1、相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似、全等的关系全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面，全等形是相似比为 1 的特殊相似形，相似形则是全等形的推广因而学习相似形要随时与全等形作比较、明确它们之间的联系与区别；相似形的讨论又是以全等形的有关定理为基础 二、相似三角形(1)三角形相似的条件： ； ； .三、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.四、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线 )，因为这个条件最简单；2）再而先找一对
2、内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；找另一角 两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 找夹角相等 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找第三边也对应成比例 三边对应成比例，两三角形相似 找另一角 两角对应相等，两三角形相似找两边对应成比例 判定定理 1 或判定定理 4找顶角对应相等 判定定理 1找底角对应相等 判定定理 1找底和腰对应成比例 判定定理 3e)相似形的传递性 若 1 2， 2 3，则 1 3五、 “三点定形法” ，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。具体做法是：先
3、看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定” ；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定” 。例1、已知:如图,ABC中,CEAB,BFAC.求证: BACFE（判断“横定”还是“竖定”？ ）a)已知一对等角b)己知两边对应成比例c)己知一个直角d)有等腰关系例 2、如图，CD 是 RtABC 的斜边 AB 上的高，BAC 的平分线分别交 BC、CD 于点 E、F，ACAE=AFAB 吗？说明理由。分析方法：1）先将
4、积式_2）_（ “横定”还是“竖定”？ ）例 1、 已知：如图，ABC 中，ACB=90 0，AB 的垂直平分线交 AB 于 D，交 BC 延长线于F。求证：CD 2=DEDF。 分析方法：1）先将积式_2）_（ “横定”还是“竖定”？ ）六、过渡法（或叫代换法）有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵活地运用“过渡”，其主要类型有三种，下面分情况说明1、 等量过渡法（等线段代换法）遇到三点定形法无法解决欲证的问题时，即如果线段比例式中的四条线段都在图形中的同一条直线上，不能组成三角形，或四条线段虽然组成两个三角形，但这两个三角形并不相似，那就需要根据已知条件找到与比例式中某条线段相
5、等的一条线段来代替这条线段，如果没有，可考虑添加简单的辅助线。然后再应用三点定形法确定相似三角形。只要代换得当，问题往往可以得到解决。当然，还要注意最后将代换的线段再代换回来。例 1：如图 3，ABC 中，AD 平分BAC， AD 的垂直平分线 FE 交 BC 的延长线于 E求证：DE 2BECE 分析： 2、 等比过渡法（等比代换法）当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线段代换时，可以考虑用等比代换法，即考虑利用第三组线段的比为比例式搭桥，也就是通过对已知条件或图形的深入分析，找到与求证的结论中某个比相等的比，并进行代换，然后再用三点定形法来确定三角形。例 2：如图 4，在ABC 中，B
6、AC=90 ，ADBC，E 是 AC 的中点，ED交 AB 的延长线于点 F求证： ABDFC3、等积过渡法（等积代换法）思考问题的基本途径是：用三点定形法确定两个三角形，然后通过三角形相似推出线段成比例；若三点定形法不能确定两个相似三角形，则考虑用等量（线段）代换，或用等比代换，然后再用三点定形法确定相似三角形，若以上三种方法行不通时，则考虑用等积代换法。例 3：如图 5，在ABC 中，ACB=90 ，CD 是斜边 AB 上的高，G 是 DC 延长线上一点，过 B 作 BEAG，垂足为 E，交 CD 于点 F求证：CD 2DFDG小结：证明等积式思路口诀：“遇等积，化比例：横找竖找定相似；不
7、相似，不用急：等线等比来代替。 ”同类练习：1 如图，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，且ADE=C 求证：（1）ADEACB; (2)ADAB=AEAC. （1 题图） （2 题图） 2 如图，ABC 中，点 DE 在边 BC 上，且ADE 是等边三角形，BAC=120求证： （1）ADBCEA;（2）DE=BDCE;(3)ABAC=ADBC. 3 如图， 平行四边形 ABCD 中，E 为 BA 延长线上一点， D=ECA.求证：ADEC=ACEB .5如图，E 是平行四边形的边 DA 延长线上一点，EC 交 AB 于点 G,交 BD 于点 F,求证：FC=FGEF.6如图，E 是正方形
8、 ABCD 边 BC 延长线上一点，连接 AE 交 CD 于 F,过 F 作 FMBE 交 DE于 M.求证：FM=CF.7如图，ABC 中，AB=AC,点 D 为 BC 边中点，CEAB,BE 分别交 AD、AC于点 F、G，连接 FC.求证：（1）BF=CF. (2)BF=FGFE.8如图，ABC=90,AD=DB,DEAB,求证：DC=DEDF.9如图，ABCD 为直角梯形，ABCD,ABBC,ACBD。AD= BD，过 E 作 EFAB 交 AD 于 F.是说明：（1）AF=BE;(2)AF=AEEC.10ABC 中,BAC=90,ADBC,E 为 AC 中点。求证：AB:AC=DF:
9、AF。11已知，CE 是 RTABC 斜边 AB 上的高，在 EC 延长线上任取一点 P,连接 AP,作 BGAP,垂足为 G ，交 CE 于点 D.试证：CE=EDEP.七、证比例式和等积式的方法：对线段比例式或等积式的证明：常用“三点定形法”、等线段替换法、中间比过渡法、面积法等若比例式或等积式所涉及的线段在同一直线上时，应将线段比“转移”( 必要时需添辅助线)，使其分别构成两个相似三角形来证明例 1 如图 5 在ABC 中，AD、BE 分别是 BC、AC 边上的高，DF AB 于 F，交 AC的延长线于 H，交 BE 于 G，求证：(1)FG / FAFB / FH (2)FD 是 FG
10、 与 FH 的比例中项图 5AEFB DGCH例 2 如图 6，ABCD 中，E 是 BC 上的一点，AE 交 BD 于点 F，已知BE： EC3：1 ， SFBE18，求：(1)BF：FD (2)SFDA 例 3 如图 7 在ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，M 是 AD 的中点，CM 的延长线交AB 于 N求：AN：AB 的值； 例 4 如图 8 在矩形 ABCD 中，E 是 CD 的中点，BEAC 交 AC 于 F，过 F 作FGAB 交 AE 于 G求证：AG 2AFFC 例 5 如图在ABC 中，D 是 BC 边的中点，且 ADAC ， DEBC，交 AB 于点 E，EC交 A
11、D 于点 F (1)求证：ABCFCD；(2) 若 SFCD5 ，BC 10，求 DE 的长CA DB EF图 6BE ACDMNA BCEDG FAEB D M CF例 6 如图 10 过ABC 的顶点 C 任作一直线与边 AB 及中线 AD 分别交于点 F 和E过点 D 作 DMFC 交 AB 于点 M(1) 若 SAEF：S 四边形 MDEF2：3，求AE：ED ；(2)求证：AEFB2AFED 例 7 己知如图 11 在正方形 ABCD 的边长为 1，P 是 CD 边的中点，Q 在线段 BC上，当 BQ 为何值时，ADP 与 QCP 相似？例 8 己知如图 12 在梯形 ABCD 中，
12、ADBC ，A90 0，AB 7 ，AD2，BC3试在边 AB 上确定点 P 的位置，使得以P、 A、D 为顶点的三角形与以 P、B、C 为顶点的三角形相似 例 11如图，已知ABC 中，AB=AC ，AD 是 BC 边上的中线，CF BA，BF 交 AD 于 P点，交 AC 于 E 点。 求证：BP 2=PEPF。 例 12如图，已知：在ABC 中，BAC=900，ADBC，E 是 AC 的图CEDA F M BPA DB Q C图 11图 12A DB CP中点，ED 交 AB 的延长线于 F。 求证： 。 九、相似三角形中的辅助线在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似
13、三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种：一、作平行线例 1. 如图， 的 AB 边和 AC 边上各取一点 D 和 E，且使 ADAE，DE 延长线与ABCBC 延长线相交于 F，求证： BEB D A C F E例 3、如图 45，B 为 AC 的中点， E 为 BD 的中点，则 AF：AE=_.例 4、如图 4-7，已知平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于 O 点，E 为 AB 延长线上一点，OE 交 BC 于 F，若 AB=a，BC=b ，BE=c，求 BF 的长例 5、ABC 中，在 AC 上截取
14、 AD，在 CB 延长线上截取 BE，使 AD=BE，求证：DF AC=BC FE例 6：如图ABC 中，AD 为中线，CF 为任一直线，CF 交AD 于 E，交 AB 于 F，求证：AE：ED=2AF：FB。二、作延长线例 7. 如图，Rt ABC 中，CD 为斜边 AB 上的高，E 为 CD 的中点，AE 的延长线交 BC于 F，FG AB 于 G，求证：FG =CF BF2例 8如图 4-1，已知平行四边 ABCD 中，E 是 AB 的中点，ADF31，连 E、F 交 AC于 G求 AG：AC 的值三、作中线例 10： 已知：如图，ABC 中，ABAC，BD AC 于 D求证： BC22CDAC
