1、启真学堂1相似三角形的判定与性质综合运用经典题型考点一：相似三角形的判定与性质：例 1、如图，PCD 是等边三角形，A、C、D、B 在同一直线上，且APB=120.求证：PACBPD； CD 2 =ACBD.例 2、如图,在等腰ABC 中, BAC=90,AB=AC=1,点 D是 BC边上的一个动点(不与 B、C重合） ，在 AC上取一点 E，使ADE=45（1）求证：ABDDCE；（2）设 BD=x，AE=y，求 y关于 x函数关系式及自变量 x值范围，并求出当 x为何值时 AE取得最小值？（3）在 AC上是否存在点 E，使得ADE 为等腰三角形？若存在，求 AE的长；若不存在，请说明理由？
2、例 3、如图所示，在平行四边形 ABCD中，过点 A作 AEBC，垂足为 E，连接 DE，F 为线段DE上一点，且AFE=B：1）求证：ADFDEC； 2）若 AB=4， ,AE=3，求 AF的长。3ADAB CDEF启真学堂2考点二：射影定理：例 4、如图，在 RtABC 中，ACB=90,CDAB 于 D，CD=4cm,AD=8cm,求 AC、BC 及 BD的长。例 5、如图，已知正方形 ABCD，E 是 AB的中点，F 是 AD上的一点，且 AF= AD，EGCF 于14点 G，（1）求证：AEFBCE； （2）试说明：EG 2=CGFG.腇腇 腇腇腇腇腇例 6、已知：如图所示的一张矩形
3、纸片 ABCD（ADAB） ，将纸片折叠一次，使点 A与点 C重合,再展开，折痕 EF交 AD边于 E，交 BC边于 F，分别连结 AF和 CE（）求证：四边形 AFCE是菱形；（）若 AE=10cm，ABF 的面积为 24cm2，求ABF 的周长；（）在线段 AC上是否存在一点 P，使得 2AE2ACAP？若存在，请说明点 P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由考点三：相似之共线线段的比例问题：启真学堂3例 7、已知如图，P 为平行四边形 ABCD的对角线 AC上一点，过 P的直线与 AD、BC、CD 的延长线、AB 的延长线分别相交于点 E、F、G、H.求证： GHFE例 8、如图，点
4、 P是菱形 ABCD的对角线 BD上一点，连接 CP并延长，交 AD于点 E，交 BA的延长线于点 F（1）求证：PC 2=PEPF；（2）若菱形边长为 8，PE=2，EF=6，求 FB的长例 9、如图，CD 是 RtABC 斜边上的高，E 为 AC的中点，ED 交 CB的延长线于 F求证：BDCF=CDDF例 10、如图：已知在等边三角形 ABC中，点 D、E 分别是 AB、BC 延长线上的点，且BD=CE，直线 CD与 AE相交于点 F（1）求证：DC=AE；（2）求证：AD 2=DCDF例 11、如图，E 是矩形 ABCD的边 BC上一点，EFAE，EF 分别交 AC，CD 于点启真学堂
5、4M，F，BGAC，垂足为 G，BG 交 AE于点 H（1）找出与ABH 相似的三角形，并证明；（2）若 E是 BC中点，BC=2AB，AB=2，求 EM的长例 12、如图，四边形 ABCD、DEFG 都是正方形，连接 AE、CG，AE 与 CG相交于点 M，CG 与AD相交于点 N求证：（1）AE=CG；（2）ANDN=CNMN例 13、如图，在 RtABC 中，CD 是斜边 AB上的高，点 M在 CD上，DHBM 且与 AC的延长线交于点 E求证：（1）AEDCBM； （2）AECM=ACCD例 14、如图，ABC 是直角三角形，ACB=90，CDAB 于 D，E 是 AC的中点，ED 的
6、延长线与 CB的延长线交于点 F（1）求证：FD 2=FBFC；（2）若 G是 BC的中点，连接 GD，GD 与 EF垂直吗？并说明理由例 15、如图，四边形 ABCD、CDEF、EFGH 都是正方形.启真学堂5(1)ACF 与ACG 相似吗？说说你的理由.(2)求1+2 的度数.考点四：相似三角形的实际应用：例 16、如图，ABC 是一块锐角三角形余料，边 BC=120mm，高 AD=80mm，要把它加工成矩形零件，使一边在 BC上，其余两个顶点分别在边 AB、AC 上（1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少？（2）若这个矩形的长 PQ是宽 PN的 2倍，则边长是多少？例 17、已知左，右并
7、排的两棵大树的高分别是 AB=8m和 CD=12m，两树的根部的距离BD=5m。一个身高 1.6m的人沿着正对着两棵树的一条水平直路从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看见右边较高的树的顶端点 C？例 18、两颗树的高度分别为 AB=6m，CD=8m，两树的根部间的距离 AC=4m，小强沿着正对这启真学堂6两棵树的方向从左向右前进，如果小强的眼睛与地面的距离为 1.6m，当小强与树 AB的距离小于多少时，就不能看到树 CD的树顶 D？例 19、小亮想利用太阳光下的影子测量校园内一棵大树的高，小亮发现因大树靠近学校围墙，大树的影子不全落在地面上，如图所示，经测量，墙上影高 C
8、D=1.5m，地面影长BC=10m若此时 1米高的标杆的影长恰好为 2m请你求出这棵大树 AB的高度例 20、如图，九年级的数学活动课上，小明发现电线杆 AB的影子落在土坡的坡面 CD和地面 BC上，量得 CD=8米，BC=20 米，CD 与地面成 30角，且此时测得 1米杆的影长为 2米，求电线杆的高度例 21、如图，有一路灯杆 AB（底部 B不能直接到达） ，在灯光下，小明在点 D处测得自己的影长 DF=3m，沿 BD方向到达点 F处再测得自己得影长 FG=4m，如果小明的身高为 1.6m，求路灯杆 AB的高度启真学堂7考点五：相似三角形中的动点问题：例 22、在矩形 ABCD中，AB=1
9、2cm，AD=6cm，点 P沿 AB边从点 A开始向点 B以 2cm/秒的速度移动，点 Q沿 DA边从点 D开始向点 A以 1cm/秒的速度移动，如果 P、Q 同时出发，用t（秒）表示运动时间（0t6） ，那么当 t为何值时，APQ 与ABD 相似？说明理由例 23、如图，在ABC 中，B=90，AB=6 米，BC=8 米，动点 P以 2米/秒的速度从 A点出发，沿 AC向点 C移动同时，动点 Q以 1米/秒的速度从 C点出发，沿 CB向点 B移动当其中有一点到达终点时，它们都停止移动设移动的时间为 t秒（1）当 t=2.5秒时，求CPQ 的面积；求CPQ 的面积 S（平方米）关于时间 t（秒
10、）的函数解析式；（2）在 P，Q 移动的过程中，当CPQ 为等腰三角形时，写出 t的值。例 24、如图所示，在ABC 中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点 P从 A点出发，沿着 AB以每秒4cm的速度向 B点运动；同时点 Q从 C点出发，沿 CA以每秒 3cm的速度向 A点运动，设运动时间为 x（1）当 x为何值时，PQBC；（2）当 SBCQ :SABC =1:3 ，求 SBPQ :SABC 的值；（3）APQ 能否与CQB 相似？若能，求出 AP的长；若不能，请说明理由启真学堂8例 25、如图，平面直角坐标系中，四边形 OABC为矩形，点 A、B 的坐标为（6，0） ，（6，8）
11、动点 M、N 分别从 O、B 同时出发，都以每秒 1个单位的速度运动，其中，点 M沿 OA向终点 A运动，点 N沿 BC向终点 C运动，过点 N作 NPBC，交 AC于点 P，连接MP，已知动点运动了 x秒（1）用含 x的代数式表示 P的坐标（直接写出答案） ；（2）设 y=S四边形 OMPC，求 y的最小值，并求此时 x的值；（3）是否存在 x的值，使以 P、A、M 为顶点的三角形与AOC 相似？若存在，请求出 x的值；若不存在，请说明理由例 26、如图，正方形 ABCD的边长为 4，E 是 BC边的中点，点 P在射线 AD上，过 P作PFAE 于 F（1）求证：PFAABE；（2）当点 P
12、在射线 AD上运动时，设 PA=x，是否存在实数 x，使以 P、F、E 为顶点的三角形也与ABE 相似？若存在，请求出 x的值；若不存在，请说明理由启真学堂9例 27、如图，在平面直角坐标系中，已知 RtAOB 的两条直角边 OA、OB 分别在 y轴和 x轴上，并且 OA、OB 的长分别是方程 x27x+12=0 的两根（OAOB） ，动点 P从点 A开始在线段 AO上以每秒 1个单位长度的速度向点 0运动；同时，动点 Q从点 B开始在线段 BA上以每秒 2个单位长度的速度向点 A运动，设点 P、Q 运动的时间为 t秒（1）求 A、B 两点的坐标；（2）求当 t为何值时，APQ 与AOB 相似；（3）当 t=2时，在坐标平面内，是否存在点 M，使以 A、P、Q、M 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出 M点的坐标；若不存在，请说明理由
