1、本科毕业设计（20届）均匀磁场中二维各向异性谐振子的波函数和本征值求解所在学院专业班级物理学学生姓名学号指导教师职称完成日期年月I摘要【摘要】我们仅仅用大学本科所学的初等量子力学和相对应的数学物理方法的理论基础，在量子力学领域中解决一个在均匀磁场中二维各向异性的谐振子波函数和本征值的问题。利用分离变换和幺正变换物理理论知识和傅里叶变换的数学理论知识，把均匀磁场中的二维各向异性的谐振子转化为两个独立的一维谐振子。最后应用均匀磁场中二维各向异性谐振子的理论，计算一个它的特例均匀磁场中二维各向同性谐振子的波函数和本征值。【关键词】波函数；本征值；对易关系；幺正变换；哈密顿算符；谐振子。ABSTRAC
2、T【ABSTRACT】WEJUSTUSETHEKNOWLEDGEOFELEMENTARYQUANTUMMECHANICSANDTHEMETHODSOFMATHEMATICALPHYSICSTHEORYTHATWEHAVELEARNEDTOSOLVEEIGENFUNCTIONSANDEIGENVALUESOFTWODIMENSIONALANISOTROPICHARMONICOSCILLATOROFQUANTUMMECHANICSINAUNIFORMMAGNETICFIELDUSINGSEPARATEPHYSICALTRANSFORMATIONANDUNITARYTRANSFORMATIONTHE
3、ORYANDTHEMATHEMATICALTHEORYOFFOURIERTRANSFORMATION,TWODIMENSIONALANISOTROPICHARMONICOSCILLATORCANBESEPARATIONINTWOONEDIMENSIONALINDEPENDENTHARMONICOSCILLATORINTHEUNIFORMMAGNETICFIELDUSINGTHETWODIMENSIONALANISOTROPICHARMONICOSCILLATORTHEORYINAUNIFORMMAGNETICFIELD,WECANCALCULATEONEOFITSSPECIALCASESTWO
4、DIMENSIONALISOTROPICHARMONICOSCILLATOREIGENFUNCTIONSANDEIGENVALUESINAUNIFORMMAGNETICFIELD【KEYWORDS】EIGENFUNCTIONEIGENVALUECOMMUTATIONUNITARYTRANSFORMATIONHAMILTONIANOSCILLATORII目录摘要IABSTRACTI目录II1引言111谐振子的研究状况1111课题研究历史1112未来研究趋势112论文组织方式3121论文的研究路线3122论文的组织结构313课题研究的意义及其目的32量子力学基本理论521薛定谔方程5211波函数5
5、212本征值622算符的运算和变换6221算符的对易关系6222算符的幺正变换7223算符的傅里叶变换723函数8231定义8232性质824无外场下一维谐振子的薛定谔方程的本征值和波函数9241薛定谔方程的变换9242波函数和本征值的精确解103均匀磁场中二维各向异性谐振子的波函数与本征值1131均匀电磁场中定态薛定谔方程11311均匀磁场中三维谐振子的哈密顿算符12312均匀磁场中三维谐振子的薛定谔方程1332哈密顿算符的变换13321哈密顿算符的分离13322哈密顿算符的变换1433本征值的求解2734波函数的求解27341变换后的哈密顿算符的波函数28342傅里叶变换2935原哈密顿算
6、符的波函数的精确解3236典型特例34361应用均匀磁场中二维各向异性谐振子理论34III362精确计算均匀磁场中二维各向同性谐振子的波函数与本征值144总结性分析3741二维与三维谐振子的比较3742各向同性与各向异性的比较3743分析与总结37参考文献39致谢3911引言11谐振子的研究状况谐振子模型是普通物理学中在研究机械振动问题时所涉及的一个最重要物理模型。对于经典力学中的谐振子我们已经非常熟悉，它发展的历史也可以追溯到十七世纪，理论也非常完善。然而对于量子力学中的谐振子模型，那是一个既古老又年轻的模型，说它古老是因为它随着量子力学在19世纪初就一起诞生了至今也有一百多年的历史了对于我
7、们一代人来说是很古老了，但是相对于其他科学它又很年轻比如就说经典物理学那是快几个世纪的时间了。量子力学虽然年轻但是后劲却很足，在它诞生的一百多年里迅速发展，现在几乎所有科学前沿问题都与量子力学有关系，谐振子模型就是一个很好的例子。111课题研究历史关于谐振子的研究的历史，可以追溯到很久很久以前，因为自从19世纪量子力学诞生以后，谐振子模型作为量子力学中几个为数不多的可精确解问题，曾经有人把谐振子模型和氢原子模型比作量子力学的脊梁柱。一维谐振子的能量本征值问题，在历史上首先为HEISENBERG的矩阵力学解决，后来DIRAC用算子代数的方法给出极其简洁漂亮的解。而在同一时期，FOKE对二维谐振子
8、的研究也已经非常可观，几乎可以把它完美的解析出来，写在自己的论文集中发表，这篇论文集在量子物理学上也是堪称经典的论文集。而对于三维谐振子问题的研究，历史上出现了两大方向第一个方向就是在直角坐标系里，利用各种各样的数学物理变换，随之使得三维谐振子就转换为三个一维谐振子的线性叠加，而它的本征波函数的形式就是三个厄米多项式的相乘；第二个方向就是直接在球坐标系里做解答，在球坐标系中本征波函数解得形式就是球谐函数和合流超几何函数乘积的形式。这两种形式在物理意义上是完全等价的，之所以有两种方法是因为它们选择了各自的守恒量完全集，运用不同的数学技巧，就造就了两种不同的形式。在此基础上接下来的几年中，伟大的天
9、才数学家狄拉克发明了一套量子力学中简洁且意义明确的记号狄拉克符号，正是因为狄拉克符号的完整性帮助谐振子理论更加完美，而且还不断有学者对其理论解法进行优化研究，寻找更好的更简单的计算方法，期间确实也出现了大量的好的解法，值得我们学习。112未来研究趋势在量子力学发展的早期，我们所有讨论的问题都是与时间无关的，换句话说就是谐振子的量子态是不随时间变化而变化的，我们在量子力学中称之为定态问题，随之而来要满足薛定谔的方程叫2做定态薛定谔方程。但是随着科学技术的发展，现在很多实际问题都是包含着时间变化的问题，所以从19世纪80年代开始我们研究的重心就逐步转移到含时间演化问题。当然我们的谐振子模型它也有含
10、时间演化的量子态，在这里我们简单介绍一些现在已经比较成熟的一些态演化问题，主要包括高斯波包演化、相干态和压缩态。关于高斯波包的演化，在HAMILTON力学中,相空间是一个基本的概念。量子相空间理论也是一个非常有趣的领域。到目前为止，该理论已经被广泛应用于物理学的各个分支，如WIGNER函数应用于统计力学、核物理、原子和分子物理，特别是量子光学和相对论夸克模型以及最近的量子信息科学。自从1932年WIGNER为了对经典统计力学体系做量子修正而提出的WIGNER函数以来，已有许多工作从两个不同的途径致力于发展量子相空间理论。第一途径是沿着构造WIGNER函数的方法直接利用坐标表象或动量表象中的薛定
11、谔方程的解来构造分布函数；另一个途径是在相空间中定义动量算符和坐标算符，然后建立相应的薛定谔方程。薛定谔研究了时间演化的最小不确定态，谐振子相干态，这是近代物理学中的一个重要概念。把相干态用粒子态N的完备性展开得21|20|NZNZZENN这表明相干态是包含不同量子态的叠加，这些态是相位同步的，它是量子力学中谐振子能够达到的一种特殊量子态，存在于大量的量子力学系统中。相干态展现出的运动性质与经典振子很相似。主要是指以下方面在此状态下,1谐振子的能量平均值与经典振子能理相同2坐标和动量的平均值随时间的演化也与以经典振子完相同3波包不扩散,具有最小的不确定度鉴于相干态有固定特点，人们对相干态理论的
12、研究与应用的兴趣日益浓厚。相干态已被广泛的应用于物理的各个领域。相干态作为电磁场和量子场论的准经典近似情况，是相空间路径积分的基础。KENNARD研究了谐振子的更一般的波包演化，即压缩态。自1970年DSTOLER在国际上首次引入压缩态的概念以来，有关这一领域的研究工作进展就一直十分迅速。1976年，HPYUAN从理论上构造了广义光子湮灭算符的本征态即所谓的双光子相干态,因这种双光子相干态具有压缩效应,故人们又称之为压缩态；这是人类有史以来首次从理论上发现光场具有压缩效应的重大转折性研究成果，它在量子光学研究中起了重大转折作用。312论文组织方式本篇论文目的明确，原理简单，结构清晰，文章的组织
13、方式也简单合理，根据我们所研究的课题的内容，结合我们对课题所用的研究方法，来组织论文的结构。121论文的研究路线我们这篇论文的研究路线灵魂，简单的就一句话把未知的问题转化为已知的模型来解决，把不能直接求解的形式转换为可求解的形式，而本篇论文的研究方法也很明确，就是两个字转换。首先，课题是以均匀磁场中三维各向异性的谐振子的波函数和本征值的求解的问题来引出的，该问题隶属于量子力学的问题，所以我们先回顾一下量子力学的一些基本理论；其次，一维谐振子问题是我们在大三量子力学中学习过的一个为数不多的可以精确求解的模型，这是本篇论文的理论基础；再次；我们利用波函数的态叠加原理演化而来的算符分离理论，先把三维
14、问题进行降维处理，把它分解为一个平面二维问题和一个一维问题；接着我们用幺正变换理论，再把本来不可再分的二维问题转换为两个独立的一维谐振子。在此基础上再进行精确求解。最后，我们应用均匀磁场中二维各向异性的谐振子模型，求解出一个它的一个特例均匀磁场中二维各向同性的谐振子的波函数和本征值。在此基础上我们对三维和二维进行比较，各向同性和各向异性进行比较，得出结论。122论文的组织结构本篇论文大概可以分成四部分第一部分主要是介绍一下我们所要研究课题的一些历史背景，现在到目前为止的研究现状和分析一下未来的发展趋势，论文的组织方式和课题所研究的意义及其目的；第二部分是为研究这个课题做理论基础的，把一些要用的
15、理论和公式重新复习一下或者再推导一遍，以便我们后面能熟练的应用到所研究的课题中；第三部分那是我论文的主体部分，主要包括哈密顿算符的分离和幺正变换的转变，再加上傅里叶变换把波函数求解出来，结合幺正变换只改变波函数不改变本征值的特点，把本征值也求解出来；在此基础上，我们精确计算一个均匀磁场中二维各向异性谐振子的一个特例均匀磁场中二维各向同性谐振子；第四部分主要是一些总结性的话语，在得出二维各向同性精确解之后再和二维各向异性的形式作比较，找出一些关键的区别和联系，同时对课题的总结，然后再一次认识到做好该课题的意义。13课题研究的意义及其目的在研究物理学问题时，为了更好的揭示和理解物理现象背后的规律性
16、，我们常常需要对研究对象进行一定的概括和抽象，而概括和抽象最主要的依据是抓住主要矛盾、忽略次要因素。在物理学4上我们熟知的且非常成功的物理模型有很多，比如说质点模型、理想气体模型、点电荷模型等等还有很多。谐振子模型是普通物理学中在研究机械振动问题时所涉及的一个最重要物理模型。在各种周期性振动中，最简单、最基本的振动形式就是简谐振动。在自然界中广泛存在和碰到简谐振动。任何体系在平衡位置附近的小振动，例如，分子的振动、晶格的振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等都是简谐振动，且在选择恰当的坐标系后，常常可以分解为若干独立的一维谐振动。最重要的是谐振子还往往作为复杂运动的初步近似，在其基础上进行各种
17、改进，所以谐振子的运动的研究，无论在理论上或在应用上都是很重要的。而我所要研究的均匀磁场中二维谐振子的模型也是最基础最简单的模型。它直接为三维谐振子出场做了铺垫。虽然比一维谐振子只多了一个在均匀磁场和维数，但是他们俩却有本质的区别，最重要的区别就是在均匀磁场中的二维谐振子出现了相干项，这直接加大了本征值和其波函数的求解难度。这就要求我们寻找新的方法新的途径去解决它。因为它是多么的重要，仅仅是在均匀磁场中，不均匀的又该如何处理，再加一个电场又会出现什么新情况，所以在均匀磁场中二维各向异性谐振子模型是最简单最重要的且最具有代表性的一个模型，而且这模型也是我们物理系研究生阶段最基础也最熟悉的模型。这
18、样看来在均匀磁场中二维各向异性谐振子模型就显示出其重要的意义。课题所要研究的目的也很明确首先对于我自己来说那是一次对大学四年学习的一个小结，在大学过了四年，自己到底学了些什么知识，能把学到的知识转化为实践的能力有多少，这篇论文就是一个很好的说明；其次这也是一篇理论型的文章，理论性的就必须要求我们简单明了，并且对一类问题要求总结，然后是能利用这个理论思想再进行推导更深层次的问题，即为均匀磁场中三维各向异性的谐振子模型做的铺垫，根据二维的思想理论三维的谐振子也能被很好的解决掉。52量子力学基本理论21薛定谔方程在经典力学中，当质点在某一时刻的状态为已知时，由质点的运动方程就可以求出以后任一时刻质点
19、的状态。在量子力学中情况也是这样，当当微观粒子在某一时刻的状态为已知时，以后时刻粒子所处的状态也要由一个方程来决定，所不同的是，在经典力学中，质点的状态用质点的坐标和速度来描写，质点的运动方程就是我们所熟悉的牛顿运动方程；而在量子力学中，微观粒子的状态用波函数来描写，决定粒子状态变化的方程不再是牛顿运动方程，而是我们的薛定谔方程。薛定谔方程是我们物理学家薛定谔在1926年提出的波动方程。应该强调，薛定谔方程是量子力学中最基本的方程，其地位与牛顿方程在经典力学中的地位相当，应该认为是量子力学中的一个基本假定，并不能从什么比它更根本的假定来证明它。它的正确性，归根到底，只能靠实践来检验。俗话说，实
20、践是检验整理的唯一标准，也就是说在目前我们人类认知的领域内，还没有发现薛定谔方程是错的例子。薛定谔方程有三个特征首先，它是对时间微商的微分方程；其次，薛定谔方程是线性的；最后，薛定谔方程的系数不应该包含状态的参量。在量子力学中，最基本也是最常规的薛定谔方程是这么定义的222IURTM当我们只讨论U（R）与时间无关的情况下的薛定谔方程，我们称之为定态薛定谔方程，定态薛定谔方程的形式如下222UREM211波函数把微观粒子的波动性和粒子性统一起来，更确切的说，把微观粒子的“原子性”与波的“相干叠加性”统一起来，是在1926年BORN提出来的概率波。BORN在用薛定谔方程来处理散射问题时为解释散射粒
21、子的角度分布而提出来的。BORN认为DEBROGLIE提出的物质波，或薛定谔方程中的波函数所描述的，并不像经典波那样代表什么实在的物理量在空间分布的波动，只不过是刻画粒子在空间的概率分布的概率波而已。因此波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的概率成正比。以后6我们还将看到，由波函数可以得出体系的各种性质，所以我们说波函数描写体系的量子状态。212本征值在定态薛定谔方程中222UREM，我们也可以写成如下这种形式222UREM，我们令222HURM，H算符我们称之为哈密顿算符，也叫能量算符，那薛定谔方程更是可以简化为HE。这种类型的方程称之为本征值方程，E称为算符H的本征
22、值，称为算符H属于本征值E的本征波函数。由此可知，当体系处于能量算符本征函数所描写的状态（以后简称能量本征态）时，粒子的能量有确定的数值，这个数值就是与这个本征函数相对应的能量算符的本征值。22算符的运算和变换算符是指作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号。在量子力学中的算符代表的是对波函数（量子态）的一种运算。关于算符我们量子力学中又有一条基本的假定如果算符F表示力学量F那么当体系处于的本征态时，力学量F有确定值，这个值就是F在本征态中的本征值。我们知道，所有力学量的数值都是实数，既然表示力学量算符的本征值是这个力学量的可能值，因而表示力学量的算符，它的本征值必须是实数。所以量子力学中表示
23、力学量的算符都是线性厄米算符。算符的运算和变换有很多,比如说算符相等、单位算符、算符之和、算符之积、逆算符、算符的复共轭和转置、对易等等。但是在算符运算中算符的对易是最重要的，而在算符中的变换中，幺正变换和傅里叶变换又是最常用的也是最常见的。下面我们来仔细看看。221算符的对易关系一般来说，算符之积不满足交换律，即ABBA，这是算符运算规则与平常数的运算规则唯一不同之处。我们定义,ABABBA，上式称为A与B的对易关系，如果右边式子等于零，我们就是这两个算符是对易的；否则就是不对易的。在对易关系中最重要的一组对易就是坐标算符和动量7算符的对易关系。他们两之间的对易关系如下,XPI，只要熟练掌握
24、这个对易关系其他一些基础的对易关系的运算就变得简单易懂。在这里我还要向大家介绍一个指数对易的定理121111,23AANEBEBABACACACN0CB，1,CAB，21,CAC，1,NNCAC1210123111,23111231AANNNEBEBABACACACNCCCCCNCN由于这个定理我后面的论诉中起决定性的作用，所以我在这里特别的说明。222算符的幺正变换量子力学中表象的选取取决于所讨论的问题。表象选取的恰当可以使问题的讨论大为简化，这正如几何学和经典力学中选取坐标系一样。在讨论物理问题时，常常需要从一个表象变换到另一个表象。所以由一个表象到另一个表象的变换是幺正变换。在这里我们重
25、点了解一下力学量H由A表象变换到B表象的变换公式1HUHU幺正变换两个重要的性质（1）、幺正变换不改变算符的本征值。也就是说H经过幺正变换之后变成H，他们两个的算符的本征值是一样的。（2）、幺正变换不改变矩阵H的迹。即H的迹等于H的迹，也就是说矩阵的迹不会因为幺正变换的改变而改变。223算符的傅里叶变换算符或者是波函数的傅里叶变换使我们量子力学中最常用的变换方法，也正是因为这样所以我8们物理系的学生都要学习一门数学物理方法的必修课程。这也从侧面反应出数学对物理是那么的重要，以至于我们物理系的学生对数学要求为何如此之高。在这里我只简单的回顾一下傅里叶变换的定义和一个重要的性质卷积定理。12IXF
26、XFED，12IXFFXEDX并常用符号简记为1FXF，FFXFX和F分别称为傅里叶变换的原函数和像函数。傅里叶变换的卷积定理若11FXFW22FXFW1212FXFXFFXD则12122FXFXFWFW23函数我们物理学中常常要研究一个物理量在空间和时间中的分布密度，例如质量密度、电荷密度、等等。但是我们物理中又常常运用质点、点电荷等抽象模型，他们不是连续分布在空间和时间中，而是集中在空间的某一点或某一时刻，所以我们引入函数。归根结底，其实函数只是我们物理有意义的一个模型，脱离了物理完全是空范的。231定义对于质点、点电荷这一类集中空间某一点或时间某一瞬间的抽象模型，在我们物理学上引入函数以
27、便描述它们的密度0,0,0XXX,0,01,0BABABAXDX在这以后，数学上引入了广义函数的概念，在严密的基础上证明了函数的一些重要性质。232性质函数具有以下几个重要的性质（1）、X是一个偶函数，它的导函数是一个奇函数。（2）、对于任何一个定义在R上的连续函数FX900FXXTDXFT这有时也叫函数的挑选性。（3）、函数傅里叶变换12IXXED24无外场下一维谐振子的薛定谔方程的本征值和波函数在自然界中广泛存在简谐振动。任何物理体系在平衡位置附近的小振动，在选择恰当的坐标系后，常常可以分解为若干彼此独立的一维谐振动，谐振动往往还是作为复杂运动的初步近似，在其基础上进行各个方面的改进。所以
28、一维谐振子的研究，无论在理论上还是实际应用上，都是很重要的。尤其对于我这个研究的课题，如果你没有把一维的谐振子的理论基础弄明白的话，你就更本无从下手，所以对于一维谐振子的波函数和本征值推导过程，我个人认为还是很有必要自己完全掌握，因为这是最基础的。只有我们一步一步的，脚踏实地的从最基础的东西开始做起我们才有做后面研究的必要。一维空间内运动的粒子的势能为2212MX，是常量，这种体系我们就称之为谐振子模型。一维谐振子的能量本征值问题，在历史上首先为HEISENBERG的矩阵力学解决，后来DIRAC用算子代数的方法给出极其漂亮的解。我们还是根据波动力学的解法，再来重温一遍这个完美的一维谐振子问题。
29、241薛定谔方程的变换在解决物理问题中，首要要考虑就是其单位制问题，你选取不同的单位制，你会得到不同的结果。在本篇研究的课题中，凡是遇到单位制问题，我们一律默认取自然单位制，即C1选取合适的坐标系，使粒子的势能为2212MX，则体系的薛定谔方程为222211022DEMXMDX为了方便起见，我们引入无量纲代替X，它们之间的关系为MXXM2E因此薛定谔方程可以简化为2220DD10这是一个变系数的二级常微分方程，为了求解这个方程的解我们先看看渐渐解，即趋向于无穷大时，相比之下就可以略去，因此方程可以写成222DD所以波函数解得形式就可以写成以下这种形式22EH最后可以得到H所满足的方程22210
30、DHDHHDD242波函数和本征值的精确解根据级数解法，要求级数只含有有限项的条件是为奇数，即2N1，N0,1,2,3根据就可以求出谐振子的能级为1,0,1,2,2NENN对应于不同的能级方程有不同的解NH。NH称为厄米多项式，它可以用下列式子来表示221NNNNDHEED关于厄米多项式的性质我们还要补充一个重要的积分公式2122212211NXYNNYEHXDXH这个积分公式将在我们后面傅里叶变换的化简中起到举足轻重的作用，可以这么说你不利用这个积分公式你就没法再继续下去。所以就可以精确求解出来对应于能量NE的波函数22NNNNEH11222XNNNXNEHX式中NN为归一化因子，12122
31、NNNN求到这里我们已经把一维谐振子的波函数和本征值的能精确详细的求解出来，而且谐振子也是为数不多的几个能求出精确解的物理模型。这在一定程度上为我们后面的在均匀磁场中二维各向异性的谐振子的波函数和本征值的求解提供了强有力的理论基础，更是为我们提供了前进的方向，思考的路线，给我们做了一个很好的铺垫。3均匀磁场中二维各向异性谐振子的波函数与本征值31均匀电磁场中定态薛定谔方程之前我们讨论了一维谐振子的波函数和本征值问题，并且根据数学上的知识，再加上物理上的思想，利用数学物理方法，把一维谐振子的波函数和本征值完全没有利用任何近似的方法，严格的把精确解解答出来。物理量子力学中几个为数不多的能够严格求解
32、的物理模型，谐振子就是其中一个。那我们忍不住要思考一维的能精确解，二维，三维的情况又会是怎么样答案是肯定的如果在没有外场作用下二维的谐振子就是两个一维谐振子的叠加，三维的谐振子就是三个一维的谐振子的叠加。这个问题解决了我们又会接着再想，在外场作用下，也能不能求出这么完美的解呢我可以确定的负责任地告诉你，在我们前人的努力下已经有物理学家解出来。也正是有这一理论的完整性，只要是谐振子的问题差不多都能求出其精确解，才使得谐振子模型在物理学上有着重要的地位，因为它是复杂运动的初步近似，因为它是各种平衡位置附近振动最理想最接近的模型。这也进一步明确了我们学习谐振子的重要性和我对这篇课题研究的意义性。接下
33、来我们就来讨论在外场的作用下谐振子又是怎么运动的。自然单位制下，考虑质量为M，带电量为Q的粒子在电磁场中运动，在经典力学中，有电磁学、电动力学和理论力学知识可得，它的哈密顿函数可以表示为12212HPQAQM在量子力学中有哈密顿函数和哈密顿算符之间的对应关系理论可知，它的哈密顿算符可以等价的表示为212HPQAQM所以有在外场（电磁场中）定态薛定谔方程HE212QPAQEMC311均匀磁场中三维谐振子的哈密顿算符作为我们课题的引入，在这里我们先考虑在均匀磁场中三维各向异性谐振子的情况，也就是比在电磁场中要简单的多，因为等于0，即没有电场，只有磁场作用的情况。假设一个带电粒子的质量为M，受到ZB
34、BE方向的磁场作用，并且在各向异性谐振子势2222222XYZMVRXYZ的作用下，我们取常见的规范12ABR，在此条件下的均匀磁场中的三维各向异性的谐振子的波函数与本征值。设XYZRXEYEZE，ZBBE，2222222XYZMVRXYZ，则1122ZXYZABRBEXEYEZE，化简一下得1122YXABRBXEYE1212XXYYZZYXYXPAPEPEPEBXEYEBXPYP2222XYZPPPP222214AAABXY212HPQAVRM经过简单的化简就可以得到我们想要的哈密顿算符如下13222222222222222222222222222211222124212282YXXYZX
35、YZYXXYZHPQAVRPQPAQAVRMMQBMPQBXPYPXYXYZMQBQBMPPPXPYPXYXYZMMM312均匀磁场中三维谐振子的薛定谔方程在均匀磁场中三维各向异性的谐振子的哈密顿都已经求解出来了，再根据量子力学中的基本理论，要满足定态薛定谔方程。代入已求解出的哈密顿算符得HE由于哈密顿算符的复杂性我们必须对它进行有效的变换。32哈密顿算符的变换222222222222222222222222222211222124212282YXXYZXYZYXXYZHPQAVRPQPAQAVRMMQBMPQBXPYPXYXYZMQBQBMPPPXPYPXYXYZMMM由上式我们可以看出在均
36、匀磁场中的哈密顿算符是极其复杂的，复杂归复杂，但并不是没有什么规律可循的。比如说它很像三个方向独立的一维谐振子的哈密顿算符的叠加，但又不是简单的叠加，因为它又比一般的叠加多出一项角动量项，正是由于这一项的出现，才让我们做的课题遇到了困难，同时又给我们提供了方向首先是上述哈密顿量很明显可以把它分解成一个独立的二维XYH加一个独立的一维ZH哈密顿算符的叠加；其次是我们通过幺正变换使这个二维的XYH算符中的角动量项消去，使它在退化为一个一维的线性叠加。321哈密顿算符的分离上述复杂的哈密顿算符经过简单的变形之后可以写成以下形式222222222222211228222XYYXXYZZQBQBMMHP
37、PXPYPXYXYPZMMMM该式子又可以把它写成14222222222222211228222XYZXYYXXYZZHHHQBQBMMPPXPYPXYXYPZMMMM我们令222122ZZZMHPZM，那么剩下的自然就是XYH222222222212282XYXYYXXYQBQBMHPPXPYPXYXYMMM通过这样的分离我们就已经得到原来一个很复杂的三维问题，继而就转化为一个二维的问题和一个一维的问题，从战略思想上来讲是一个巨大的飞跃。也就是说在这种规范下它是一种赝三维谐振子，因为它可以很简单的就退化为一个二维谐振子和一维谐振子问题。就是这种变换才是我们学物理的人要彻底搞清楚的地方，这才是
38、最重要的物理思想，即把未知转化为已知的分离思想。所以三维的波函数的本征值也可以转换为以下形式1212ZZNNNNNNEEE12ZNZZEN在Z方向上，222122ZZZMHPZM，它是一个一维的谐振子问题，有我们前面的知识可以求解其波函数的精确解222ZZZZZNNNZZNEHZZZM剩下来的问题就是我们如何把在XY平面内的波函数12,NNXY和本征值12NNE求解出来。从而使我们本来三维的问题转化为二维问题，这是技术上的一大突破。322哈密顿算符的变换虽然经过上述变换之后已经转化为我们所要研究的均匀磁场中的二维各向异性谐振子问题，但是二维谐振子问题的难点马上就凸现出来了，由于存在一项角动量项
39、使得再继续想把它简单的分离成两个简单的一维问题就变得异常的困难，几乎就是无路可走了。那我们就必须换一个方向思考问题，那能不能先对XYH进行一个变换，变换之后使得它没有角动量项，我们也很容易想要幺正变换。因为幺正变换可以使力学量的算符发生改变，而且对波函数的改变也不会很彻底，我们很容易就能把它转变回来，最重要的一点要数幺正变换不改变算符的本征值，也就是说变换前后的算符的本征值不变，这就提供我们一个方法前面算符的本征值比较难求，我们可以求变换后的本征值是不变的。我们就按照这个思路一步一步的进行下去，先对不可再简单拆分二维算符XYH进行一个幺正变换，15设变换后的可算算符为3H，波函数为12,NNX
40、Y。我们先假设一些基本算符YXJXPYP2212VXY2212XYTPPYXLXPYP2212WXY2212XYSPP222222222212282XYXYYXXYQBQBMHPPXPYPXYXYMMM22221242XYXYQBQBMHTLVVWVWMMM22222212422XYXYXYQBQBMMHTLVWMMM我们再来假设一些基本的常数CQBM1DM2CA22222CXYMB222XYMC22222212422XYXYXYQBQBMMHTLVWMMMALBVCWDT121212,XYNNNNNNHXYEXY从这里开始让我们引进幺正变换算符UXYIPPIXYUEE1XYIPPIXYUEE
41、和为两个重要的参数，这两个参数根据我们的需要我们可以用待定系数法可以求解。现在我们开始做XYH的幺正变换后的算符3H13XYHUHU1212123,NNNNNNHXYEXY1212,NNNNXYUXY13XYXYIPPIPPIXYIXYXYHUHUEEALBVCWDTEE从这里我们可以看出我们要对XYH做指数对易的运算，有我们前面指数对易的定理可得162222,2YXYXYYXXIXYLIXYLIXYXPYPIXYXPXYYPIXYXPXPXYXYYPYPXYIIXIYXYW2222,2YXYXYYXXIXYJIXYJIXYXPYPIXYXPXYYPIXYXPXPXYXYYPYPXYIIXIY
42、XYV2222,11,221,20IXYWIXYWIXYXYIXYXYIXYXXXYYY2222,11,221,20IXYVIXYVIXYXYIXYXYIXYXXXYYY172222222222,11,221,2121222XYXYXYXXYYXYXYIXYSIXYSIXYPPIXYPPIXYPXYPIXYPPXYXYPPXYIIYPIXPYPXPL2222,2XYXYXYYXXYYXYXXYYYXYXYXXXYYXXYIPPLIPPLIPPXPYPIPPXPPPYPIPPXPXPPPPPYPYPPPIIPIPPPS2222,2XYXYXYYXXYYXYXXYYYXYXYXXXYYXXYIPP
43、JIPPJIPPXPYPIPPXPPPYPIPPXPXPPPPPYPYPPPIIPIPPPT222222,11221,20XYXYXYXYXYXYXYXXYYIPPTIPPTIPPPPIPPPPIPPPPPP18222222,11221,20XYXYXYXYXYXYXYXXYYIPPSIPPSIPPPPIPPPPIPPPPPP2222222222,111,2121222XYXYXYXYXYXYXYXYXYXYYXYYIPPVIPPVIPPXYIPPXYIPPXPPYIPPXXPPPPYYPPIIXPIYPXPXPXYPJ2222222222,11,221,2121222XYXYXYXYXYXYXYXYXYXYYXYXIPPWIPPWIPPXYIPPXYIPPXPPYIPPXXPPPPYYPPIIXPIYPXPYP
