1、本科毕业设计（20届）近五年高考数学数列试题的研究所在学院专业班级数学与应用数学学生姓名学号指导教师职称完成日期年月I摘要【摘要】数列在中学数学中有着非常重要的地位，它衔接了初等数学和高等数学，是高考数学每年必考的重要内容。主要内容涉及到数列概念、等差数列和等比数列通项及求和、数学归纳法和数列极限等；它渗透了函数和方程、分类讨论、归纳等重要的数学思想。本文通过收集近五年全国各地的数学高考题中的数列考题，同时查阅相关资料与文献，分类归纳数列考题中包含的函数、方程、归纳、数形结合、分类讨论、化归与转化等思想方法，并对其进行分析。在此基础上提出若干相应的复习建议。【关键词】高考；数列；思想方法；建议
2、ABSTRACT【ABSTRACT】SEQUENCEINTHEMIDDLESCHOOLMATHEMATICSPLAYSAVERYIMPORTANTPOSITIONITLINKSELEMENTARYMATHEMATICSANDADVANCEDMATHEMATICSITISTHEIMPORTANTCONTENTINMATHEMATICSTESTOFCOLLEGEENTRANCEEXAMINATIONOFEACHYEARITSMAINCONTENTINVOLVESSEQUENCECONCEPT,ARITHMETICPROGRESSION,GEOMETRICPROGRESSIONANDTHEIRGEN
3、ERALTERMFORMULAANDSUMMATION,MATHEMATICALINDUCTIONANDSEQUENCELIMITETCITINFILTRATESTHEMATHEMATICALTHOUGHTABOUTFUNCTIONANDEQUATION,CLASSIFICATIONDISCUSSIONANDINDUCTIONINTHISTHESIS,THEAUTHORCOLLECTSTHESEQUENCEQUESTIONSANDMATERIALINTHEUNIVERSITYENTRANCEEXAMALLOVERTHECOUNTRYNEARLYFIVEYEARS,THENCLASSIFIESA
4、NDANALYSESTHETHOUGHTMETHODABOUTFUNCTION,EQUATION,CONCLUDEANDNUMERALFORMCOMBINATION,CLASSIFICATIONDISCUSSION,REDUCTIONANDTRANSFORMATIONATLAST,THEAUTHORPUTSFORWARDSOMECORRESPONDINGPROPOSEDREVIEW【KEYWORDS】COLLEGEENTRANCEEXAMINATIONSEQUENCEMETHODOFTHINKINGSUGGESTIONII目录摘要IABSTRACTI目录II1引言111研究背景112研究目的及
5、意义2121研究目的2122研究意义213研究方法和内容2131研究方法2132研究内容22高考中的基本数列421等差与等比数列4211等差数列4212等比数列5213典型例题722递推数列9221线性递推数列9222非线性递推数列113高考中数列问题所涉及的思想方法1431函数思想1432数形结合思想1633方程思想1734归纳思想1835分类讨论思想2036化归与转化思想234复习建议25参考文献26致谢错误未定义书签。附录错误未定义书签。11引言11研究背景数列既是高中代数的重要内容，又是学生进一步学习高等数学的基础。作为一种特殊的函数，数列通过反映自然规律而成为了一种基本的数学模型，涉
6、及的数学思想与方法主要有转化与化归思想、分类讨论的思想、数形结合的思想、函数与方程思想等。数列能够培养学生的数学逻辑思维能力、建模能力、运算能力、分析问题和解决问题的能力以及推理论证能力，是学生进一步学习数学的基础知识和重要工具。教育部2003年公布的普通高中数学课程标准（实验）中关于数列的安排是必修5中通过对日常生活中大量实际问题的分析，建立等差数列和等比数列这两种数列模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受两种数列模型的广泛应用，并利用它们解决一些实际问题。数列是高考数学的主要考查内容之一，在高考中有着极其重要的地位，试题难度分布幅度大，既有容易的基本题和难度适中的小综合题，也有综合性
7、较强对能力要求较高的难题。近几年的高考卷中，各省的考卷常见的都含有一道选择或填空题，外加一道解答题。解答题多为考查综合能力的试题，把数列知识和指数函数、对数函数和不等式等的知识综合起来，其中探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现，着重考查考生的思维能力，解决问题的能力。（1）数列问题在数学高考题中所占的比重及题型形式。综合分析各省近几年高考数学试题，数列都占有非常重要的地位，一般情况下都是以一道选择或填空题和一道解答题的形式出现。选择题和填空题主要考查学生对等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前N项和公式等基础知识的掌握程度，此类题目对基本的计算技能要求比较高，具有“小、巧、活、新”的
8、特点。若出现在解答题中，则该题属于中高难度的题目，甚至是压轴题。此类题具有综合性强、难度大、变化多等特点，以等差数列和等比数列内容为主要考查内容，以对数列的本质的知识和推理能力，运算能力以及分析问题和解决问题的能力考查为主（2）数列问题的命题特点。第一，问题贴近基础，注重对理解能力和推理运算能力的考查。虽然以数列为背景的试题有易也有难，但往往是贴近数列的基础知识（包括等差、等比、通项、求和等相关的概念和性质），基本的要求即考察学生的理解能力和推理运算能力。透彻的理解数列的相关概念，恰当的运用相关性质和公式是解答好数列问题的首要条件和基础，也是正确理解题意的前提；第二，问题形式多变，注重对观察分
9、析能力和数学思维能力的考查。数列试题的形式与形态多式多样，不拘一格。无论是题设的给出，还是问题的提法，甚至是对求解的要求，都常常打破常规，常常有创新的2试题出现；最后，是以数列为引线编制的综合性强、内涵丰富的试题，此类题目能深入的考查学生的综合素质。通常，对数列的定义即数列是按一定顺序排列好的一列数。理解为以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数，因此能够引发数列问题的背景材料非常丰富，可以是在实际方面的应用，也可以是各种数学研究对象（如函数、集合、几何图形等）。同时，围绕给定的数列也能够提出许多数学问题，这些问题除了数列自身各种性质外，还会有大量的外延性的问题，如函数、不等式、方程、三角、
10、几何性质之类的问题。数列与其它的知识存在的大量的联系使得它有着广泛的应用，这就要求学生同时关注各板块知识之间的联系，注重综合能力的培养。纵观近几年全国各地高考试题，发现高考数列试题具有贴近基础、模式多变、综合性强等特点，只有在平时的学习中做到夯实基础、抓住特征、掌握联系，才能在高考中取得好成绩12研究目的及意义121研究目的许多优秀的数学教师以及教材编写者编写有一些针对高考数学复习辅导的资料，但单独地谈及数列问题的较少。有的参考资料也有涉及到，但是对解决数列问题的思想方法研究得还不够充分，对数列高考试题的研究缺乏整体性、缺乏相关研究。此外，一些网站上对这方面的介绍和研究也缺乏全面性。本文就是针
11、对这方面，在前人研究的基础上，结合自身的学习和实践，对高考以及高考中的数列问题、历年高考的数列问题以及解决此类问题的不同思想方法进行分类总结，并在此基础上提出若干相应的复习建议。122研究意义数列问题在高考数学中占有重要地位，对其进行研究，将极大地丰富高考数学的内容，有助于推动高考数学的发展。对于数学教师来说，可以丰富他们的教学内容，他们可以将研究成果用来指导学生进行相应复习；对于学生来说，可以让他们全面的了解数列问题的特点以及解决各类数列问题的思想方法，提高他们的解题能力；甚至对于命题者来说，这些成果也可以给他们进行命题提供一定的帮助。13研究方法和内容131研究方法本文采用文献分析法和实证
12、分析法，收集近五年全国各地的数学高考题中的数列考题，同时查阅相关资料与文献，分类归纳数列考题中包含的函数、方程、归纳、数形结合、分类讨论、化归与转化等思想方法，并对其进行分析。132研究内容本文将主要围绕以下几个方面的内容展开研究31研究高考以及高考中基本的数列等差与等比数列以及各种类型的递推数列；2对历年高考的数列问题以及解决此类问题的不同思想方法进行归纳总结；3结合以上研究，提出若干相应的复习建议。本章小结本章通过对研究背景的分析，阐述了对高考中数列问题进行研究的必要性，提出了研究目的和意义，明确了研究的内容。42高考中的基本数列21等差与等比数列数列是一种特殊的函数，也是能反映自然规律的
13、基本数学模型。在高中阶段，学生通过分析日常生活中大量实际问题，继而建立等差数列和等比数列这两种数列模型，从而探索并掌握它们的一些基本数量关系，同时感受这两种数列模型的广泛应用，并在此基础上利用它们解决一些实际问题。等差数列与等比数列是高考的热点，在数学高考的数列问题中占着很大的比重。这两种特殊的数列通常是设计数列综合题的“生长点”和“中途点”，是学生解答相关综合题的“突破点”，而且各个省的数列高考题的“关键点”都在于向某个特殊数列的转化和过渡。等差与等比数列往往是研究数列问题的基础，是解答高考数列问题的铺路石，自然也是高考数学研究的重点。211等差数列数列NA满足DAANN1（其中D是常数），
14、则这个数列叫做等差数列，D叫做公差。若等差数列NA的首项是1A，公差为D，则NA的通项公式为11NAANDNN，而对于任意的,MNN，有NMAANMD；若等差数列NA的前N项和为NS，则112NNNDSNA或12NNNAAS。等差数列具有以下重要的性质（1）若,MNPQN，且MNPQ，则MNPQAAAA。当2MPQ时则有2MPQAAA。（2）若NA，NB是等差数列，公差分别为12,DD，则,NNNNPAAPAB也是等差数列，公差分别为1112,PDDDD。（3）若数列NA是等差数列，且正整数L，M，P也成等差数列，则,LMPAAA也成等差数列。（4）若等差数列NA的前N项和为NS，则232,N
15、NNNNSSSSS也成等差数列。（5）当D0时，数列NA是递增数列；当D1时，1211NNNASSN，所以有211NAN。由2211NNANN可得该式为关于N的二次函数，其对称轴114X，满足11234，又232282214,31833152AAA，所以NNA中3A最小，即数列NNA数值最小的项是第3项。评注本例的已知条件中2101,2,3,NSNNN，观察发现该数列是等差数列，从此特点入手求通项公式亦可。对于求NNA中的最小值，注意N的取值范围，取函数2211FXXX的对称轴114X最近的两个正整数值为N值求出NS，从中取大。例4已知等比数列NA中21A，则其前3项的和3S的取值范围是_。2
16、008年四川卷分析解答设等比数列NA的公比为0QQ，由21A得232211ASAAQQQQ，由函数10FXXXX的性质，当X0时，2FX，当X0时，2FX，当1122XFX和时，分别取和，因此3S的取值范围是（，13,，其中当且仅当1Q时，331S和。评注本例的解题思路是先通过2A和Q来表示出3S，使3S表示成为关于Q的函数，再根据函数10FXXXX的图象和性质来得出3S的取值范围。此处也可以使用均值不等式来得到，两种方法都是学生平时熟悉的。32数形结合思想数列是一种特殊的函数，数列的通项公式以及前N项和公式可以看作关于正整数N的函数。用数形结合的思想研究数列问题是借助函数的图象进行直观分析，
17、从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决。在上述函数思想一节内容中的例题都用到了数形结合思想，通过研究构造的函数的图象来获得其单调性，从而求得与数列相关问题的最值。特别是等差数列的通项公式可以看成是N的一次函数，而其求和公式可以看成是常数项为零的二次函数，求某一项或者求和的最大最小值时问题就17转化成求函数的最大最小值，只是定义域为正整数。所以，函数思想、数形结合思想往往在解决数列各类问题中相结合使用，通过建立函数模型并结合函数图象来解决数列问题相当常见。33方程思想方程思想就是从问题的数量关系入手，使用数学语言将问题中的条件化为相关的数学模型（方程、不等式或方程与不等式的结合等），然后
18、通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。当然，有些情况会实现函数与方程的互相转化。等差、等比数列一般涉及五个基本量1,NNAANSDQ或。于是“知三求二”成为等差、等比数列中的基本问题，可运用方程思想，通过解方程（组）求解。例5设等差数列NA的前N项和为NS，若6312AS，则2LIM_NNSN。（2009年陕西卷）分析解答由题意得111512233122ADAADD，所以21222NNNSNNN，222LIMLIM1NNNSNNNN。评注本例考查等差数列的通项与求和，考查数列极限的求解，运用待定系数法构建方程组确定通项及求和是求解的关键。根据等差数列基本量的关系，先求NS的表达式，再求2
19、LIMNNSN的值。例6设NA是公差不为零的等差数列，NS为其前N项和，满足22222345AAAA，77S，（I）求数列NA的通项公式及前N项和NS。（2009年江苏卷）分析解答由题意，设等差数列NA的通项公式11,0NAANDD，由22222345AAAA知1250AD，又因为77S，所以131AD，联立1112505312ADAADD，所以数列NA的通项公式27NAN，2162NNNAASNN。例7等差数列NA各项均为正整数，13A，前N项和为NS，等比数列NB中，11B，且2264BS，NAB是公比为64的等比数列，（I）求NA和NB。（2008年江西卷）分析解答设NA的公差为D，NB
20、的公比为Q，则D为正整数，131,NNNANDBQ，依题意有131631122642664NNNDADNDABQQBQSBDQ,由664DQ知Q为正有理数，又有62DQ知，D为618的因子1,2,3,6之一，解方程得2,8DQ，故132121,8NNNANNB。例8设1,AD为实数，首项为1A，公差为D的等差数列NA的前N项和为NS，满足56150SS，则D的取值范围是_。（2010年浙江卷）分析解答据已知56150SS，可得11510615150ADAD，整理得2211291010AADD，将等式视为关于1A的方程，则方程满足有解，故有22981010DD，解得2222DD或。评注本例考查等
21、差数列前N项和公式及方程思想应用。34归纳思想归纳思想也是解决数列问题的重要思想之一，是从特殊到一般的思维方法。通过分析有关数据和资料来建立数学模型，进而探索并发现数学问题中蕴含的规律。通过从特殊到一般的推理（即归纳）过程在解决数列问题中表现的尤为突出。例9在数列NA中，1112,22NNNNAAANN，其中0，（I）求数列NA的通项公式。（2007年天津卷）分析解答由已知计算得22222222A，同理33322A，44432A，由此猜想出数列NA的通项公式为12NNNAN。以下用数学归纳法证明（1）当N1时，12A，等式成立。（2）假设当NK时等式成立，即12KKKAK，那么，1111112
22、21222112KKKKKKKKKKKAAKK也就是说，当NK1时等式也成立。根据（1）和（2）可知，等式12NNNAN对任何NN都成立。评注本例在上一章中提到过，NA是一阶递推数列，也可以通过等号两边同时除以1N之后得到式子11221NNNAA，再令111NNNAB进行解答。例10在数列NA与NB中，111,4AB，数列NA的前N项和NS满足130NNNSNS，12NA为NB与1NB的等比中项，NNI求22,AB的值；（II）求数列NA与NB的通项公式。（2008年天津卷）19分析解答I由题设有1211140,1,4AAAAB，及223,9AB，进一步可得33446,16,10,25ABAB
23、，猜想21,1,2NNNNABNNN先证12NNNA，NN，当N1时，11112A，等式成立当2N时用数学归纳法证明如下（1）当N2时，22212A，等式成立（2）假设当NK时等式成立，即1,22KKKAK，由题设，13KKKSKS，112KKKSKS,的两边分别减去的两边，整理得12KKKAKA，从而122111122KKKKKKKKAAKK，这就是说，当NK1时等式也成立根据（1）和（2）可知等式12NNNA对任何的NN都成立综上所述，等式12NNNA对任何的NN都成立再用数学归纳法证明21,NBNNN。（1）当N1时，2111B，等式成立。（2）假设当NK时等式成立，即21KBK，那么2
24、222112412111KKKAKKBKBK，这就是说当NK1时等式成立。根据（1）和（2）可知，等式21NBN对任何的NN都成立。评注遇到不能直接得到数列通项公式时，可以使用数学归纳法得到通项，关键是在证明过程中合理巧妙地运用已知条件中的关系式。例11已知数列NX满足1111,21NNXXXNX。（I）猜想数列2NX的单调性，并证明你的结论。（2009年陕西卷）分析解答由112X及111NNXX得2462513,3821XXX，由246XXX猜想数列2NX是递减数列，下面用数学归纳法证明（1）当N1时，已证命题成立。（2）假设当NK时命题成立，即222KKXX，易知0NX，那么有232122
25、2222421232123221222311011111111KKKKNKKKKKKKKKXXXXXXXXXXXXXX，即21212KKXX，也就是说当NK1时命题成立，结合（1）和（2）知，命题成立。评注本例是通过数学归纳法来证明数列的性质，经历了计算、观察、归纳、猜想以及证明等几个过程，体现了归纳思想在解决数列问题中的重要性。20例12将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图1所示的01三角数表。从上往下数，第1次全行的数都为1的是第一行，第2此全行的数都为1的是第三行，第N次全行的数都为1的是第_行；第61行中1的个数是_。2007年湖南卷111234015第行第行101第行111
26、1第行100第行110011分析解答第1行，全是1，第1次；第3行，全是1，第2次；第7行，全是1，第3次，猜想第N次出现1是第21N行，由前面的猜想知N6时，即第6次出现全是1时是第63行。6110011621010101321631111111641第行1第行共个，,31个0第行1共个，第61行中，共有64个数，则第61行中0的个数是622302，则1的个数为32个。评注数列图形题在高考中经常出现在选择填空题中，考查学生观察、猜想和归纳的思想，本例要求学生注重观察图形和出现1、0的规律，在总结规律的基础上进行解答。35分类讨论思想分类讨论思想是根据问题的实际需要按一定标准将所研究的对象分成
27、若干种不同的情况，把复杂的问题分解成若干个小问题并逐一解决的思想方法。分类讨论能使问题变得简单、清晰、明朗。在解决数列问题时，分类讨论的思想尤为重要，包括对特殊数列的通项公式和前N项和的讨论。如由NS求NA，要对N1和N1讨论；在等比数列求和时，若公比Q没有明确给出，需要分和讨论；在数列求和中有时需要进行奇偶分析讨论,有些数列的通项公式是分段表示，解题过程需要讨论；在数列解题中有时根据过程需要进行讨论例13已知数列NA和NB满足112,4,13213NNNNNAAANBAN，其中为实数，N为正整数。（II）试判断数列NB是否为等比数列，并证明你的结论。（2008年湖北卷）分析解答因为11112
28、1312112143NNNNNBANAN，即得122132133NNNNBANB，又118B，所以当18时，0NBNN，21此时NB不是等比数列；当18时1180B，由上可知0NB，所以123NNBNNB。故当18时，数列NB是以18为首项，23为公比的等比数列。评注等比数列NA中0,0NQANN，因此在本例中要讨论的取值情况来判断数列NB是否为等比数列。例14（I）设12,NAAA是各项均不为零的4NN项等差数列，且公差0D。若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来顺序）是等比数列，（I）当N4时，求1AD的数值；（II求N的所有可能值。（2008年江苏卷）分析解答首先证明一个“基本事实”一
29、个等差数列中，若有连续三项成等比数列，则这个数列的公差00D。事实上，设这个数列中的连续三项00,ADAAD成等比数列，则200AADAD，由此得00D。（I）当N4时，由于数列的公差0D，故由“基本事实”推知，删去的项只可能为2A或3A。若删去2A，则由134,AAA成等比数列，得211123ADAAD，因0D，故由上式得14AD，即14AD，此时数列为4,3,2,DDDD，满足题设。若删去3A，则由124,AAA成等比数列，得21113ADAAD，因0D，故由上式得1AD，即11AD，此时数列为,2,3,4DDDD满足题设。综上所述，1AD的值为4或1（II）若6N，则从满足题设的数列12
30、,NAAA中删去一项后得到的数列，必有原数列中的连续三项，从而这三项既成等差数列又成等比数列，故由“基本事实”知，数列12,NAAA的公差必为0，这与题设矛盾。所以满足题设的数列的项数5N。又因题设4N，故N4或5当N4时，由（I）中的讨论知存在满足题设的数列。当N5时，若存在满足题设的数列12345,AAAAA，则由“基本事实”知删去的项只能是3A，从而1245,AAAA成等比数列，故有221111113,34ADAADADADAD，分别化简上述两个等式，得21ADD及215ADD，故0D，矛盾。因此，不存在满足题设的项数为5的等差数列。综上所述N只能为422评注本例考查学生的等差、等比数列
31、的相关概念和性质，以及运用分类讨论的思想进行探索、分析论证的能力。在解题过程中通过对N的取值及删去项NA的讨论来判断此时的数列是否满足题意。例15在数列NA与NB中，111,4AB，数列NA的前N项和NS满足130NNNSNS，12NA为NB与1NB的等比中项，NNI求22,AB的值；（II）求数列NA与NB的通项公式；（III）设1212111,NAAANNTBBBNN。证明22,3NTNN。（2008年天津卷）分析解答在例10中通过数学归纳法得到了NA和NB的通项公式，21,1,2NNNNABNNN，（III）由1212111,NAAANNTBBBNN得到122222311NNNTN当4,
32、NKNN时，2222222223454241441NTKKKK，注意到22224241441324KKKKK，故22321244343NTKKKKNN。当41,NKNN时，2243441NTKKKN当42,NKNN时，222243441433NTKKKKNN当43,NKNN时，223441413NTKKKN，所以有223,43,3342,41,34,NNNKNNNKTKNNNKNNNK从而3N时有222132,5,9,13,33126,10,14,123,7,11,3124,8,12,NNNNNTNNNNNNN总之，当3N时有22NTN，即22NTN。评注本例在卷中压轴，在求出两个数列通项公式
33、后，第三小题中的NT是这两个数列以某种形式结合成一列特殊数列后进行求和。由于NT表达式的特殊性，要求对N分四类进行讨论。2336化归与转化思想在处理数列问题时，常常将待解决的问题通过转化化归成为一类我们熟悉的问题来解决。特别是解决等差（等比）数列问题，都可以归结为探究首项和公差（比）问题；非等差、等比数列的问题常通过构造辅助数列转化为等差或等比数列求解；有些数列的求和问题、应用题通常也会转化为等差、等比数列问题来解决。通过学习两个基本数列，从而在化归与转化过程中掌握更多的数列，这是数列学习的隐性目标。例16等差数列NA的前N项和为NS，1312,932AS。（I）求数列NA的通项NA与前N项和
34、NS；（II）设NNSBNNN，求证数列NB中任意不同的三项都不可能成为等比数列。（2007年福建卷）分析解答（I）由已知得1112,33932AAD，所以D2，故212,2NNANSNN。（II）由（I）得2NNSBNN。假设数列NB中存在三项,PQRBBB（P，Q，R互不相等）成等比数列，则2QRPBBB，即2222QPR，所以2220QPRQPR，因为,PQRN，所以2020QPRQPR，即22,02PRPRPR，PR，与PR矛盾。所以数列NB中任意不同的三项都不可能成等比数列。评注本例考查化归的数学思想方法，化未知为已知，假设题设成立的前提下来导出矛盾，进而得出结论。在无法直接证明结论
35、时，先假设数列NB中的不同的三项能成为等比数列，此时将问题转化为常规的等比数列题，根据等比数列的性质导出矛盾，化繁为简，化难为易。例17在数列NA中，11111,12NNNNAAAN。（I）设NNABN，求数列NB的通项公式；（II）求数列NA的前N项和NS。2009年全国卷分析解答（I）由已知得111BA，且1112NNNAA，即112NNNBB，从而叠加得12111111222222NNNBBN，又11B，故所求通项公式1122NNB。（II）由（I）知1112222NNNNANN，令112NNKKKT，则2122NNKKKT，于是24111101224222NNNNKNNKNNTTT，又
36、121NKKNN，所以12142NNNSNN。评注本例第1小题通过将已知的等式进行转化，得到NB的一个递推关系式，从而为求NB的通项公式服务。在第2小题中，通过求NT进而求NS，在求NT时用到了“错位相减法”，化繁为简，方便计算。例18数列NA的前N项和为NS，若11NANN，则5S等于_。（2007年福建卷）分析解答因为11111NANNNN，所以5123451111111111151122334455666SAAAAA。评注本例通过“裂项相消法”话难为易。例19已知曲线22201,2,NCXNXYN，从点1,0P向曲线NC引斜率为0NNKK的切线NL，切点为,NNNPXY。（I）求数列NX
37、与NY的通项公式。（2009年广东卷）分析解答（I）直线NL的方程为1,0NNYKXK，代入曲线NC的方程得2222120NNNKXNKXK，因为NL与NC相切，则方程有等根NX，021NNKN，所以解得1NNXN，211NNNYN。评注本例要求的是数列NX与NY的通项公式，由已知条件将其转化为求两条曲线NL与NC的切点坐标，进而从相切的特殊关系出发，又转化为通过解方程得到切点横坐标。数列、曲线的切线与方程相结合，一步步转化，一步步化难。254复习建议数列是高中数学重点内容之一，是初等数学与高等数学的重要衔接点，由于它既具有函数特征，又能构成独特的递推关系，使得它既与高中数学其他部分的知识有着
38、密切的联系，又有自己鲜明的特点。而且具有内容的丰富性、应用的广泛性和思想方法的多样性，因此数列一直是高考考查的重点和热点。高考对数列的考试要求包括（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，能根据数列的递推公式写出数列的前几项或证明其他一些性质。（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前N项和公式，并能解决简单的实际问题。（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前N项和公式，并能解决简单的实际问题。纵观各省近几年高考数学试题，数列都占有相当重要的地位，填空题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前N项和公式等内容，对基本的计算技能
39、要求比较高，具有“小、巧、活、新”的特点，解答题属于中高档难度的题目，甚至是压轴题具有综合性强、变化多、难度较大特点，重点以等差数列和等比数列内容为主，考查数列内在的本质的知识和推理能力，运算能力以及分析问题和解决问题的能力。以下就从复习的重点、热点、疑点、难点四个方面说明针对数列的几点复习建议。一、重点等差数列与等比数列的基础知识等差数列与等比数列是学生最先学习和熟悉的两个基本数列，它们是一切数列问题的出发点和归宿，其产生、演变与深化的过程中蕴藏着丰富的数学思想方法，复习过程中要重视其产生的过程。等差数列与等比数列包含5个基本量，在求通项公式及求和的时候“知三求二”是重要的思想方法，凡涉及等
40、差或等比的数学问题，都可以转化为首项与公差或公比之间的关系，最终解决问题。此方法也是方程思想的体现，除此之外，函数思想在解决等差等比数列中也应用的非常广泛。因此，在复习中可以通过加大等差、等比数列的概念以及通项公式、求和公式的回顾来加深对数列基础知识的掌握，加深对函数方程思想的理解。二、热点数列求和与求通项在学习了等差、等比这两个基本数列后，通过化归与转化让学生认识到了更多类型的数列。数列求和与数列求通项在考试中最能体现学生对知识的应用能力，于是求数列的通项和求和便成了高考数列的热点。因此，在复习过程中要注意各种类型的数列以及它们的求和求通项方法。对于数列求和，等差、等比数列已经有了相应的公式
41、，可以根据公式和已知条件直接得到。但是假如所给的数列不是以上两个数列，则需要寻找间接求和的方法。一般来说，我们运用化归与转化思想，将未知化为已知是解题的原则。如果遇到通项公式为分式时，可以考虑使用“裂项相消法”；当数26列为等差、等比数列相对应的项的乘积时，可以使用“错位相减法”。类似的，对于求通项，最常见的便是运用公式1NNNASS来得到。假如无法直接写出其通项公式，可以使用数学归纳法来证明。经历观察、猜想、证明等几个过程来确定其通项公式。当然，还有一种方法是观察其拆分数列，运用叠加或迭代法来求通项。总之，在解数列求和与通项类型题时，观察显得尤为重要，选择正确的方法可以做到事半功倍的效果。三
42、、疑点和项与通项之间的递推关系在高考题中有一类很常见的题型，即根据所给的已知条件来求数列的通项公式，而所给的条件是关于N1NNASS和，或者等的关系式。此类问题是学生学习的疑点，往往未能掌握解决此类问题的一般方法。除此之外，在运用公式的过程中，学生往往不重视N值的取值范围的变化，使求解不够严谨。针对以上两个方面存在的问题进行复习时，首先要让学生掌握解决这类问题的一般思维方法，也就是对公式1NNNASS（N2）的合理应用；另一方面，在解题时强调变换过程中N值得取值。四、难点高考中的数列问题，除了考查学生对数列本身知识的掌握程度之外，另一种形式便是结合函数或者不等式等其他内容出现在最后一题。其中，
43、尤其和不等式的结合最多最难，这部分的内容出现在高考压轴题中时，学生往往会感到害怕甚至无从下手。因此，在复习过程中更应该对这部分内容进行突破。不仅要牢固掌握数列知识，更要掌握不等式的解法。总之，在复习数列过程中要突出两条主线基础知识和思想方法要以等差数列、等比数列两个主干知识为载体，以通项公式和求和公式为主渠道，用好数列中基本量的关系，灵活运用等差（比）数列的性质，将最基本的解题方法训练好，注重在两个重要数列内在的知识体系中挖潜，还数列的本来面目重视数列与函数的联系，以及方程思想在数列中的应用，通过分析典型例题和习题，加强数列与其他知识点结合的综合性问题、探索性问题、应用性问题的训练，提高运算能
44、力、转化能力、探究能力、思辨能力以及分析问题与解决问题的能力，做到掌握重点，关注热点，化解疑点，突破难点。参考文献1波利亚涂泓,冯承天译怎样解题M上海上海科技教育出版社,20026272德A恩格尔舒五昌,冯志刚译解决问题的策略M上海上海教育出版社,200513教育部普通高中数学课程标准M北京人民教育出版社，200344陈本平递推数列求通项J数理天地，200835赖呈杰，林景芳对一类数列不等式的解答的反思J中学数学月刊，200826王弟成求解数列不等式的常用方法J数理化学习，200827杨剑探讨分式递推关系数列通项公式求法J中学教育，2007148沈杰有关等差数列的两个性质J数学通讯，20071
45、29瞻立波，陈龙等差数列与等比数列J数学通讯，20062210朱华伟，符开广等差数列与等比数列J数学通讯，20061711丁志勇等差数列与等比数列J中学数学教学参考，19991212李劲松，徐文兵巧用单调性解决不等式问题J中学生数学，2008213樊友年构造法解数列综合题J中学数学教学参考，2002714肖启明关于线性递推数列的通项公式J宜春学院学报，2003415王广新，冯华常见数列求和不等式的证明策略J中学数学教学，2007216尹友军浅析高考数学中的数列综合问题J数学通讯，2007717BENNETTSETZERARITHMETICPROGRESSIONSINTHEVALUESOFAQUADRATICPOLYNOMIALJROCKYMOUNTAINJMATH,1979218MOLL,VICTORH,MANNA,DANTEVAREMARKABLESEQUENCEOFINTEGERSJEXPOMATH20094
