1、 一、相似三角形中的动点问题1.如图，在 RtABC 中，ACB=90，AC=3，BC=4，过点 B作射线 BB1AC动点 D从点 A出发沿射线 AC方向以每秒 5个单位的速度运动，同时动点 E从点 C沿射线AC方向以每秒 3个单位的速度运动过点 D作 DHAB于 H，过点 E作 EFAC 交射线 BB1于 F，G 是 EF中点，连接 DG设点 D运动的时间为 t秒（1）当 t为何值时，AD=AB，并求出此时 DE的长度；（2）当DEG 与ACB 相似时，求 t的值2.如图，在ABC 中，ABC90，AB=6m，BC=8m，动点 P以 2m/s的速度从A点出发，沿 AC向点 C移动同时，动点
2、Q以 1m/s的速度从 C点出发，沿 CB向点 B移动当其中有一点到达终点时，它们都停止移动设移动的时间为 t秒（1）当 t=2.5s时，求CPQ 的面积；求CPQ 的面积 S（平方米）关于时间 t（秒）的函数解析式；（2）在 P，Q 移动的过程中，当CPQ 为等腰三角形时，求出 t的值3.如图 1，在 RtABC 中， ACB90，AC6，BC8，点 D在边 AB上运动，DE 平分 CDB交边 BC于点 E，EMBD，垂足为 M，ENCD，垂足为 N（1）当 ADCD 时，求证：DEAC；（2）探究：AD 为何值时，BME 与CNE 相似？4.如图所示，在ABC 中，BABC20cm，AC3
3、0cm，点P从 A点出发，沿着 AB以每秒4cm的速度向 B点运动；同时点Q从 C点出发，沿 CA以每秒3cm的速度向 A点运动，当 P点到达 B点时，Q 点随之停止运动设运动的时间为 x（1）当 x为何值时，PQBC？（2）APQ 与CQB 能否相似？若能，求出 AP的长；若不能说明理由5.如图，在矩形 ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点 P沿 AB边从 A开始向点 B以 2cm/s的速度移动；点Q沿 DA边从点 D开始向点 A以 1cm/s的速度移动如果 P、Q 同时出发，用t（s）表示移动的时间（0t6） 。（1）当 t为何值时，QAP 为等腰直角三角形？（2）当 t为何值时，
4、以点 Q、A、P 为顶点的三角形与ABC 相似？二、构造相似辅助线双垂直模型 6.在平面直角坐标系 xOy中，点 A的坐标为(2，1)，正比例函数 y=kx的图象与线段 OA的夹角是 45，求这个正比例函数的表达式7.在ABC 中，AB= ，AC=4 ，BC=2，以 AB为边在 C点的异侧作ABD，使ABD 为等腰直角三角形，求线段 CD的长8.在ABC 中，AC=BC，ACB=90，点 M是 AC上的一点，点 N是 BC上的一点，沿着直线 MN折叠，使得点 C恰好落在边 AB上的 P点求证：MC：NC=AP：PB9.如图，在直角坐标系中，矩形 ABCO的边 OA在 x轴上，边 OC在 y轴上
5、，点 B的坐标为（1，3） ，将矩形沿对角线 AC翻折 B点落在 D点的位置，且 AD交 y轴于点E那么 D点的坐标为（）A. B.C. D.10.已知，如图，直线 y=2x2 与坐标轴交于 A、B两点以 AB为短边在第一象限做一个矩形 ABCD，使得矩形的两边之比为 12。求 C、D 两点的坐标。三、构造相似辅助线A、X 字型 11.如图：ABC 中，D 是 AB上一点，AD=AC，BC 边上的中线 AE交 CD于 F。求证：12.四边形 ABCD中，AC 为AB、AD 的比例中项，且 AC平分DAB。求证：13.在梯形 ABCD中，ABCD，ABb，CDa，E 为AD边上的任意一点，EFA
6、B，且 EF交 BC于点 F，某同学在研究这一问题时，发现如下事实：(1)当 时，EF= ；(2)当 时，EF=；(3)当 时，EF=当 时，参照上述研究结论，请你猜想用 a、b 和 k表示 EF的一般结论，并给出证明14.已知：如图，在ABC 中，M 是 AC的中点，E、F是 BC上的两点，且BEEFFC。求 BN：NQ：QM15.证明：（1）重心定理：三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的 （注：重心是三角形三条中线的交点） （2）角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例四、相似类定值问题 16.如图，在等边ABC 中，M、N 分别是边 AB
7、，AC 的中点，D 为 MN上任意一点，BD、CD 的延长线分别交AC、AB 于点 E、F求证： 17.已知：如图，梯形 ABCD中，AB/DC，对角线 AC、BD交于 O，过 O作 EF/AB分别交 AD、BC 于 E、F。求证： 18.如图，在ABC 中，已知 CD为边 AB上的高，正方形 EFGH的四个顶点分别在ABC 上。求证： 19.已知，在ABC 中作内接菱形 CDEF，设菱形的边长为a求证： 五、相似之共线线段的比例问题 20.（1）如图 1，点 在平行四边形 ABCD的对角线 BD上，一直线过点 P分别交 BA，BC 的延长线于点 Q，S，交于点 求证：（2）如图 2，图 3，
8、当点 在平行四边形 ABCD的对角线 或 的延长线上时， 是否仍然成立？若成立，试给出证明；若不成立，试说明理由（要求仅以图 2为例进行证明或说明） ；21.已知：如图，ABC中，ABAC，AD是中线，P 是 AD上一点，过 C作 CFAB，延长 BP交 AC于 E，交 CF于 F求证：BP2PEPF 22.如图，已知ABC 中，AD，BF 分别为 BC，AC边上的高，过 D作 AB的垂线交 AB于 E，交 BF于 G，交AC延长线于 H。求证： DE2=EGEH 23.已知如图，P 为平行四边形 ABCD的对角线 AC上一点，过 P的直线与AD、BC、CD 的延长线、AB的延长线分别相交于点
9、E、F、G、H.求证：24.已知，如图，锐角ABC 中，ADBC 于 D，H 为垂心（三角形三条高线的交点） ；在 AD上有一点 P，且BPC 为直角求证：PD2ADDH 。六、相似之等积式类型综合 25.已知如图，CD 是 RtABC斜边 AB上的高，E 为 BC的中点，ED 的延长线交 CA于F。求证：26如图，在 RtABC 中，CD 是斜边 AB上的高，点 M在CD上，DHBM 且与 AC的延长线交于点 E.求证：（1）AEDCBM；（2）27.如图，ABC 是直角三角形，ACB=90，CDAB于 D，E 是 AC的中点，ED 的延长线与 CB的延长线交于点 F.（1）求证： .（2）
10、若 G是 BC的中点，连接 GD，GD 与 EF垂直吗？并说明理由.28.如图，四边形 ABCD、DEFG 都是正方形，连接AE、CG,AE 与 CG相交于点 M，CG 与 AD相交于点 N求证： 29.如图，BD、CE 分别是ABC 的两边上的高，过 D作DGBC 于 G，分别交 CE及 BA的延长线于 F、H。求证：（1）DG2BGCG；（2）BGCGGFGH 七、 相似基本模型应用 30.ABC 和DEF 是两个等腰直角三角形，A=D=90，DEF 的顶点E位于边 BC的中点上（1）如图 1，设 DE与 AB交于点 M，EF 与 AC交于点N，求证：BEMCNE；（2）如图 2，将DEF
11、 绕点 E旋转，使得 DE与 BA的延长线交于点 M，EF 与 AC交于点 N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论31.如图，四边形 ABCD和四边形 ACED都是平行四边形，点 R为 DE的中点，BR 分别交AC、CD 于点 P、Q（1）请写出图中各对相似三角形（相似比为 1除外） ；（2）求 BP：PQ：QR32.如图，在ABC 中，ADBC 于 D，DEAB 于E，DFAC 于 F。求证：答案：1.答案：解：（1）ACB=90，AC=3，BC=4AB=5又AD=AB，AD=5tt=1，此时 CE=3，DE=3+3-5=1（2）如图当点 D在点 E左
12、侧，即：0t 时，DE=3t+3-5t=3-2t若DEG 与ACB 相似，有两种情况：DEGACB，此时 ，即： ，求得：t= ；DEGBCA，此时 ，即： ，求得：t= ；如图，当点 D在点 E右侧，即：t 时，DE=5t-(3t+3)=2t-3若DEG 与ACB 相似，有两种情况：DEGACB，此时 ，即： ，求得：t= ；DEGBCA，此时 ，即： ，求得：t= 综上，t 的值为 或 或 或 3.答案：解：（1）证明：AD=CDA=ACDDE 平分 CDB交边 BC于点 ECDE=BDECDB 为CDB 的一个外角CDB=A+ACD=2ACDCDB=CDE+BDE=2CDEACD=CDE
13、DEAC（2）NCE=MBEEMBD，ENCD，BMECNE，如图NCE=MBEBD=CD又NCE+ACD=MBE+A=90ACD=AAD=CDAD=BD= AB在 RtABC 中， ACB90，AC6，BC8AB=10AD=5NCE=MEBEMBD，ENCD，BMEENC，如图NCE=MEBEMCDCDAB在 RtABC 中， ACB90，AC6，BC8AB=10A=A，ADC=ACBACDABC综上：AD=5 或 时，BME 与CNE 相似4.答案：解（1）由题意：AP=4x，CQ=3x，AQ=30-3x，当 PQBC 时， ，即：解得：（2）能，AP= cm或 AP=20cmAPQCBQ
14、，则 ，即解得： 或 （舍）此时：AP= cmAPQCQB，则 ，即解得： （符合题意）此时：AP= cm故 AP= cm或 20cm时，APQ 与CQB 能相似5.答案：解：设运动时间为 t，则 DQ=t，AQ=6-t，AP=2t，BP=12-2t（1）若QAP 为等腰直角三角形，则 AQ=AP，即：6-t=2t，t=2（符合题意）t=2 时，QAP 为等腰直角三角形（2）B=QAP=90当QAPABC 时， ，即：，解得： （符合题意） ；当PAQABC 时， ，即：，解得： （符合题意） 当 或 时，以点 Q、A、P 为顶点的三角形与ABC 相似6.答案：解：分两种情况第一种情况，图象经
15、过第一、三象限过点 A作 ABOA，交待求直线于点 B，过点 A作平行于 y轴的直线交 x轴于点 C，过点 B作 BDAC则由上可知： 90由双垂直模型知：OCAADBA（2，1） ， 45OC2，AC1，AOABADOC2，BDAC1D 点坐标为（2，3）B 点坐标为（1，3）此时正比例函数表达式为：y3x第二种情况，图象经过第二、四象限过点 A作 ABOA，交待求直线于点 B，过点 A作平行于 x轴的直线交 y轴于点 C，过点 B作 BDAC则由上可知： 90由双垂直模型知：OCAADBA（2，1） ， 45OC1，AC2，AOABADOC1，BDAC2D 点坐标为（3，1）B 点坐标为（
16、3，1）此时正比例函数表达式为：y x7.答案：解：情形一：情形二：情形三：8.答案：证明：方法一：连接 PC，过点 P作 PDAC 于 D，则 PD/BC根据折叠可知 MNCP2+PCN=90，PCN+CNM=902=CNMCDP=NCM=90PDCMCNMC：CN=PD：DCPD=DAMC：CN=DA：DCPD/BCDA：DC=PA：PBMC：CN=PA：PB方法二：如图，过 M作 MDAB 于 D，过 N作 NEAB 于 E由双垂直模型，可以推知PMDNPE，则，根据等比性质可知 ，而MD=DA，NE=EB，PM=CM，PN=CN， MC：CN=PA：PB9.答案：A解题思路：如图过点
17、D作 AB的平行线交 BC的延长线于点 M，交 x轴于点 N，则M=DNA=90，由于折叠，可以得到ABCADC，又由 B（1，3）BC=DC=1，AB=AD=MN=3，CDA=B=90 1+2=90 DNA=90 3+2=90 1=3 DMCAND，设 CM=x，则 DN=3x，AN=1x，DM3x 3x ，则 。 答案为 A10.答案：解：过点 C作 x轴的平行线交 y轴于 G，过点 D作 y轴的平行线交 x轴于 F，交 GC的延长线于 E。直线 y=2x2 与坐标轴交于 A、B 两点A（1,0） ，B（0,2）OA=1，OB=2，AB=AB：BC=1:2BC=AD=ABO+CBG=90，
18、ABO+BAO=90CBG=BAO又CGB=BOA=90OABGBCGB=2，GC=4GO=4C（4,4）同理可得ADFBAO，得DF=2，AF=4 OF=5 D（5,2）11.答案：证明：（方法一）如图延长 AE到 M使得 EM=AE，连接 CMBE=CE，AEB=MEC BEACEMCM=AB，1=BABCMM=MAD，MCF=ADFMCFADFCM=AB，AD=AC（方法二）过 D作 DGBC 交 AE于 G则ABEADG，CEFDGF ，AD=AC，BE=CE12.答案：证明：过点 D作 DFAB 交 AC的延长线于点 F，则2=3AC 平分DAB1=21=3AD=DFDEF=BEA，2=3BEADEFAD=DFAC 为 AB、AD 的比例中项即又1=2ACDABC13.答案：解：证明：过点 E作 PQBC 分别交 BA延长线和 DC于点 P和点 QABCD，PQBC四边形 PQCB和四边形 EQCF是平行四边形PBEFCQ，又ABb，CDaAPPB-ABEF-b，DQDC-QCa-EF14.答案：解：连接 MFM 是 AC的中点，EFFCMFAE 且 MF AE BENBFM
