1、线性代数（经管类）考点逐个击破第一章 行列式（一）行列式的定义行列式是指一个由若干个数排列成同样的行数与列数后所得到的一个式子，它实质上表示把这些数按一定的规则进行运算，其结果为一个确定的数.1二阶行列式由 4 个数 得到下列式子： 称为一个二阶行列式，其运算规则为)2,1(jia12a212121a2三阶行列式由 9 个数 得到下列式子：)3,21,(jia 32311a称为一个三阶行列式，它如何进行运算呢？教材上有类似于二阶行列式的所谓对角线法，我们采用递归法，为此先要定义行列式中元素的余子式及代数余子式的概念.3余子式及代数余子式设有三阶行列式 32311aD对任何一个元素 ，我们划去它
2、所在的第 i 行及第 j 列，剩下的元素按原先次序组成一个二阶行列式，称它为元ija素 的余子式，记成ij ijM例如 ， ，321a3211a2311aM再记 ，称 为元素 的代数余子式.ijiijA)(ijAij例如 ， ，1M21231那么 ，三阶行列式 定义为3D我们把它称为 按第一列的展开式，经常3D简写成 31131)(i iii MaAaD4n 阶行列式312113211213 AaAa一阶行列式 11aDn 阶行列式 121121221 nnnn AaAa 其中 为元素 的代数余子式.(,)ijA ij5特殊行列式上三角行列式121220nnnaaa 下三角行列式121210n
3、nnaa 对角行列式 2120nnaa （二）行列式的性质性质 1 行列式和它的转置行列式相等，即 TD性质 2 用数 k 乘行列式 D 中某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于 kD，也就是说，行列式可以按行和列提出公因数.性质 3 互换行列式的任意两行（列） ，行列式的值改变符号.推论 1 如果行列式中有某两行（列）相同，则此行列式的值等于零.推论 2 如果行列式中某两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零.性质 4 行列式可以按行（列）拆开.性质 5 把行列式 D 的某一行（列）的所有元素都乘以同一个数以后加到另一行（列）的对应元素上去，所得的行列式仍为 D.定理 1（行列式展
4、开定理）n 阶行列式 等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积的和，即nija),21(21 niAAaDiii 或 jnjjj 前一式称为 D 按第 i 行的展开式，后一式称为 D 按第 j 列的展开式 .本定理说明，行列式可以按其任意一行或按其任意一列展开来求出它的值.定理 2 n 阶行列式 的任意一行（列）各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和等于零.nija即 )(021 kiAaAkikiki 或 )(021 sjAaaAnsjsjsj （三）行列式的计算行列式的计算主要采用以下两种基本方法：（1）利用行列式性质，把原行列式化为上三角（或下三角）行列式再求
5、值，此时要注意的是，在互换两行或两列时，必须在新的行列式的前面乘上（1） ，在按行或按列提取公因子 k 时，必须在新的行列式前面乘上 k.（2）把原行列式按选定的某一行或某一列展开，把行列式的阶数降低，再求出它的值，通常是利用性质在某一行或某一列中产生很多个“0”元素，再按这一行或这一列展开：例 1 计算行列式 52073144D解：观察到第二列第四行的元素为 0，而且第二列第一行的元素是 ，利用这个元素可以把这一列其它两个12a非零元素化为 0，然后按第二列展开. 4212145623506105() 707312312208575D 行 行 按 第 二 列 展 开行 行 列 列 按 第 二
6、 行 展 开例 2 计算行列式 abD4解：方法 1 这个行列式的元素含有文字，在计算它的值时，切忌用文字作字母，因为文字可能取 0 值.要注意观察其特点，这个行列式的特点是它的每一行元素之和均为 （我们把它称为行和相同行列式） ，我们可以先ba3把后三列都加到第一列上去，提出第一列的公因子 ，再将后三行都减去第一行：31()100(3)ababbaabaab 3)(b方法 2 观察到这个行列式每一行元素中有多个 b，我们采用“加边法”来计算，即是构造一个与 有相同值4D的五阶行列式：12345411001bbbaaabDb ab行 （ ） ， ， ， 行这样得到一个“箭形”行列式，如果 ，则
7、原行列式的值为零，故不妨假设 ，即 ，把后四列a 0ba的 倍加到第一列上，可以把第一列的（1）化为零.ba 44001()(3)bbababaa 例 3 三阶范德蒙德行列式 )()(12313123213 xxxV（四）克拉默法则定理 1（克拉默法则）设含有 n 个方程的 n 元线性方程组为121212,nnaxaxb 如果其系数行列式 ，则方程组必有唯一解：0nijaDnjDxj ,21,其中 是把 D 中第 j 列换成常数项 后得到的行列式 .j nb,21把这个法则应用于齐次线性方程组，则有定理 2 设有含 n 个方程的 n 元齐次线性方程组1212120,nnnaxax 如果其系数行
8、列式 ，则该方程组只有零解：0D021nxx换句话说，若齐次线性方程组有非零解，则必有 ，在教材第二章中，将要证明，n 个方程的 n 元齐次线性0D方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式等于零.第二章 矩阵（一）矩阵的定义1矩阵的概念由 个数 排成的一个 m 行 n 列的数表nm),21;,21(njmiaj mnmaA 211称为一个 m 行 n 列矩阵或 矩阵n当 时，称 为 n 阶矩阵或 n 阶方阵ija元素全为零的矩阵称为零矩阵，用 或 O 表示m23 个常用的特殊方阵：n 阶对角矩阵是指形如 的矩阵naA 021n 阶单位方阵是指形如 的矩阵10 nEn 阶三角矩阵是指形如 的矩阵
9、nnnaa 2121 0,03矩阵与行列式的差异矩阵仅是一个数表，而 n 阶行列式的最后结果为一个数，因而矩阵与行列式是两个完全不同的概念，只有一阶方阵是一个数，而且行列式记号“ ”与矩阵记号“ ”也不同，不能用错.*（二）矩阵的运算1矩阵的同型与相等设有矩阵 ， ，若 ， ，则说 A 与 B 是同型矩阵.若 A 与 B 同型,且对应元nmijaA)(kijbB)(kmn素相等，即 ，则称矩阵 A 与 B 相等，记为ijijbBA因而只有当两个矩阵从型号到元素全一样的矩阵，才能说相等.2矩阵的加、减法设 ， 是两个同型矩阵则规定nmijaA)(nmij)(ijijbBnmijijbaBA)(注
10、意：只有 A 与 B 为同型矩阵，它们才可以相加或相减.由于矩阵的相加体现为元素的相加，因而与普通数的加法运算有相同的运算律.3数乘运算设 ，k 为任一个数，则规定nmijaA)( nmijkaA)(故数 k 与矩阵 A 的乘积就是 A 中所有元素都乘以 k，要注意数 k 与行列式 D 的乘积，只是用 k 乘行列式中某一行或某一列，这两种数乘截然不同.矩阵的数乘运算具有普通数的乘法所具有的运算律.4乘法运算设 ， ，则规定kmija)(nkijbB)( nmijcB)(其中 jijijiij abc21 ),21;,21(i由此定义可知，只有当左矩阵 A 的列数与右矩阵 B 的行数相等时，AB
11、 才有意义，而且矩阵 AB 的行数为 A的行数，AB 的列数为 B 的列数，而矩阵 AB 中的元素是由左矩阵 A 中某一行元素与右矩阵 B 中某一列元素对应相乘再相加而得到.故矩阵乘法与普通数的乘法有所不同，一般地：不满足交换律，即 在 时，不能推出 或 ，因而也不满足消去律.0A0AB特别，若矩阵 A 与 B 满足 ，则称 A 与 B 可交换，此时 A 与 B 必为同阶方阵.矩阵乘法满足结合律，分配律及与数乘的结合律.5方阵的乘幂与多项式方阵设 A 为 n 阶方阵，则规定 m个特别 E0又若 ，则规定110()mfxaxax 10)mfAAaE称 为 A 的方阵多项式，它也是一个 n 阶方阵
12、)(f6矩阵的转置设 A 为一个 矩阵，把 A 中行与列互换，得到一个 矩阵，称为 A 的转置矩阵，记为 ，转置运nmnTA算满足以下运算律：， ， ，T)( TTB)( TkA)( TTB)(由转置运算给出对称矩阵，反对称矩阵的定义设 A 为一个 n 阶方阵，若 A 满足 ，则称 A 为对称矩阵，若 A 满足 ，则称 A 为反对称矩阵.7方阵的行列式矩阵与行列式是两个完全不同的概念，但对于 n 阶方阵，有方阵的行列式的概念.设 为一个 n 阶方阵，则由 A 中元素构成一个 n 阶行列式 ，称为方阵 A 的行列式，记为)(ija nija方阵的行列式具有下列性质：设 A，B 为 n 阶方阵，k
13、 为数，则 ；AT kn B（三）方阵的逆矩阵1可逆矩阵的概念与性质设 A 为一个 n 阶方阵，若存在另一个 n 阶方阵 B，使满足 ，则把 B 称为 A 的逆矩阵，且说EAA 为一个可逆矩阵，意指 A 是一个可以存在逆矩阵的矩阵，把 A 的逆矩阵 B 记为 ，从而 A 与 首先必可交换，11且乘积为单位方阵 E.逆矩阵具有以下性质：设 A， B 为同阶可逆矩阵， 为常数，则0k 是可逆矩阵，且 ；11)(AB 是可逆矩阵，且 ；1kA 是可逆矩阵，且 1)(Ak 是可逆矩阵，且TATT)(1可逆矩阵可从矩阵等式的同侧消去，即设 P 为可逆矩阵，则 BPBAP2伴随矩阵设 为一个 n 阶方阵，
14、 为 A 的行列式 中元素 的代数余子式，则矩阵)(ijaij nijaij称为 A 的伴随矩阵，记为 （务必注意 中元素排列的特点）nnnA 21121 *A伴随矩阵必满足 E*（n 为 A 的阶数）13n 阶阵可逆的条件与逆矩阵的求法定理：n 阶方阵 A 可逆 ，且0*1A推论：设 A，B 均为 n 阶方阵，且满足 ，则 A，B 都可逆，且 ，EBA1A1例 1 设 dcba（1）求 A 的伴随矩阵 *（2）a，b，c，d 满足什么条件时，A 可逆？此时求 1解：（1）对二阶方阵 A，求 的口诀为“主交换，次变号”即* acbdA*（2）由 ，故当 时，即 ，A 为可逆矩阵bcadc0bc
15、ad0此时 A1*1（四）分块矩阵1分块矩阵的概念与运算对于行数和列数较高的矩阵，为了表示方便和运算简洁，常用一些贯穿于矩阵的横线和纵线把矩阵分割成若干小块，每个小块叫做矩阵的子块，以子块为元素的形式上的矩阵叫做分块矩阵.在作分块矩阵的运算时，加、减法，数乘及转置是完全类似的，特别在乘法时，要注意到应使左矩阵 A 的列分块方式与右矩阵 B 的行分块方式一致，然后把子块当作元素来看待，相乘时 A 的各子块分别左乘 B 的对应的子块.2准对角矩阵的逆矩阵形如 的分块矩阵称为准对角矩阵，其中 均为方阵空白处都是零块.rA21 rA,21若 都是可逆矩阵，则这个准对角矩阵也可逆，并且,21 11212
16、1 rrAA（五）矩阵的初等变换与初等方阵1初等变换对一个矩阵 A 施行以下三种类型的变换，称为矩阵的初等行（列）变换，统称为初等变换，（1）交换 A 的某两行（列） ；（2）用一个非零数 k 乘 A 的某一行（列） ；（3）把 A 中某一行（列）的 k 倍加到另一行（列）上.注意：矩阵的初等变换与行列式计算有本质区别，行列式计算是求值过程，用等号连接，而对矩阵施行初等变换是变换过程用“ ”连接前后矩阵.初等变换是矩阵理论中一个常用的运算，而且最常见的是利用矩阵的初等行变换把矩阵化成阶梯形矩阵，以至于化为行简化的阶梯形矩阵.2初等方阵由单位方阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等方阵.由于
17、初等变换有三种类型，相应的有三种类型的初等方阵，依次记为 ， 和 ，容易证明，初等ijP)(kDiTij方阵都是可逆矩阵，且它们的逆矩阵还是同一类的初等方阵.3初等变换与初等方阵的关系设 A 为任一个矩阵，当在 A 的左边乘一个初等方阵的乘积相当于对 A 作同类型的初等行变换；在 A 的右边乘一个初等方阵的乘积相当于对 A 作同类型的初等列变换 .4矩阵的等价与等价标准形若矩阵 A 经过若干次初等变换变为 B，则称 A 与 B 等价，记为 B对任一个 矩阵 A，必与分块矩阵 等价，称这个分块矩阵为 A 的等价标准形.即对任一个nmOEr矩阵 A，必存在 n 阶可逆矩阵 P 及 n 阶可逆矩阵
18、Q，使得 OEPQr5用初等行变换求可逆矩阵的逆矩阵设 A 为任一个 n 阶可逆矩阵，构造 矩阵（A，E）n2然后 ),(),(1AE注意：这里的初等变换必须是初等行变换.例 2 求 的逆矩阵4213A解： 12321 313 200(,) 02144021031AE 行 行行 行行 行 行 行行 行 行 行则 13241A例 3 求解矩阵方程 213421X解：令 ，则矩阵方程为 ，这里 A 即为例 2 中矩阵，是可逆的，在矩阵方2134,213BA BX程两边左乘 ，得 20531431X也能用初等行变换法，不用求出 ，而直接求1AB),(2015324),( 1AEBA 则 0531X（
19、六）矩阵的秩1秩的定义设 A 为 矩阵，把 A 中非零子式的最高阶数称为 A 的秩，记为秩 或nm )(Ar零矩阵的秩为 0，因而 ，对 n 阶方阵 A，若秩 ，称 A 为满秩矩阵，否则称为m,i)(秩 n降秩矩阵.2秩的求法由于阶梯形矩阵的秩就是矩阵中非零行的行数，又矩阵初等变换不改变矩阵的秩.对任一个矩阵 A，只要用初等行变换把 A 化成阶梯形矩阵 T，则秩(A)=秩(T)=T 中非零行的行数.3与满秩矩阵等价的条件n 阶方阵 A 满秩 A 可逆，即存在 B，使EAA 非奇异，即 0A 的等价标准形为 EA 可以表示为有限个初等方阵的乘积齐次线性方程组 只有零解X对任意非零列向量 b，非齐
20、次线性方程组 有唯一解bAXA 的行（列）向量组线性无关A 的行（列）向量组为 的一个基nR任意 n 维行（列）向量均可以表示为 A 的行（列）向量组 的线性组合，且表示法唯一.A 的特征值均不为零为正定矩阵.T（七）线性方程组的消元法.对任一个线性方程组 mnmnbxaxa 21 222 121可以表示成矩阵形式 ，其中 为系数矩阵， 为常数列矩阵，bAXij)( Tmb),(21为未知元列矩阵.TnxX),(21从而线性方程组 与增广矩阵 一一对应.),(bA对于给定的线性方程组，可利用矩阵的初等行变换，把它的增广矩阵化成简化阶梯形矩阵，从而得到易于求解的同解线性方程组，然后求出方程组的解.第三章 向量空间（一）n 维向量的定义与向量组的线性组合1n 维向量的定义与向量的线性运算由 n 个数组成的一个有序数组称为一个 n 维向量，若用一行表示，称为 n 维行向量，即 矩阵，若用一n1列表示，称为 n 维列向量，即 矩阵1与矩阵线性运算类似，有向量的线性运算及运算律.2向量的线性组合设 是一组 n 维向量， 是一组常数，则称m,21 mk,21k21为 的一个线性组合，常数 称为组合系数.m,21 mk,21
