，2，1（D）R解答该题主要是要看清代表元素，对M，21YXXR,是以X轴为对称轴的抛物线，YR；对N,1YXXR，直线，YR。故MNR。例2（2004年“希望杯”，1试）3、集合M是函数YLGX28X20

16、2ARCCOS2XARCCOS|X|的解集是。（答案1,2222，1）解答画图可知，ARCSIN|X|与ARCCOS|X|的图像相交于两点（22，4），（22，4）。在这两点的两边即是满足题意的部分。例2（1997年“希望杯”，1试）5、不等式ARCSINX10，S7S13，则当SN的值最大时，N（C）（A）8（B）9（C）10（D）11（1997年“希望杯”，2试）11、等差数列AN中，A59，A1019，则2N13是这个数列中的第项。（答案2N1）242等比数列例1（2000年“希望杯”，1试）2、等比数列AN中，A1A2A527，A6A7A103，则LIMNA1A2AN（D）（A）30（

17、B）30（C）24310（D）24310解答令1125CAAA，26710CAAA，则54535NNNNCAAANC是以1C为首项，5Q为公比的等比数列。LIMNA1A2AN112527243LIM101109NNCCCCQ例2（1999年“希望杯”，1试）2、若无穷等比数列AN的公比Q12，则LIMN12242NNAAAAAA（A）（A）1（B）1（C）43（D）415解答11222111211212111212NNASNSQA例3（1999年“希望杯”，1试）15、已知等比数列ANA1QN1，QN，NN中，对某个N6有A1AN1094，A2AN121874，则A3AN2。（答案126）解答

18、112NSAAA，2242NSAAA111121211109410942187218744NNNNAAAAQAAAQ将第二式代入第一式，得到11121872187109442AAA14或12。根据QN，1NQN，当121872A，1NQ2218741218721872N；故112A。1NQ2187为了满足QN，NN，3Q，8N。A3AN2232511331262NAQQ同类题型展示（1995年“希望杯”，1试）17、若3，SINXCOSX，16依次成等比数列，X0，2，则X。（答案712或1112或1912或2312）（1996年“希望杯”，2试）11、等比数列AN的公比为Q，前N项和SNA，

19、则前3N项的和S3N。（答案1QNQ2NA）243递推数列例1（1990年“希望杯”，1试）2、设SK11K12K12K，则（C）（A）SK1SK122K（B）SK1SK121K122K（C）SK1SK121K122K（D）SK1SK121K122K解答11111122111111121111111111112121KKKKKSKKKSKKKKKKSSSKKKKKKK例2（1994年“希望杯”，1试）28、在数列AN中，A113，A256，对所有自然数N，都有AN1ANAN2，则A1994。（答案56）解答题中给出的递推公式不是那么容易看出规律，我们不妨写出几项，找找规律113A，256A，3

20、43A，413A，556A，643A，713A，856A由此可见AN6AN，故199463322256AAA例3（1993年“希望杯”，2试）14、在数集序列1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，中第100个数集内所有数的和等于。（答案500050）解答第100个数集内含100个元素。前99个数集一共含有123994950个元素，故第100个数集为4951,4952,4953,505015和为495150501005000502同类题型展示（2009年“希望杯”，2试）20、设集合A1，2，3，N，则集合A的所有非空子集中元素和的和等于。（答案212NNN）（1990年“希望杯”，1试，1

21、9）数列AN中，若A11，A22，AN1ANAN20，则数列的前1990项的和等于。（答案5）（2004年“希望杯”，2试）19、数列AN中，A11，AN1313NNAA（其中NN），A2004。（答案23）（2009年“希望杯”，1试）17已知数列NA中，1132,31NNNAAAA，则数列NA的第10项10A。（答案15351537）25不等式251解绝对值、根号不等式例1（1993年“希望杯”，1试）9、已知AX22A的解集是（D）（A）22A，22A（B）22A，22A（C）22A，22A（D）22A，22A解答首先22222002AAXX，即220XAXA，得到22XA；而在这个范围

22、内，不等式右边202XA，故222AXX22A恒成立，所以22AXA。例2（2002年“希望杯”，1试）24、若A1，则不等式21XXA的解是。（答案，11，解答2101XX或1X；当1X，21XXA21XAX，而A1，不等式左边正，右边负，恒成立，故1X；16当1X，21XXA21XAX，两边都为正，平方得22222111XAXAX，当A1，210A，则上述不等式左边为正，右边为负，恒成立，故1X。综上，,11,X。同类题型展示（1996年“希望杯”，1试）11、不等式256XXX1的解集是。（答案X4X的解集为X|X4，则整数K的最大值为。（答案12）2006年“希望杯”，1试）18、不等

23、式X22XYAXY对于一切正数X、Y恒成立，则实数A的最小值为。（答案2）253不等式中的极值问题例1（2009年“希望杯”，1试）23已知函数24849XFXXX，当X时，FX的取得最大值（答案71236）解答2149484948XFXXXXX，若0X，494949442428XXXXXX，0FX，不可能取到最大值；故0X，2111494849364948824XFXXXXXXX，当且仅当494XX，即72X取到等号。例2（1990年“希望杯”，1试）20、若X，Y0，且X2Y1，则X1XY14Y的最小值是。258解答利用基本不等式，1122222XYXYXY，故18XY；222222224

24、4111441444XYXYXYXYXYXYXYXYXY222441142XYXYXYXYXY；当108XY，12XYXY递减，故12XYXY的最小值在18X18处取到11114221888MINXYXY。故原式最小值为138。例3（2000年“希望杯”，1试）7、设ABC，NN，且1AB1BCNAC恒成立，则N的最大值为（C）（A）2（B）3（C）4（D）5解答NACABACBC1BCAB1ABBC2BCABABBC224BCABABBC；当且仅当BCABABBC，即2ACB时取到等号。同类题型展示2007年“希望杯”，1试）15、函数YX21X的值域是。（答案1，2）（2007年“希望杯”

25、，2试）3、与函数Y231XX的值域没有交集的集合是（B）（A）2，0（B）89，0（C）89，1（D）23，23（2004年“希望杯”，1试）18、X，YR时，函数FX，YXY21XY2的最小值是。（答案2）2006年“希望杯”，1试）22、若X，YR，且满足2X5Y6，则X2Y的最小值是，最大值是。（答案32，80）26指数函数和对数函数261求解不等式例1（1991年“希望杯”，1试）28、LOGX31（A0，A1）的解是。（答案0011XAAXAA）（2003年“希望杯”，1试）12、不等式LOG12X1LOG12X10且A1）在区间A，3A上的最大值比最小值大12，则A。（答案9或1

26、9）（1996年“希望杯”，2试）13、已知不等式12X2A4X的解集是2，4，那么实数A的值是。（答案8）（2004年“希望杯”，2试）17、IFTHEFUNCTIONYLOG12AX23XA1ISMONOTONICALLYDECREASINGINTHEINTERVAL1，,THENTHERANGEOFTHEPARAMETERAIS（答案2，）（英汉词典MONOTONICALLY单调地；INTERVAL区间；PARAMETER参数）（1996年“希望杯”，2试）9、若LG2LGAXAXBC（B）BAC（C）CAB（D）CBA（1995年“希望杯”，1试）3、若A19951（B）A1时，它的单

27、调增区间是，当00，且方程FX0有三个根0、1、2，那么C的取值范围是。（答案，0）（2003年“希望杯”，1试）22、方程AAXX的实数解最多有个，若方程有实数解，则A的取值范围是。（答案1，01，）（2005年“希望杯”，1试）3、“A24B0，AB1THENF20002001。（答案1）（1991年“希望杯”，1试）12、当N1000时，FNN3，当N0，B0）上任意一点P，引与实轴平行的直线，交两渐近线于M、N两点，则PMPN的值为（A）（A）A2（B）B2（C）2AB（D）A2B2例5（1993年“希望杯”，2试）15、F1，F2是双曲线X23Y23的左、右焦点，A，B两点在右支上，

28、且与F2在同一直线上，则|F1A|F1B|的最小值是。（答案1433）解答X23Y23，即2213XY；由双曲线的第二定义得，|F1A|2A|F2A|，|F1B|2A|F2B|，所以|F1A|F1B|4A|AB|；焦点弦最短是当弦垂直X轴时，此时A2,33,B2,33，则233AB；443A；所以|F1A|F1B|的最小值是231434333。同类题型展示2005年“希望杯”，1试）10、椭圆29X24Y1的左、右焦点分别是F1，F2，点P在椭圆上，且点P的横坐标是35，则1PF2PF（A）（A）0（B）15（C）15（D）152006年“希望杯”，1试）8、F1、F2为椭圆的焦点，P为椭圆上

29、一点，F1PF290，且|PF2|0关于直线YX2对称的曲线与直线2X3Y60相切，则A的值为（B）第15题图XYOF1F2BA32（A）455（B）855（C）1255（D）16552005年“希望杯”，1试）20、已知双曲线25X24Y1的右焦点为F，P是双曲线上任意一点，定点M6，2，则3|PM|5|PF|的最小值是。（答案13）210向量该知识点的考察多集中于向量的加法和乘法，向量的模与夹角和向量共线和垂直2101向量的加法和乘法例1（2003年“希望杯”，1试）19、在平面四边形ABCD内，点E和F分别在AD和BC上，且DEEA，CFFB，R，1，用，DC，AB表示EF。（答案DCA

30、B1）画图解答EF111EAABBFDEABCFABDECF1111EFABDCCFFECFABDCFEABDC移项，11EFEFABDC，可得，DCABEF1。例22007年“希望杯”，1试）14、已知点A2，0和B0，3，又点C使COA30（O是坐标原点），且OCMOANOB。则MN。（答案322）解答COA30，则COS30,SIN30CCC或者COS30,SIN30CCC所以3,22CCC或者3,22CCC；则由OCMOANOB，得到32232CMCN或者32232CMCN，分别解之得322MN。例3（2003年“希望杯”，2试）10、若A、B、C是平面内任意三点，则ABAC（A）（A

31、）12|AB|2|AC|2|BC|2（B）12|AB|2|AC|2|BC|2（C）|AB|2|AC|2|BC|2（D）12|AB|2|AC|2解答令向量AB与向量AC的夹角为，则33222222ABACBC1ABACABACCOSABACABACBC22ABAC同类题型展示（2009年“希望杯”，1试）24GIVENTHATTHETOPPOINTSOFRECTANGLEABCDARE0,0,2,0,2,1,0,1ABCDRESPECTIVELYPOINT,PXYISAMOVINGPOINTONSEGMENTBD,SUPPOSEFXDPPC,THENTHEEXPRESSIONOFFXISANDT

32、HERANGEOFVALUEFORFXIS（答案2542021,45XXX）（2009年“希望杯”，2试）16、设O为ABC内一点,则OABCOBCAOCAB。（答案0）2102向量的模与夹角例1（2004年“希望杯”，1试）8、两个非零向量A，B的夹角为，则当ATBTR的模取最小值时，T的值是（C）（A）|A|B|COS（B）|A|B|COS（C）|ABCOS（D）|BACOS解答222222222COSATBATBTABATBTAB22222222222COSCOSCOSCOSSINAAABTTAABTAXBBB所以当COSATB时2ATB最小，ATB也取得最小值。例22006年“希望杯”

33、，1试）12、已知向量A与B满足|A|2，|B|1，且夹角为60，则使向量AB与A2B的夹角为钝角的实数的取值范围是。（答案13，13）解答令向量AB与A2B的夹角为，则222222COS022ABABABABABABABAB，即222220ABAB，24222220，解得PX,Y2,00,0C2,10,1XBADY341313。例3（2009年“希望杯”，2试）22、向量A，B的夹角为60，且|A|B|1（1）当|ATB|取得最小值时，求T的值；（2）当|ATB|取得最小值时，证明B（ATB）解答（1）22222213ABA2ABTB12COS60124TTTTTTT，当12T时，2ABT最

34、小，也即ABT最小。（2）当12T时，2111BABABBABCOS600222TT，故垂直。2103向量共线和垂直例12007年“希望杯”，1试）25、LETI,JBETHEUNITVECTORSONTHEXAXISANDYAXISOFARECTANGULARCOORDINATESYSTEMRESPECTIVELY,LETPOINTSA,B,CBECOLLINEARIFOA2IMJ,OBNIJ,OC5IJ,ANDOAOB,THENTHEVALUEOFM,NIS,OR（答案6，3，3，32）（英汉词典UNITVECTOR单位向量；RECTANGULARCOORDINATESYSTEM直角坐标系

35、；COLLINEAR共线）解答向量I，J分别是X轴和Y轴的单位向量，不妨令1,0I，0,1J；则OA2IMJ21,00,12,IMM；OBNIJ1,00,1,1NN；OC5IJ51,00,15,1；又OAOB,则2,10MN，得2MN。所以2,2AN，,1BN，5,1C；进而7,12ACN，5,2BCN，A,B,C三点共线，故AC与BC平行，得512140NN，解得3N或32N。故,6,3MN或者3,3,2MN。例2（2004年“希望杯”，2试）1、如果向量U3，6，V4，2，W10，5，那么下列结论中错误的是（B）（A）UV（B）UV（C）UW（D）VW211线性规划及其应用35例1（200

36、5年“希望杯”，2试）8、已知X，Y满足条件21021232XYXYXY，则2X3Y的最小值是（D）（A）18（B）24（C）332（D）523解答题中不等式组表示的可行域是由直线X2Y10、2XY12、X3、Y2围成的不封闭区域（包括边界线），如图所示，令Z2X3Y，该方程表示斜率为23，纵截距为3Z的平行直线系，当3Z达最小值时，即Z达最小值；当平行直线系中经过可行域的所有直线里，纵截距最小的是经过可行域的边界点143，83，直线X2Y10与2XY12的交点的那条直线，故MINZ2143383523，即2X3Y的最小值是523；同类题型展示（2002年“希望杯”，1试）25、某工厂安排甲、

37、乙两种产品的生产。已知每生产1吨甲产品需要原材料A、B、C、D的数量分别是1吨、2吨、2吨、7吨；每生产1吨乙产品需要原材料A、B、D的数量分别是1吨、4吨、1吨。由于原材料的限制，每个生产周期只能供应A、B、C、D四种原料分别为80吨、80吨、60吨、70吨。若甲、乙产品每吨的利润分别为2百万元和3百万元。要想获得最大的利润，应该在每个生产周期安排生产甲产品吨，期望的最大利润是百万元。（答案10013，83013）2006年“希望杯”，1试）25、点PX，Y的坐标满足关系式21532723XYXYXY且X，Y均为整数，则XY的最小值为，此时P点坐标是。答案12，3，9或4，8212数形结合这

38、里纳入的题目一般是比较典型的数形结合题，当然几何图形因其形象直观，在解题过程中随处可见，比如三角函数反三角函数中，线性规划中，但是有部分题，图形是重要突破口，图形帮助考生既快速又轻松得解决这类问题。例1（1999年“希望杯”，1试）21、已知实数X，Y满足方程X22Y21，则12YX的最小值是，2XY的最大值是。（答案0，54）2XY12X2Y10Y2X3第8题图YXO第21题图YCAM2X1NO36解答12YX看做是圆X22Y21上一点到点（2,1）的斜率的变化范围，最小值即0AMK，最大为ANK；令2ZXY，2YXZ，Z取最大值时，直线2YXZ在Y轴上的截距达到最小，结合图形考虑相切的情况

39、，将2YXZ代入圆方程X22Y212254430XZXZ令22442030ZZ，即2811045ZZZ例2（1993年“希望杯”，1试）29、函数FX2610XX24X的最小值是。（答案32）解答FX2610XX24X222312XX可以看作是X轴上一点,0X到点3,1和点0,2的距离之和；作出3,1关于X轴的对称点3,1，连接3,1和0,2，该直线距离就是最小值22301232。例3（1995年“希望杯”，1试）15、函数Y|LOG2|X1|的递减区间是。（答案，2或1，0）解答函数Y|LOG2|X1|的图像可由2LOGYX先做关于Y轴的对称，得到2LOGYX的图像；再向左平移1个单位，得2

40、LOG1YX的图像；最后把X轴下方部分关于X轴做对称即得Y|LOG2|X1|的图像，如右图所示从图像立即得函数的递减区间是,2及1,0。例4（2003年“希望杯”，1试）8、当X，Y满足条件|X1|Y1|2011年第二十二届“希望杯”全国数学邀请试题高二第2试（20110416）一、选择题（每小题4分，共40分）1、“1A”是“函数21FXXA在区间,1上单调递减”的（）条件A充分不必要B必要不充分C充要D不充分也不必要402、已知函数12XY的图象与函数LOG0AYXA且1A的图象交于点00,PXY，若02X，则实数A的取值范围是（）A0,1B1,16C2,16D0,11,163、如果正方体

41、ABCDA1B1C1D1的棱长为6，那么点A1到平面B1CD1的距离是（）A22B2C2D224、若201120115250XXX，则2271XX的值等于（）A4B0C2010D20115、设曲线1NYXNN在点1,1处的切线与X轴的交点的横坐标是NX，则201012010220102011LOGLOGLOGXXX的值为（）A2010LOG2012B1C2010LOG2012D16、已知数列NA是以2为首项，1为公差的等差数列，数列NB是以1为首项，2为公比的等比数列，若NNBCA，且12NNTCCC，则当2011NT时，N的最小值是（）A9B10C11D127、已知三棱锥ABCD的体积为16

42、，棱1ABCD，若异面直线AB与CD的距离为X，夹角的正弦值为Y，则点,MXY的轨迹为（）ABCD8、已知YFX是定义在R上的偶函数，且对任意的12,0XX，都使21210XXFXFX成立，则当SINCOSFXFX时，X的取值范围是（）（以下KZ）A2,244KKB,44KKC32,244KKD3,44KK9、如图，ABC中，3,5,2ABBCAC，若O是ABC的外心，则AOBC（）A2B12C12D110、已知椭圆2213YX上的点,PAB处的切线与向量3,1E垂直，且0OPE，其中O是坐标原点，则点P的坐标是（）A33,22B33,22C33,22D33,22二、填空题（每小题4分，共40

43、分）11、已知点11,ATTTT，点0,1B，若0T，则|AB的最小值是12、已知函数YFX满足33FXFX，且方程0FX有N个实根12,NXXX，则12NXXX13、GIVENFUNCTIONFXX2AXAANDBARETWONONEMPTYSETS，AX|FX0,XR，ANDBX|FFX0,XRIFAB，THENTHEVALUERANGEFORREALNUMBERAIS14、LETSNN333NNNBETHESUMOFTHEFIRSTNTERMSINTHESEQUENCEANTHENTHEMINIMUMPOSSIBLEVALUEOFNANIS4115、方程2225925910XXXX的解是

44、X16、已知手表的表面在一平面上，整点1,2,12这12个数字等间隔地分布在半径为22的圆周上，从整点I到整点1I的向量记作1IITT，则1223233412112TTTTTTTTTTTT17、已知边长为2的等边ABC的顶点A和B分别在30YXY和00YX上移动，并且顶点A、B、C按顺时针方向放置，则顶点C的轨迹方程是18、已知等差数列NA的公差0D，且124,AAA成等比数列，如果数列NA的无穷子数列1236,NKKKAAAAA也成等比数列，那么下标数列NK的通项公式为19、如图，已知MN是半径为4的球O的直径，点A和C在球面上，且ABMN于点B，CDMN于点D，AOBCOD30若平面MAN与平面MCN所成的角为60，则线段AC的长为20、已知椭圆C1与双曲线C2的中心都在原点，焦点都在X轴上，F1,F2是公共的焦点，它们在第一象限内的交点为P，且PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形若|PF1|10，椭圆C1的离心率的取值范围是12,35，则双曲线C2的离心率的取值范围是三、解答题21、（本题满分10分）（1）已知01X，求函数212FXXX的最小值；（2）若122,XXXR

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