1、我对自然数和人工数的认识我对自然数和人工数的认识，主要是基于对伽莫夫所著的从一到无穷大中自然数和人工数这一章的些许感想。这一部分主要是对数论的简单介绍，其自然数指的是本身就有的数，例如质数，奇数等等；而人工数是指原来没有的数，数学家们为了解释或解决一些问题而创造出来的新数，例如虚数等。本篇论文就是基于伽莫夫的著作并融入自己的感想，向大家介绍质数，整数和虚数的发展既有趣的故事，因为在某种程度上，他们就是自然数和人工数的代表。迄今为止，数学还有一个大分支没有找到与其他学科相关联的用处，这就是所谓的“数论” ，它是最古老的一门数学分支，也是纯粹数学思维的最错综复杂的产物。首先，我们来探讨质数的问题。
2、所谓质数，就是不能用两个 或两个以上较小整数的乘积来表示的数，如 1，2，3，5，7，11，13，17，等等。而 12 可以写成 223，所以就不是质数。那质数的数目是无穷无尽、没有终极的呢，还是存在一个最大的质数，即凡是比这个最大质数还大的数都可以表为几个质数的乘积呢？这个问题是欧几里得（Euclid）最先想到的，他自己还作了一个简单而优美的证明，证明没有“最大的质数”，质数数目的延伸是不受任何限制的。他是根据反证法：假设已知质数的个数是有限的，最大的一个用 N 表示。现在让我们把所有已知的质数都乘起来，再加上 1。这写成数学式是：（123571113N）+1。这个数当然比我们所假设的“最大
3、质数”N 大得多。但是，十分明显，这个数是不能被到 N 为止（包括 N 在内）的任何一个质数除尽的，因为从这个数的产生方式就可以看出，拿任何质数来除它，都会剩下 1。因此，这个数要么本身也是个质数，要么是能被比 N 还大的质数整除。而这两种可能性都和原先关于 N 为最大质数的假设相矛盾。既然知道质数的数目是无限的，那是否有求质数的公式呢？这个问题至今没有解决。我想正是因为这是数论问题，过于纯粹，所以证明起来需要极为严格，所以也就很难证明。数论中一个极其富于挑战性的猜想是 1742 年提出的所谓“哥德巴赫（Goldbach）猜想”。这是一个迄今既没有被证明也没有被推翻的定理，内容是：任何一个偶数
4、都能表示为两个质数之和。尽管有很多人去证明，但最多也只是将他们的结果逼近这个定理，而从来没有一个直接的证明。1931 年，苏联数学家史尼雷尔曼（Schnirelman）朝着问题的最终解决迈出了建设性的第一步。他证明了，每个偶数都能表示为不多于 300000 个质数之和。“300000 个质数之和”和“2 个质数之和”之间的距离，后来又被另一个苏联数学家维诺格拉多夫（Vinogradoff）大大缩短了。他把史尼雷尔曼那个结论改成了“4 个质数之和”。但是，从维诺格拉多夫的“4 个质数”到哥德巴赫的“2 个质数”，这最后的两步大概是最难走的。并且，在给定的范围质数所能占的百分比有多大，这个有关质数
5、平均分布的规律已经成为数学上最值得称道的发现之一，就是：从 1 到任何自然数 N 之间所含质数的百分比，近似由 N 的自然对数的倒数所表示。N 越大，这个规律就越精确。哥德巴赫猜想是数学王冠上的明珠，证明它犹如一艘小船在数论的海洋里航行，无依无靠，你只能通过数与数之间的关系纯粹的推导出，而没有其他能够建模的方法，因为有时候建模可以使问题形象化，通过一个实际问题的载体得出结论，而它不行。现在我们从质数的讨论拓展开来，有质数延伸到整数，同样的，这也属于自然数范围内的讨论。既然谈到整数，就不能不提一提著名的费马大数定理，尽管这个定理和质数没有必然的联系。要研究这个问题，先要回溯到古埃及。古埃及的每一
6、个好木匠都知道，一个边长之比为 3:4:5 的三角形中，必定有一个角是直角。现在有人把这样的三角形叫做埃及三角形。古埃及的木匠就是用它作为自己的三角尺的。公元三世纪，亚历山大里亚城的刁番都（Diophante）开始考虑这样一个问题：从两个整数的平方和等于另一整数的平方这一点来说，具有这种性质的是否只有 3 和 4 这两个整数？他证明了还有其他具有同样性质的整数（实际上有无穷多组），并给出了求这些数的一些规则。这类三个边都是整数的直角三角形称为毕达哥拉斯三角形。简单说来，求这种三角形的三边就是解方程x2+y2=z2，x，y，z 必须是整数。1621 年，费马在巴黎买了一本刁番图所著算术学的法文译
7、本，里面提到了毕达哥拉斯三角形。当费马读这本书的时候，他在书上空白处作一些简短的笔记，并且指出，x2+y2=z2 有无穷多组整数解，而形如 xn+yn=zn 的方程，当 n 大于 2 时，永远没有整数解。他后来说：“我当时想出了一个绝妙的证明方法，但是书上的空白太窄了，写不完。”费马死后，人们在他的图书室里找到了刁番图的那本书，里面的笔记也公诸于世了。那是在三个世纪以前。从那个时候以来，各国最优秀的数学家们都尝试重新作出费马写笔记时所想到的证明，但至今都没有成功。当然，在这方面已有了相当大的发展，一门全新的数学分支“理想数论”在这个过程中创建起来了。欧拉证明了，方程 x3+y3=z3 和 x4
8、+y4=z4 不可能有整数解。狄里克莱（Peter Gustav Lejeune Dirichlet）证明了，x5+y5=z5 也是这样。依靠其他一些数学家的共同努力，现在已经证明，在 n 小于 269 的情况下，费马的这个方程都没有整数解。不过，对指数 n 在任何值下都成立的普遍证明，却一直没能作出。人们越来越倾向于认为，费马不是根本没有进行证明，就是在证明过程中有什么地方搞错了。这个定理仍然有可能是错误的，只要能找到一个实例，证实两个整数的某一次幂的和等于另一个整数的同一次幂的和就行了。不过，这个幂次一定要在比 269 大的数目中去找，这可不是一件容易事啊。这是我们将质数扩大到整数范围的讨
9、论，从费马大定理这个具体的例子可以看出，数论在证明上极其困难。像费马大定理这样的需要一般性结论从而严格论证的这是让人无从下手。在进行了对质数整数这些自然数的讨论后，我们来讨论虚数的特点。虚数作为一个本身不存在的数，其在数学中所扮演的角色也越来越重要，这样的人工数也越来越实用。二二得四，三三见九，四四一十六，五五二十五，因此，四的算术平方根为二，九的算术平方根是三，十六的算术平方根是四，二十五的算术平方根是五。然而，负数的平方根是什么样呢？-5 和-1 之类的表式有什么意义吗？如果从有理数的角度来揣想这样的数，你一定会得出结论，说明这样的式子没有任何意义，这里可以引用 12 世纪的一位数学家拜斯
10、迦罗（Brahmin Bhaskara）的话：“正数的平方是正数，负数的平方也是正数。因此，一个正数的平方根是两重的：一个正数和一个负数。负数没有平方根，因为负数并不是平方数。”第一个将负数的平方根这个“显然”没有意义的东西写到公式里的勇士，是 16 世纪的意大利数学家卡尔丹（Cardan）。在讨论是否有可能将 10 分成两部分，使两者的乘积等于 40 时，他指出，尽管这个问题没有任何有理解，然而，如果把答案写成 5+-15 和 5-15 这样两个怪模怪样的表式，就可以满足要求了。尽管卡尔丹认为这两个表式没有意义，是虚构的、想像的，但是他毕竟还是把它们写下来了。既然有人敢把负数的平方根写下来，
11、并且，尽管这有点想入非非，却把 10 分成两个乘起来等于 40 的事办成了；这样，有人开了头，负数的平方根卡尔丹给它起了个大号叫“虚数” 就越来越经常地被科学家们所使用了，虽则总是伴有很大保留，并且要提出种种借口。在著名瑞士科学家欧拉（Euler）1770 年发表的代数著作中，有许多地方用到了虚数。然而，对这种数，他又加上了这样一个掣肘的评语：“一切形如-1，-2 的数学式，都是不可能有的、想像的数，因为它们所表示的是负数的平方根。对于这类数，我们只能断言，它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么。它们纯属虚幻。”但是，尽管有这些非难和遁辞，虚数还是迅速成为分数
12、的根式中无法避免的东西。没有它们，简直可以说寸步难行。不妨说，虚数构成了实数在镜子里的幻像。而且，正像我们从基数 1 可得到所有实数一样，我们可以把-1 作为虚数的基数，从而得到所有的虚数。-1 通常写作 i。不难看出，-9=9*-1=3i, -7=7*-1=2.646i，等等。这么一来，每一个实数都有自己的虚数搭挡。此外，实数和虚数还能结合起来，形成单一的表式，例如5 +-15=5+15i。这种表示方法是卡尔丹发明的，而这种混成的表式通常称复数。虚数闯进数学的领地之后，足足有两个世纪的时间，一直披着一张神秘的、不可思议的面纱。直到两个业余数学家给虚数作出了简单的几何解释以后，这张面纱才被揭去
13、。这两个人是：测绘员威塞尔（Wessel），挪威人；会计师阿尔刚（Robot Argand），法国巴黎人。按照他们的解释，一个复数，例如 34i，其中 3 是水平方向的坐标，4 是垂直方向的坐标。所有的实数（正数和负数）都对应于横轴上的点；而纯虚数则对应于纵轴上的点。当我们把位于横轴上的实数 3乘以虚数单位 i 时，就得到位于纵轴上的纯虚数 3i。因此，一个数乘以 i，在几何上相当于逆时针旋转 90。如果把 3i 再乘以 i，则又须再逆转 90，这一下又回到横轴上，不过却位于负数那一边了，因为 i2=-1。“i 的平方等于-1”这个说法比“两次旋转 90（都逆时针进行）便变成反向”更容易理解。这个规则同样适用于复数把 34i 乘以 i，得到（3+4i）i=3i+4i2=3i-4=-4+3i。可立即看出，-4+3i 正好相当于 3+4i 这个点绕原点逆时针旋转了 90。同样的道理，一个数乘上i 就是它绕原点顺时针旋转 90。依靠-1 的平方根这个虚数，人们还找到了另一个宝藏，这就是发现普通的三维空间可以和时间结合，从而形成遵从四维几何学规律的四维空间。由此可见，虚数虽然是人工数，但人们就是利用这个，为解决其他问题而创造出来的数发现和证明了许多，可见虚数的发明和使用，是对数论的极大的补充和拓展。
