1、解读“数学王子”高斯正十七边形的作法一、高斯的传奇故事高斯(Carl Friedrich Gauss 1777.4.301855.2.23），德国数学家、物理学家、天文学家。 有一天，年幼的高斯在一旁看著作水泥工厂工头的父亲计算工人们的周薪。父亲算了好一会儿，终于将结果算出来了。可是万万没想到，他身边传来幼嫩的童音说：“爸爸，你算错了，总数应该是”父亲感到很惊异，赶忙再算一遍，结果证实高斯的答案是对的。这时的高斯只有 3 岁！ 高斯上小学了，教他们数学的老师布特勒(Buttner )是一个态度恶劣的人，他讲课时从不考虑学生的接受能力，有时还用鞭子惩罚学生。有一天，布德勒让全班学生计算 1+2+
2、3+4+5+98+99+100？的总和，并且威胁说：“谁算不出来，就不准回家吃饭！”布德勒说完，就坐在一旁独自看起小说来，因为他认为，做这样一道题目是需要些时间的。小朋友们开始计算：“1 + 2 3 ，3+3 6，6+410，”数越来越大，计算越来越困难。但是不久，高斯就拿着写着解答的小石板走到布德勒的身边。高斯说：“老师，我做完了，你看对不对？“做完了？这么快就做完了？肯定是胡乱做的！”布德勒连头都没抬，挥挥手说：“错了，错了！回去再算！”高斯站着不走，把小石板往前伸了伸说：“我这个答案是对的。”布德勒抬头一看，大吃一惊。小石板上写着 5050，一点也没有错！高斯的算法是1 2 39899
3、10010099983 21101 10110110110110110110010100 1010025050高斯并不知道，他用的这种方法，其实就是古代数学家经过长期努力才找出来的求等差数列和的方法，那时他才八岁！ 1796 年的一天，德国哥廷根大学。高斯吃完晚饭，开始做导师给他单独布置的三道数学题。前两道题他不费吹灰之力就做了出来了。第三道题写在另一张小纸条上：要求只用圆规和没有刻度的直尺，作出一个正十七边形。这道题把他难住了所学过的数学知识竟然对解出这道题没有任何帮助。时间一分一秒的过去了，第三道题竟毫无进展。他绞尽脑汁，尝试着用一些超常规的思路去寻求答案。当窗口露出曙光时，他终于解决了这
4、道难题。当他把作业交给导师时，感到很惭愧。他对导师说：“您给我布置的第三道题，我竟然做了整整一个通宵，”导师看完作业后，激动地对他说：“你知不知道？你解开了一桩有两千多年历史的数学悬案！阿基米得没有解决，牛顿也没有解决，你竟然一个晚上就解出来了。你是一个真正的天才！”原来，导师也一直想解开这道难题。那天，他是因为拿错了，才将写有这道题目的纸条交给了学生。在这件事情发生后，高斯曾回忆说：“如果有人告诉我，那是一道千古难题，我可能永远也没有信心将它解出来。” 1796 年 3 月 30 日，当高斯差一个月满十九岁时，在期刊上发表关于正十七边形作图的问题。他显然以此为自豪，还要求以后将正十七边形刻在
5、他的墓碑上。然而高斯的纪念碑上并没有刻上十七边形，而刻着一颗十七角星，原来是负责刻纪念碑的雕刻家认为：“正十七边形和圆太像了，刻出来之后，每个人都会误以为是一个圆。”1877 年布雷默尔奉汉诺威王之命为高斯做一个纪念奖章。上面刻着：“汉诺威王乔治 V. 献给数学王子高斯(Georgius V. rex Hannoverage Mathematicorum principi)”，自那之后，高斯就以“数学王子”着称于世。二、高斯正十七边形尺规作图的思路（这里是纯三角法）作正十七边形的关键是作出 cos ，为此要建立求解 cos 的方程。172172设正 17 边形中心角为 ，则 172 ，即 16
6、2 故 sin16sin ，而 sin162sin8 cos84sin4 cos4 cos88 sin2 cos2 cos4 cos816 sin cos cos2 cos4 cos8 因 sin 0，两边除以 sin，有 16cos cos2 cos4 cos81由积化和差公式，得4(coscos3)(cos4cos12)1展开，得4(cos cos4cos cos12cos3 cos4cos3 cos12)1再由积化和差公式，得2(cos3cos5 )(cos11cos13)(coscos7 )(cos9cos15) 1注意到 cos11cos6 ，cos13cos4，cos9cos8，c
7、os15cos2，有 2(coscos2cos3cos4 cos5 cos6cos7cos8 )1设 a2(cos+ cos2+cos4+ cos8)，b 2(cos3 + cos5+cos6+ cos7)，则 ab1 又 ab2(coscos2cos4 cos8)2(cos3cos5 cos6cos7 )4cos (cos3cos5cos6 cos7 )4cos2 (cos3cos5cos6 cos7 )4cos4(cos3cos5cos6cos7)4cos8(cos3 cos5 cos6cos7)再展开之后共 16 项，对这 16 项的每一项应用积化和差公式，可得：ab2 (cos2cos
8、4)(cos4 cos6)(cos5 cos7 )(cos6 cos8 )(coscos5)(cos3cos7)(cos4 cos8 )(cos5 cos9 )(coscos7 )(coscos9)(cos2cos10 )(cos3cos11)(cos5cos11 )(cos3cos13 )(cos2cos14)(coscos15)注意到 cos9cos8 ，cos10cos7， cos11cos6 ，cos13 cos4，cos14 cos3 ，cos15cos2，有 ab24(coscos2cos3 cos4 cos5cos6 cos7 cos8 )4 因为 coscos2cos8(cos
9、 cos ) cos17241762cos cos cos 2cos (cos )17332又 0 即 coscos2cos8 0又因为 cos4cos 0178所以 acoscos2cos4cos8 0又 ab-4 0， b cos2，cos4 cos8两式相加得 coscos4 cos2cos8或 2(coscos4 ) 2(cos2cos8)即 c d，又 cd-1 0， d cos6，cos5 cos7两式相加得 cos3cos5 cos6cos72(cos3cos5) 2(cos6cos7)即 e f，又 ef-1 0， f cos 017281728所以 cos ，【cos 】42
10、ec42ec于是，我们得到一系列的等式：a ，b ，c ，e ，21721724a24bcos 4ec有了这些等式，只要依次作出 a、b 、c 、e ，便可作出 cos 。172步 骤 一 ： 给 一 圆 O， 作 两 垂 直 的 半 径 OA、 OB， 作 C 点 使 OC 1/4OB， 作 D 点 使 OCD 1/4 OCA， 作 AO 延 长 线 上 E 点 使 得 DCE 45 度 。 步 骤 二 ： 作 AE 中 点 M， 并 以 M 为 圆 心 作 一 圆 过 A 点 ， 此 圆 交 OB 于 F 点 ，再 以 D 为 圆 心 ， 作 一 圆 过 F 点 ， 此 圆 交 直 线 O
11、A 于 G4 和 G6 两 点 。 步 骤 三 ： 过 G4 作 OA 垂 直 线 交 圆 O 于 P4， 过 G6 作 OA 垂 直 线 交 圆 O 于 P6， 则 以 圆 O 为 基 准 圆 ， A 为 正 十 七 边 形 之 第 一 顶 点 P4 为 第 四 顶 点 ， P6 为 第 六 顶 点 。 连 接 P4P6， 以 1/2 弧 P4P6 为 半 径 ， 在 圆 上 不 断 截 取 ， 即 可 在 此 圆 上 截 出 正 十 七 边 形 的 所 有 顶 点 。 历 史最 早 的 十 七 边 形 画 法 创 造 人 为 高 斯 。 高 斯 (17771855 年 )， 德 国 数 学
12、 家 、 物 理 学 家 和 天 文 学 家 。 在童 年 时 代 就 表 现 出 非 凡 的 数 学 天 才 。 三 岁 学 会 算 术 ， 八 岁 因 发 现 等 差 数 列 求 和 公 式 而 深 得 老 师 和 同 学 的 钦佩 。 1799 年 以 代 数 基 本 定 理 的 四 个 漂 亮 证 明 获 得 博 士 学 位 。 高 斯 的 数 学 成 就 遍 及 各 个 领 域 ， 其 中 许 多 都 有着 划 时 代 的 意 义 。 同 时 ， 高 斯 在 天 文 学 、 大 地 测 量 学 和 磁 学 的 研 究 中 也 都 有 杰 出 的 贡 献 。1801 年 ， 高 斯 证
13、 明 ： 如 果 k 是 质 数 的 费 马 数 ， 那 么 就 可 以 用 直 尺 和 圆 规 将 圆 周 k 等 分 。 高 斯 本 人 就是 根 据 这 个 定 理 作 出 了 正 十 七 边 形 ， 解 决 了 两 千 年 来 悬 而 未 决 的 难 题 。道 理当 时 ， 如 果 高 斯 的 老 师 告 诉 了 高 斯 这 是 道 2000 多 年 没 人 解 答 出 来 的 题 目 ， 高 斯 就 不 会 画 出 这 个 正 十七 边 形 。 这 说 明 了 你 不 怕 困 难 ， 困 难 就 会 被 攻 克 ， 当 你 惧 怕 困 难 ， 你 就 不 会 胜 利 。 正 十 七
14、边 形 的 证 明 方 法正 十 七 边 形 的 尺 规 作 图 存 在 之 证 明 : 设 正 17 边 形 中 心 角 为 a,则 17a=360 度 ,即 16a=360 度 -a 故 sin16a=-sina,而 sin16a=2sin8acos8a=4sin4acos4acos8a=16sinacosacos2acos4acos8a 因 sina 不 等 于 0,两 边 除 之 有 : 16cosacos2acos4acos8a=-1 又 由 2cosacos2a=cosa+cos3a 等 ,有 2(cosa+cos2a+cos8a)=-1 注 意 到 cos15a=cos2a,co
15、s12a=cos5a,令 x=cosa+cos2a+cos4a+cos8a y=cos3a+cos5a+cos6a+cos7a 有 : x+y=-1/2 又 xy=(cosa+cos2a+cos4a+cos8a)(cos3a+cos5a+cos6a+cos7a) =1/2(cos2a+cos4a+cos4a+cos6a+cosa+cos15a) 经 计 算 知 xy=-1 又 有 x=(-1+根 号 17)/4,y=(-1-根 号 17)/4 其 次 再 设 :x1=cosa+cos4a,x2=cos2a+cos8a y1=cos3a+cos5a,y2=cos6a+cos7a 故 有 x1+x2=(-1+根 号 17)/4 y1+y2=(-1-根 号 17)/4 最 后 ,由 cosa+cos4a=x1,cosacos4a=(y1)/2 可 求 cosa 之 表 达 式 ,它 是 数 的 加 减 乘 除 平 方 根 的 组 合 , 故 正 17 边 形 可 用 尺 规 作 出
