1、相似三角形一解答题（共 30 小题）1如图，在ABC 中，DEBC，EFAB，求证：ADEEFC2如图，梯形 ABCD 中，ABCD，点 F 在 BC 上，连 DF 与 AB 的延长线交于点 G（1）求证：CDFBGF；（2）当点 F 是 BC 的中点时，过 F 作 EFCD 交 AD 于点 E，若 AB=6cm，EF=4cm，求CD 的长3如图，点 D，E 在 BC 上，且 FDAB，FEAC求证：ABCFDE4如图，已知 E 是矩形 ABCD 的边 CD 上一点，BFAE 于 F，试说明：ABFEAD5已知：如图所示，在ABC 和ADE 中，AB=AC，AD=AE，BAC=DAE，且点B，
2、A，D 在一条直线上，连接 BE，CD，M，N 分别为 BE，CD 的中点（1）求证：BE=CD；AMN 是等腰三角形；（2）在图的基础上，将ADE 绕点 A 按顺时针方向旋转 180，其他条件不变，得到图所示的图形请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；（3）在（2）的条件下，请你在图中延长 ED 交线段 BC 于点 P求证：PBDAMN6如图，E 是ABCD 的边 BA 延长线上一点，连接 EC，交 AD 于点 F在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明7如图，在 43 的正方形方格中，ABC 和DEF的顶点都在边长为 1 的小正方形的顶点上（1
3、）填空：ABC= _ ，BC= _ ；（2）判断ABC 与DEC 是否相似，并证明你的结论8如图，已知矩形 ABCD 的边长 AB=3cm，BC=6cm某一时刻，动点 M 从 A 点出发沿 AB 方向以 1cm/s 的速度向 B 点匀速运动；同时，动点 N 从 D 点出发沿 DA 方向以 2cm/s 的速度向 A 点匀速运动，问：（1）经过多少时间，AMN 的面积等于矩形 ABCD 面积的 ？（2）是否存在时刻 t，使以 A，M，N 为顶点的三角形与ACD 相似？若存在，求 t的值；若不存在，请说明理由9如图，在梯形 ABCD 中，若 ABDC，AD=BC，对角线 BD、AC 把梯形分成了四个
4、小三角形（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例）（2）请你任选一组相似三角形，并给出证明10如图ABC 中，D 为 AC 上一点，CD=2DA，BAC=45，BDC=60，CEBD 于E，连接 AE（1）写出图中所有相等的线段，并加以证明；（2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由；2（3）求BEC 与BEA 的面积之比11如图，在ABC 中，AB=AC=a，M 为底边 BC 上的任意一点，过点 M 分别作AB、AC 的平行线交 AC 于 P，交 AB 于 Q（1）求四边形 AQ
5、MP 的周长；（2）写出图中的两对相似三角形（不需证明） ；（3）M 位于 BC 的什么位置时，四边形 AQMP 为菱形并证明你的结论12已知：P 是正方形 ABCD 的边 BC 上的点，且 BP=3PC，M 是 CD 的中点，试说明：ADMMCP13如图，已知梯形 ABCD 中，ADBC，AD=2，AB=BC=8，CD=10（1）求梯形 ABCD 的面积 S；（2）动点 P 从点 B 出发，以 1cm/s 的速度，沿 BADC 方向，向点 C 运动；动点 Q 从点 C 出发，以 1cm/s 的速度，沿 CDA 方向，向点 A 运动，过点 Q 作QEBC 于点 E若 P、Q 两点同时出发，当其
6、中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为 t 秒问：当点 P 在 BA 上运动时，是否存在这样的 t，使得直线 PQ 将梯形 ABCD 的周长平分？若存在，请求出 t 的值；若不存在，请说明理由；在运动过程中，是否存在这样的 t，使得以 P、A、D 为顶点的三角形与CQE 相似？若存在，请求出所有符合条件的 t 的值；若不存在，请说明理由；在运动过程中，是否存在这样的 t，使得以 P、D、Q 为顶点的三角形恰好是以 DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的 t 的值；若不存在，请说明理由14已知矩形 ABCD，长 BC=12cm，宽 AB=8cm，P、Q 分别是 AB、BC
7、 上运动的两点若 P 自点 A 出发，以 1cm/s 的速度沿 AB 方向运动，同时，Q 自点 B 出发以2cm/s 的速度沿 BC 方向运动，问经过几秒，以 P、B、Q 为顶点的三角形与BDC 相似？15如图，在ABC 中，AB=10cm，BC=20cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向 B 点以2cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 4cm/s 的速度移动，如果P、Q 分别从 A、B 同时出发，问经过几秒钟，PBQ 与ABC 相似16如图，ACB=ADC=90，AC= ，AD=2问当 AB 的长为多少时，这两个直角三角形相似17已知，如图，在边长为 a
8、的正方形 ABCD 中，M 是 AD 的中点，能否在边 AB 上找一点 N（不含 A、B） ，使得CDM 与MAN 相似？若能，请给出证明，若不能，请说明理由18如图在ABC 中，C=90，BC=8cm，AC=6cm，点 Q 从 B 出发，沿 BC 方向以2cm/s 的速度移动，点 P 从 C 出发，沿 CA 方向以 1cm/s 的速度移动若 Q、P 分别同时从 B、C 出发，试探究经过多少秒后，以点 C、P、Q 为顶点的三角形与CBA 相似？319如图所示，梯形 ABCD 中，ADBC，A=90，AB=7，AD=2，BC=3，试在腰 AB上确定点 P 的位置，使得以 P，A，D 为顶点的三角
9、形与以 P，B，C 为顶点的三角形相似20ABC 和DEF 是两个等腰直角三角形，A=D=90，DEF 的顶点 E 位于边 BC 的中点上（1）如图 1，设 DE 与 AB 交于点 M，EF 与 AC 交于点 N，求证：BEMCNE；（2）如图 2，将DEF 绕点 E 旋转，使得 DE 与 BA 的延长线交于点 M，EF 与 AC 交于点 N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论21如图，在矩形 ABCD 中，AB=15cm，BC=10cm，点 P 沿 AB 边从点 A 开始向 B 以2cm/s 的速度移动；点 Q 沿 DA 边从点 D 开始向点 A 以
10、1cm/s 的速度移动如果P、Q 同时出发，用 t（秒）表示移动的时间，那么当 t 为何值时，以点 Q、A、P 为顶点的三角形与ABC 相似22如图，路灯（P 点）距地面 8 米，身高 1.6 米的小明从距路灯的底部（O 点）20米的 A 点，沿 OA 所在的直线行走 14 米到 B 点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？23阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达） ，他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案（1）所需的测量工具是： _ ；（2）请在下图中画
11、出测量示意图；（3）设树高 AB 的长度为 x，请用所测数据（用小写字母表示）求出 x24问题背景在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图 1，测得一根直立于平地，长为 80cm 的竹竿的影长为 60cm乙组：如图 2，测得学校旗杆的影长为 900cm丙组：如图 3，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体其粗细忽略不计）的高度为 200cm，影长为 156cm任务要求：（1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；（2）如图 3，设太阳光线 NH 与O 相切于点 M请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯
12、灯罩的半径 （友情提示：如图 3，景灯的影长等于线段 NG 的影长；需要时可采用等式 1562+2082=2602）425阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下 2.7m 宽的亮区（如图所示） ，已知亮区到窗口下的墙脚距离 EC=8.7m，窗口高 AB=1.8m，求窗口底边离地面的高 BC26如图，李华晚上在路灯下散步已知李华的身高 AB=h，灯柱的高OP=OP=l，两灯柱之间的距离 OO=m（1）若李华距灯柱 OP 的水平距离 OA=a，求他影子 AC 的长；（2）若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和（DA+AC）是否是定值请说明理由；（3）若李华在点 A 朝着影子（如图箭头）
13、的方向以 v1匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动的速度 v227如图，分别以直角三角形 ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S 2，S 3表示，则不难证明 S1=S2+S3（1）如图，分别以直角三角形 ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S 2，S 3表示，那么 S1，S 2，S 3之间有什么关系；（不必证明）（2）如图，分别以直角三角形 ABC 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S 2、S 3表示，请你确定 S1，S 2，S 3之间的关系并加以证明；（3）若分别以直角三角形 ABC 三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1，S 2，S 3
14、表示，为使 S1，S 2，S 3之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件证明你的结论；（4）类比（1） ， （2） ， （3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论28已知：如图，ABCADE，AB=15，AC=9，BD=5求 AE29已知：如图 RtABCRtBDC，若 AB=3，AC=4（1）求 BD、CD 的长；（2）过 B 作 BEDC 于 E，求 BE 的长30 （1）已知 ，且 3x+4z2y=40，求 x，y，z 的值；（2）已知：两相似三角形对应高的比为 3：10，且这两个三角形的周长差为560cm，求它们的周长5一解答题（共 30 小题）1如图，在ABC 中，
15、DEBC，EFAB，求证：ADEEFC解答： 证明：DEBC，DEFC，AED=C又EFAB，EFAD，A=FECADEEFC点评： 本题考查的是平行线的性质及相似三角形的判定定理2如图，梯形 ABCD 中，ABCD，点 F 在 BC 上，连 DF 与 AB 的延长线交于点 G（1）求证：CDFBGF；（2）当点 F 是 BC 的中点时，过 F 作 EFCD 交 AD 于点 E，若 AB=6cm，EF=4cm，求CD 的长解答： （1）证明：梯形 ABCD，ABCD，CDF=FGB，DCF=GBF， （2 分）CDFBGF （3 分）（2）解：由（1）CDFBGF，又 F 是 BC 的中点，B
16、F=FC，CDFBGF，DF=GF，CD=BG， （6 分）ABDCEF，F 为 BC 中点，E 为 AD 中点，EF 是DAG 的中位线，2EF=AG=AB+BGBG=2EFAB=246=2，CD=BG=2cm （8 分）3如图，点 D，E 在 BC 上，且 FDAB，FEAC求证：ABCFDE解答： 证明：FDAB，FEAC，B=FDE，C=FED，ABCFDE4如图，已知 E 是矩形 ABCD 的边 CD 上一点，BFAE 于 F，试说明：ABFEAD解答： 证明：矩形 ABCD 中，ABCD，D=90， （2 分）BAF=AED （4 分）BFAE，AFB=90AFB=D （5 分）A
17、BFEAD （6 分）点评： 考查相似三角形的判定定理，关键是找准对应的角5已知：如图所示，在ABC 和ADE 中，AB=AC，AD=AE，BAC=DAE，且点B，A，D 在一条直线上，连接 BE，CD，M，N 分别为 BE，CD 的中点（1）求证：BE=CD；AMN 是等腰三角形；（2）在图的基础上，将ADE 绕点 A 按顺时针方向旋转 180，其他条件不变，得到图所示的图形请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；（3）在（2）的条件下，请你在图中延长 ED 交线段 BC 于点 P求证：PBDAMN 解答： （1）证明：BAC=DAE，BAE=CAD，AB=AC，AD=AE，ABEACD，
18、BE=CD由ABEACD，得ABE=ACD，BE=CD，M、N 分别是 BE，CD 的中点，BM=CN又AB=AC，ABMACNAM=AN，即AMN 为等腰三角形（2）解：（1）中的两个结论仍然成立（3）证明：在图中正确画出线段 PD，由（1）同理可证ABMACN，CAN=BAMBAC=MAN又BAC=DAE，MAN=DAE=BACAMN，ADE 和ABC 都是顶角相等的等腰三角形PBD 和AMN 都为顶角相等的等腰三角形，6PBD=AMN，PDB=ANM，PBDAMN6如图，E 是ABCD 的边 BA 延长线上一点，连接 EC，交 AD 于点 F在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似
19、三角形，并任选一对相似三角形给予证明分析： 根据平行线的性质和两角对应相等的两个三角形相似这一判定定理可证明图中相似三角形有：AEFBEC；AEFDCF；BECDCF解答： 解：相似三角形有AEFBEC；AEFDCF；BECDCF （3 分）如：AEFBEC在ABCD 中，ADBC，1=B，2=3 （6 分）AEFBEC （7 分）7如图，在 43 的正方形方格中，ABC 和DEF 的顶点都在边长为 1 的小正方形的顶点上（1）填空：ABC= 135 ，BC= ；（2）判断ABC 与DEC 是否相似，并证明你的结论解答： 解：（1）ABC=135，BC= ；（2）相似；BC= ，EC= = ；
20、 ， ； ；又ABC=CED=135，ABCDEC8如图，已知矩形 ABCD 的边长 AB=3cm，BC=6cm某一时刻，动点 M 从 A 点出发沿AB 方向以 1cm/s 的速度向 B 点匀速运动；同时，动点 N 从 D 点出发沿 DA 方向以2cm/s 的速度向 A 点匀速运动，问：（1）经过多少时间，AMN 的面积等于矩形 ABCD 面积的 ？（2）是否存在时刻 t，使以 A，M，N 为顶点的三角形与ACD 相似？若存在，求 t的值；若不存在，请说明理由解：（1）设经过 x 秒后，AMN 的面积等于矩形 ABCD 面积的 ，则有： （62x）x= 36，即 x23x+2=0， （2 分）
21、解方程，得 x1=1，x 2=2， （3 分）经检验，可知 x1=1，x 2=2 符合题意，所以经过 1 秒或 2 秒后，AMN 的面积等于矩形 ABCD 面积的 （4 分）（2）假设经过 t 秒时，以 A，M，N 为顶点的三角形与ACD 相似，由矩形 ABCD，可得CDA=MAN=90，因此有 或 （5 分）即 ，或 （6 分）解，得 t= ；解，得 t= （7 分）经检验，t= 或 t= 都符合题意，所以动点 M，N 同时出发后，经过 秒或 秒时，以 A，M，N 为顶点的三角形与ACD 相似 （8 分）9如图，在梯形 ABCD 中，若 ABDC，AD=BC，对角线 BD、AC 把梯形分成了
22、四个小三角形（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例）（2）请你任选一组相似三角形，并给出证明解答： 解：（1）任选两个三角形的所有可能情况如下六种情况：，（2 分）其中有两组（，）是相似的7选取到的二个三角形是相似三角形的概率是 P= （4 分）证明：（2）选择、证明在AOB 与COD 中，ABCD，CDB=DBA，DCA=CAB，AOBCOD（8 分）选择、证明四边形 ABCD 是等腰梯形，DAB=CBA，在DAB 与CBA 中有AD=BC，DAB=CAB，AB=AB，DABCBA， （6 分）A
23、DO=BCO又DOA=COB，DOACOB（8 分） 点评： 此题考查概率的求法：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A）= ，即相似三角形的证明还考查了相似三角形的判定10附加题：如图ABC 中，D 为 AC 上一点，CD=2DA，BAC=45，BDC=60，CEBD 于 E，连接 AE（1）写出图中所有相等的线段，并加以证明；（2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由；（3）求BEC 与BEA 的面积之比解答： 解：（1）AD=DE，AE=CECEBD，BDC=60，在 RtCED 中，ECD=
24、30CD=2EDCD=2DA，AD=DE，DAE=DEA=30=ECDAE=CE（2）图中有三角形相似，ADEAEC；CAE=CAE，ADE=AEC，ADEAEC；（3）作 AFBD 的延长线于 F，设 AD=DE=x，在 RtCED 中，可得 CE= ，故 AE= ECD=30在 RtAEF 中，AE= ，AED=DAE=30，sinAEF= ，AF=AEsinAEF= 点评： 本题主要考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定及三角形面积的求法等，范围较广11如图，在ABC 中，AB=AC=a，M 为底边 BC 上的任意一点，过点 M 分别作AB、AC 的平行线交 AC 于 P，交 AB 于
25、 Q（1）求四边形 AQMP 的周长；（2）写出图中的两对相似三角形（不需证明） ；（3）M 位于 BC 的什么位置时，四边形 AQMP 为菱形并证明你的结论解答： 解：（1）ABMP，QMAC，四边形 APMQ 是平行四边形，B=PMC，C=QMBAB=AC， B=C，PMC=QMBBQ=QM，PM=PC四边形 AQMP 的周长=AQ+AP+QM+MP=AQ+QB+AP+PC=AB+AC=2a（2）PMAB，PCMACB，QMAC，BMQBCA；（3）当点 M 中 BC 的中点时，四边形 APMQ 是菱形，点 M 是 BC 的中点，ABMP，QMAC，8QM，PM 是三角形 ABC 的中位线
26、AB=AC，QM=PM= AB= AC又由（1）知四边形 APMQ 是平行四边形，平行四边形 APMQ 是菱形12已知：P 是正方形 ABCD 的边 BC 上的点，且 BP=3PC，M 是 CD 的中点，试说明：ADMMCP解答： 证明：正方形 ABCD，M 为 CD 中点，CM=MD= ADBP=3PC，PC= BC= AD= CM PCM=ADM=90，MCPADM13如图，已知梯形 ABCD 中，ADBC，AD=2，AB=BC=8，CD=10（1）求梯形 ABCD 的面积 S；（2）动点 P 从点 B 出发，以 1cm/s 的速度，沿 BADC 方向，向点 C 运动；动点 Q 从点 C
27、出发，以 1cm/s 的速度，沿 CDA 方向，向点 A 运动，过点 Q 作QEBC 于点 E若 P、Q 两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为 t 秒问：当点 P 在 BA 上运动时，是否存在这样的 t，使得直线 PQ 将梯形 ABCD 的周长平分？若存在，请求出 t 的值；若不存在，请说明理由；在运动过程中，是否存在这样的 t，使得以 P、A、D 为顶点的三角形与CQE 相似？若存在，请求出所有符合条件的 t 的值；若不存在，请说明理由；在运动过程中，是否存在这样的 t，使得以 P、D、Q 为顶点的三角形恰好是以 DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条
28、件的 t 的值；若不存在，请说明理由解答： 解：（1）过 D 作 DHAB 交 BC 于 H 点，ADBH，DHAB，四边形 ABHD 是平行四边形DH=AB=8；BH=AD=2CH=82=6CD=10，DH 2+CH2=CD2DHC=90B=DHC=90梯形 ABCD 是直角梯形S ABCD= （AD+BC）AB= （2+8）8=40（2）BP=CQ=t，AP=8t，DQ=10t，AP+AD+DQ=PB+BC+CQ，8t+2+10t=t+8+tt=38当 t=3 秒时，PQ 将梯形 ABCD 周长平分第一种情况：0t8 若PADQEC 则ADP=CtanADP=tanC= = = ，t=若P
29、ADCEQ 则APD=C tanAPD=tanC= = ， =t=第二种情况：8t10，P、A、D 三点不能组成三角形；第三种情况：10t12ADP 为钝角三角形与 RtCQE 不相似；t= 或 t= 时，PAD 与CQE 相似第一种情况：当 0t8 时过 Q 点作 QEBC，QHAB，垂足为 E、HAP=8t，AD=2，PD= = CE= t，QE= t，QH=BE=8 t，BH=QE= t9PH=t t= tPQ= = ，DQ=10t：DQ=DP，10t= ，解得 t=8 秒：DQ=PQ，10t= ，化简得：3t 252t+180=0解得：t= ，t= 8（不合题意舍去）t=第二种情况：8
30、t10 时DP=DQ=10t当 8t10 时，以 DQ 为腰的等腰DPQ 恒成立第三种情况：10t12 时DP=DQ=t10当 10t12 时，以 DQ 为腰的等腰DPQ 恒成立综上所述，t= 或 8t10 或 10t12 时，以 DQ 为腰的等腰DPQ 成立14已知矩形 ABCD，长 BC=12cm，宽 AB=8cm，P、Q 分别是 AB、BC 上运动的两点若 P 自点 A 出发，以 1cm/s 的速度沿 AB 方向运动，同时，Q 自点 B 出发以2cm/s 的速度沿 BC 方向运动，问经过几秒，以 P、B、Q 为顶点的三角形与BDC 相似？解答： 解：设经 x 秒后，PBQBCD，由于PB
31、Q=BCD=90，（1）当1=2 时，有： ，即 ；（2）当1=3 时，有： ，即 ，经过 秒或 2 秒，PBQBCD15如图，在ABC 中，AB=10cm，BC=20cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向 B 点以2cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 4cm/s 的速度移动，如果P、Q 分别从 A、B 同时出发，问经过几秒钟，PBQ 与ABC 相似解答：解：设经过秒后 t 秒后，PBQ 与ABC 相似，则有 AP=2t，BQ=4t，BP=102t，当PBQABC 时，有 BP：AB=BQ：BC，即（102t）：10=4t：20，解得 t=2.5（s） （
32、6 分）当QBPABC 时，有 BQ：AB=BP：BC，即 4t：10=（102t）：20，解得 t=1所以，经过 2.5s 或 1s 时，PBQ 与ABC 相似（10 分） 解法二：设 ts 后，PBQ 与ABC 相似，则有，AP=2t，BQ=4t，BP=102t分两种情况：10（1）当 BP 与 AB 对应时，有 = ，即 = ，解得 t=2.5s（2）当 BP 与 BC 对应时，有 = ，即 = ，解得 t=1s所以经过 1s 或 2.5s 时，以 P、B、Q 三点为顶点的三角形与ABC 相似16如图，ACB=ADC=90，AC= ，AD=2问当 AB 的长为多少时，这两个直角三角形相似
33、解答： 解：AC= ，AD=2，CD= = 要使这两个直角三角形相似，有两种情况：（1） 当 RtABCRtACD 时，（2） 有 = ，AB= =3；（3） 当 RtACBRtCDA 时，（4） 有 = ，AB= =3 故当 AB 的长为 3 或 3 时，这两个直角三角形相似17已知，如图，在边长为 a 的正方形 ABCD 中，M 是 AD 的中点，能否在边 AB 上找一点 N（不含 A、B） ，使得CDM 与MAN 相似？若能，请给出证明，若不能，请说明理由解答： 证明：分两种情况讨论：若CDMMAN，则 = 边长为 a，M 是 AD 的中点，AN= a若CDMNAM，则 边长为 a，M
34、是 AD 的中点，AN=a，即 N 点与 B 重合，不合题意所以，能在边 AB 上找一点 N（不含 A、B） ，使得CDM 与MAN 相似当 AN=a 时，N 点的位置满足条件18如图在ABC 中，C=90，BC=8cm，AC=6cm，点 Q 从 B 出发，沿 BC 方向以2cm/s 的速度移动，点 P 从 C 出发，沿 CA 方向以 1cm/s 的速度移动若 Q、P 分别同时从 B、C 出发，试探究经过多少秒后，以点 C、P、Q 为顶点的三角形与CBA 相似？解答： 解：设经过 x 秒后，两三角形相似，则 CQ=（82x）cm，CP=xcm， （1 分）C=C=90，当 或 时，两三角形相似
35、 （3 分）（1）当 时， ，x= ；（4 分）（2）当 时， ，x= （5 分）所以，经过 秒或 秒后，两三角形相似 （6 分）点评： 本题综合考查了路程问题，相似三角形的性质及一元一次方程的解法19如图所示，梯形 ABCD 中，ADBC，A=90，AB=7，AD=2，BC=3，试在腰 AB上确定点 P 的位置，使得以 P，A，D 为顶点的三角形与以 P，B，C 为顶点的三角形相似解答： 解：（1）若点 A，P，D 分别与点 B，C，P 对应，即APDBCP， = ， = ，AP 27AP+6=0，AP=1 或 AP=6，检测：当 AP=1 时，由 BC=3，AD=2，BP=6， = ，又A=B=90，APDBCP当 AP=6 时，由 BC=3，AD=2，BP=1，又A=B=90，APDBCP（2）若点 A，P，D 分别与点 B，P，C 对应，即APDBPC = ， = ，AP=
