1、 相似三角形1.如图，在 RtABC 中，ACB=90，AC=3，BC=4，过点 B 作射线 BB1AC动点 D 从点 A 出发沿射线 AC 方向以每秒 5 个单位的速度运动，同时动点 E 从点 C 沿射线 AC 方向以每秒 3 个单位的速度运动过点 D 作 DHAB 于 H，过点 E 作 EFAC 交射线 BB1 于 F，G 是 EF 中点，连接DG设点 D 运动的时间为 t 秒（1）当 t 为何值时，AD=AB，并求出此时 DE 的长度；（2）当DEG 与ACB 相似时，求 t 的值2.如图，在ABC 中， ABC90，AB=6m，BC=8m，动点 P 以 2m/s 的速度从 A 点出发，
2、沿 AC 向点 C 移动同时，动点 Q 以 1m/s 的速度从 C点出发，沿 CB 向点 B 移动当其中有一点到达终点时，它们都停止移动设移动的时间为 t 秒（1）当 t=2.5s 时，求CPQ 的面积；求CPQ 的面积 S（平方米）关于时间 t（秒）的函数解析式；（2）在 P，Q 移动的过程中，当CPQ 为等腰三角形时，求出 t 的值3.如图 1，在 RtABC 中， ACB90，AC6，BC8，点 D 在边 AB 上运动，DE 平分 CDB 交边 BC 于点 E，EMBD，垂足为 M，ENCD，垂足为 N（1）当 ADCD 时，求证：DEAC；（2）探究：AD 为何值时，BME 与CNE
3、相似？4.如图所示，在ABC 中，BABC20cm，AC30cm，点 P 从 A 点出发，沿着 AB 以每秒 4cm 的速度向 B 点运动；同时点 Q 从 C 点出发，沿 CA 以每秒 3cm 的速度向 A 点运动，当 P 点到达 B 点时，Q 点随之停止运动设运动的时间为 x（1）当 x 为何值时，PQBC？（2）APQ 与CQB 能否相似？若能，求出 AP 的长；若不能说明理由5.如图，在矩形 ABCD 中，AB=12cm，BC=6cm，点 P 沿 AB 边从 A 开始向点 B 以 2cm/s 的速度移动；点 Q 沿 DA 边从点 D 开始向点 A 以 1cm/s 的速度移动如果 P、Q
4、同时出发，用 t（s）表示移动的时间（0t6） 。（1）当 t 为何值时，QAP 为等腰直角三角形？（2）当 t 为何值时，以点 Q、A、P 为顶点的三角形与ABC 相似？6.在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为(2，1)，正比例函数 y=kx 的图象与线段 OA 的夹角是 45，求这个正比例函数的表达式7.在ABC 中，AB= ，AC=4， BC=2，以 AB 为边在 C 点的异侧作ABD，使ABD 为等腰直角三角形，求线段 CD 的长8.在ABC 中，AC=BC，ACB=90，点 M 是 AC 上的一点，点 N 是 BC 上的一点，沿着直线 MN 折叠，使得点C 恰好落在边 AB
5、 上的 P 点求证：MC：NC=AP：PB9.如图，在直角坐标系中，矩形 ABCO 的边 OA 在 x 轴上，边 OC 在 y 轴上，点 B 的坐标为（1，3） ，将矩形沿对角线 AC 翻折 B 点落在 D 点的位置，且 AD 交 y 轴于点 E那么 D 点的坐标为（）A. B. C. D.10.已知，如图，直线 y=2x2 与坐标轴交于 A、B 两点以 AB 为短边在第一象限做一个矩形 ABCD，使得矩形的两边之比为 12。求 C、D 两点的坐标。11.如图：ABC 中，D 是 AB 上一点，AD=AC，BC 边上的中线 AE 交 CD 于 F。求证：12.四边形 ABCD 中，AC 为 A
6、B、AD 的比例中项，且 AC 平分DAB。求证：13.在梯形 ABCD 中，ABCD，ABb，CDa，E 为 AD 边上的任意一点，EFAB，且 EF 交 BC 于点 F，某同学在 研究这一问题时，发现如下事实：(1)当 时，EF= ；(2)当 时，EF= ；(3)当 时， EF= 当 时，参照上述研究结论，请你猜想用 a、b 和 k 表示 EF 的一般结论，并给出证明14.已知：如图，在ABC 中，M 是 AC 的中点，E、F 是 BC 上的两点，且 BEEFFC。求 BN：NQ：QM15.证明：（1）重心定理：三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的 （注：重心是三角形三条中线的交
7、点）.（2）角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例16.如图，在等边ABC 中，M、N 分别是边 AB，AC 的中点，D 为 MN 上任意一点，BD、CD 的延长线分别交 AC、AB 于点 E、F求证： 17.已知：如图，梯形 ABCD 中，AB/DC，对角线 AC、BD 交于 O，过 O 作 EF/AB 分别交 AD、BC 于 E、F。求证： 18.如图，在ABC 中，已知 CD 为边 AB 上的高，正方形 EFGH 的四个顶点分别在ABC 上。求证： 19.已知，在ABC 中作内接菱形 CDEF，设菱形的边长为 a求证： 20.（1）如图 1，点
8、在平行四边形 ABCD 的对角线 BD 上，一直线过点 P 分别交 BA，BC 的延长线于点 Q，S，交 于点 求证：（2）如图 2，图 3，当点 在平行四边形 ABCD 的对角线 或 的延长线上时， 是否仍然成立？若成立，试给出证明；若不成立，试说明理由（要求仅以图 2 为例进行证明或说明） ；21.如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 A 作 AEBC，垂足为 E，连接 DE，F 为线段 DE 上一点，且AFEB.(1) 求证：ADFDEC(2) 若 AB4,AD3 ,AE3,求 AF 的长.22.如图，已知等腰三角形 ABC 中，AD，BF 分别为 BC，AC 边上的高，过 D 作 A
9、B 的垂线交 AB 于 E，交 BF 于 G，交 AC 延长线于 H。求证： DE2=EGEH 23.已知如图，P 为平行四边形 ABCD 的对角线 AC 上一点，过 P 的直线与 AD、BC、CD 的延长线、AB 的延长线分别相交于点 E、F、G、H.求证：24.已知，如图，锐角ABC 中，ADBC 于 D，H 为垂心（三角形三条高线的交点） ；在 AD 上有一点 P，且BPC 为直角求证：PD 2ADDH 。25.已知如图，CD 是 RtABC 斜边 AB 上的高，E 为 BC 的中点，ED 的延长线交 CA 于 F。求证：26 如图，在 RtABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，点 M
10、 在 CD 上，DHBM 且与 AC 的延长线交于点 E.求证：（1）AEDCBM；（2）27.如图，ABC 是直角三角形，ACB=90，CDAB 于 D，E 是 AC 的中点，ED 的延长线与 CB 的延长线交于点 F.（1）求证： .（2）若 G 是 BC 的中点，连接 GD，GD 与 EF 垂直吗？并说明理由.28.如图，四边形 ABCD、DEFG 都是正方形，连接 AE、CG,AE 与 CG 相交于点 M，CG 与 AD 相交于点 N求证： FECBABC29.如图，BD、CE 分别是ABC 的两边上的高，过 D 作 DGBC 于 G，分别交 CE 及 BA 的延长线于 F、H。求证：
11、（1）DG 2BGCG；（2）BGCGGFGH 30.ABC 和DEF 是两个等腰直角三角形，A=D=90，DEF 的顶点 E 位于边 BC 的中点上（1）如图 1，设 DE 与 AB 交于点 M，EF 与 AC 交于点 N，求证：BEMCNE；（2）如图 2，将DEF 绕点 E 旋转，使得 DE 与 BA 的延长线交于点 M，EF 与 AC 交于点 N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论31.如图，四边形 ABCD 和四边形 ACED 都是平行四边形，点 R 为 DE 的中点，BR 分别交 AC、CD 于点 P、Q（1）请写出图中各对相似三角形（相似比
12、为 1 除外） ；（2）求 BP：PQ：QR32.如图，在ABC 中，ADBC 于 D，DEAB 于 E，DFAC 于 F。求证：33.如图， Rt AB C 是由 Rt ABC 绕点 A 顺时针旋转得到的，连结 CC 交斜边于点 E， CC 的延长线交 BB 于点 F（1）证明： ACE FBE；（2）设 ABC= ， CAC = ，试探索 、 满足什么关系时， ACE 与 FBE 是全等三角形，并说明理由图 15-2ADOBC21MN图 15-1ADBMN12图 15-3ADOBC21MNO34.在直角梯形 OABC 中， CB OA， COA90， CB3， OA6， BA3 分别以 O
13、A、 OC 边所在直线为 x 轴、 y 轴建立如图 1 所示的平面直角5坐标系（1）求点 B 的坐标；（2）已知 D、 E 分别为线段 OC、 OB 上的点， OD5， OE2 EB，直线 DE 交 x 轴于点 F求直线 DE 的解析式；（3）点 M 是（2）中直线 DE 上的一个动点，在 x 轴上方的平面内是否存在另一个点 N使以 O、 D、M、 N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由35.在图 15-1 至图 15-3 中，直线 MN 与线段 AB 相交于点 O，1 = 2 = 45（1）如图 15-1， 若 AO = OB， 请 写 出 AO 与 B
14、D 的 数量关系和位置关系；（2）将图 15-1 中 的 MN 绕 点 O 顺 时 针 旋 转 得到图 15-2，其中 AO = OB求证： AC = BD， AC BD；（3）将 图 15-2 中 的 OB 拉 长 为 AO 的 k 倍 得 到图 15-3，求 的值AC36.如图，在正方形 ABCD 中， E 是 BC 上的一点,连结 AE，作 BF AE，垂足为 H,交 CD 于 F,作 CG AE,交 BF 于 G.(1)求证 CG=BH; (2)FC2=BFGF; (3) 2ABFC= G.37.刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图、图中，B=90，A=30，BC
15、=6cm；图中，D=90，E=45，DE=4 cm图是刘卫同学所做的一个实验：他将DEF 的直角边 DE 与ABC 的斜边 AC 重合在一起，并将DEF 沿 AC 方向移动在移动过程中，D、E 两点始终在 AC 边上(移动开始时点 D 与点 A 重合)(1)在DEF 沿 AC 方向移动的过程中，刘卫同学发现：F、C 两点间的距离逐渐 (填“不变” 、 “变大”或“变小”)(2)刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：问题：当DEF 移动至什么位置，即 AD 的长为多少时，F、C 的连线与 AB 平行?问题：当DEF 移动至什么位置，即 AD 的长为多少时，以线段 AD、FC、BC 的长度为三
16、边长的三角形是直角三角形?问题：在DEF 的移动过程中，是否存在某个位置，使得FCD=15?如果存在，求出 AD 的长度；如果不存在，请说明理由ABDEFCOMNxyBACDHEFG请你分别完成上述三个问题的解答过程38.已知ABC 中，AB2 5，AC4 ，BC6（1）如图 1 点 M 为 AB 的中点，在线段 AC 上取点 N，使AMN 与ABC 相似，求线段 MN 的长；（2）如图 2,是由 100 个边长为 1 的小正方形组成的 1010 正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形，请你在所给的网格中画出格点A 1B1C1，使得A 1B1C1与ABC 全等（画出一个即可，
17、不需证明）试直接写出在所给的网格中与ABC 相似且面积最大的格点三角形的个数，并画出其中的一个（不需证明）39.已知直角坐标系中菱形 ABCD 的位置如图， C， D 两点的坐标分别为(4,0)，(0,3).现有两动点 P,Q 分别从 A,C 同时出发，点 P 沿线段 AD 向终点D 运动，点 Q 沿折线 CBA 向终点 A 运动，设运动时间为 t 秒.(1)填空：菱形 ABCD 的边长是 、面积是 、高 BE 的长是 ；(2)探究下列问题：若点 P 的速度为每秒 1 个单位，点 Q 的速度为每秒 2 个单位.当点 Q 在线段 BA 上时，求 APQ 的面积 S 关于 t 的函数关系式，以及
18、S 的最大值。若点 P 的速度为每秒 1 个单位，点 Q 的速度变为每秒 k 个单位，在运动过程中,任何时刻都有相应的 k 值，使得 APQ 沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形.请探究当 t=4 秒时的情形，并求出 k 的值. G xyABCDOE(图 1) PQ40.ABC 中，AB=AC，D 为 BC 的中点，以 D 为顶点作MDN=B（1）如图（1）当射线 DN 经过点 A 时，DM 交 AC 边于点 E，不添加辅助线，写出图中所有与ADE 相似的三角形（2）如图（2） ，将MDN 绕点 D 沿逆时针方向旋转，DM，DN 分别交线段 AC，AB 于 E，F 点（点 E
19、与点 A 不重合） ，不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论（3）在图（2）中，若 AB=AC=10，BC=12，当DEF 的面积等于ABC 的面积的 时，求线段 EF 的长41.如图，已知正方形 ABCD 中，BE 平分 且交 CD 边与点 E，将 绕点 C 顺时针旋转到 的位置，并延长 BE 交 DF 于点 GDBCBDF（1）求证: ;EGBD（2）若 EGBG=4，求 BE 的42.如图，在 RtABC 中，ABC=90，BA=BC点 D 是 AB 的中点，连接 CD，过点 B 作 BG 丄 CD，分别交 GD、CA 于点 E、F，与过点 A 且垂直于的直线相交于点 G，连接 DF给出以下四个结论： ；点 F 是 GE 的中点；AF= AB；S ABC =SBDF ，其中正确的结论序号是
