1、1函数重要知识点及题型一函数的定义域问题：1.三个基本问题分式的分母不等于 0；偶次开方问题，被开方数大于等于 0；对数函数 中， .xyalog,1xa且2.解题程序根据题意列不等式（组）解不等式（组）结论（写成集合或区间形式）.题组 1.函数定义域的求解1. 的定义域是_.xxf21)(2. 的定义域是_.3logfx3.复合函数定义域问题解题策略：函数的定义域是指自变量 的取值集合；x所有括号中的取值范围相同.题组 2.复合函数定义域的求解1. 已知函数 的定义域是 ，其中 则函数)(xfba, .,0ba的定义域是_.)()(xfxg2. 已知 的定义域是 ，则 的定义域是_.12f
2、3,)1(xf4.定义域的逆向问题2已知函数定义域，求解析式中字母参数的取值（范围）.题组 3.定义域的逆向问题1.已知函数 的定义域是 ，则3)(axf ，3._a2.已知函数 的定义域是 ，则实数 的取值集合是12f R_.2函数解析式问题常用解法：（1）换元法；（2）配凑法；（3）待定系数法；（4）函数方程法.题组 4.求解函数解析式的常见题型1.已知 ，则 ；xxf21_)(f2.已知 ，则 ；f4)(f3.已知一次函数 满足 ，则 ；(xf12xf _)(xf4.已知 是二次函数，且 ，则)(f 1(,)0(fff；_)(xf5.已知 ，则 .321)(xfxf _)(xf三函数的值
3、域/求值问题1.值域问题的常用解法：直接法，配方法（二次函数问题） ，单调性法，换元法，数形结合法题组 5.求下列函数值域：（1） ；3,10,1)(2xxf3（2） ；xxf312)(（3） y2.探究性函数求值问题，一般从函数本身或结论特征入手，注意分析待求结论式中的数据特征，寻找函数内在联系来求解.题组 6.探究性函数求值1.设 ，则 xf1)( ._10)(31)(21)( fffff2. 设 ，则23)(f ._0fff四函数图像的作法及应用1.描点法是函数作图的基本方法（列表描点连线） ；2.变换作图法平移变换 .)()(: bxfyxfyax而 言针 对上 加 下 减 ；而 言
4、：针 对左 加 右 减对称变换 ).()(;xfyxfyffyx关 于 原 点 对 称轴 对 称关 于 轴 对 称关 于绝对值变换 .)(;(xfyxfy局 部 绝 对 值 变 换 ：整 体 绝 对 值 变 换 ：注：局部绝对值函数为偶函数.题组 5.函数图像的变换及其简单应用1.设 ，则函数 恒过定点_；10a且 1)2(log)(xfa42.将函数 的图像向右平移_个单位,再将每一点的横坐标12)(xf变为原来的_倍，可得函数 的图像.xy3.直线 与曲线 有四个交点，则 的取值范围是_.yaxy2 a五函数的单调性1.定义：2.单调性的判定/证明方法：（1）数形结合（图像法）只能用于判断
5、；解题程序：函数解析式函数图像单调区间题组 7.图像法求解函数的单调区间及其简单应用1. 的单调增区间是_.xf2)(2.若 的单调递增区间是 ，则af,3._a3.函数 有 4 个单调区间，则实数 的取值范围是_.1)(2xf4.设 ，则 （比较大小）. 0,2)(xxf 1_32aff（2）定义法目前证明函数单调性的唯一方法.利用定义证明函数单调性的程序：取值作差变形定号结论（变形的结果必须能明确 的正负符号）)(21xff题组 8.利用单调性定义证明函数单调性51.求证函数 在区间 上单调递增.1)(xf，02.求证函数 上单调递增.，在 1)(xf3.掌握常见函数的单调性：（1） ；)
6、0()(kbxf（2） ；f（3） 0)(2acbxf4.复合函数单调性判定定理：同增异减.5.三个需要注意的问题：（1）函数的单调区间是其定义域的子集；（2）函数的单调区间之间不能用“ ”连接；（3）注意区分“ 在区间 上单调”与“ 的单调区间是 ”.)(xfba, )(xfba,题组 9.“ 在区间 上单调”与“ 的单调区间是 ”的理解)(xf, )(xf,1.设 的单调减区间是 ，则5)3(42xaf 3,._a2.设 在 上是减函数，则 的取值范围是)(xf 3,_.题组 10.复合函数单调区间的求解1. 的单调递增区间是_.21)(xf62. 的单调增区间是_.32ln)(xxf6.
7、函数型不等式的求解策略：（1）根据函数的单调性“脱 ”；f（2）注意函数定义域的限制.题组 11.函数型不等式的求解1.已知 是定义在 上的减函数，则满足 的实数 的取值范)(xfR)1(fxfx围是_.2.定义在 上的函数 为减函数，则满足不等式1,4fx的 的值的集合是_.220fafa3.已知函数 ，若 ，则实数 的取值范24,0xf2fafa围是 .4.已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围0,1)(2xxf )3()22xff x是 .5.已知 则不等式 的解集是_.,1)(Rxf )43()2(xfxf6.已知偶函数 在区间 上单调递增，则 的 的fx0,)13fxfx取值范围是 .
8、8.分段函数单调性问题：7函数 在 上单调递增，则 满足两个条件：axfxf),()(21R)(xf（1） 在 上单调递增， 在 上单调递增；1f,)(2f),a（2） ).(21aff题组 12.分段函数单调性的应用1.函数 满足对于任意的实数 都有1,4)3()2xaxf x成立，则 的取值范围是_.0()21ff2.已知 是 上的减函数，则 的取值范围1,log,4)3()xaxfa ),(a是_.3.设 若存在 ，使得 成立，,1,)(2xaxf 2121,xRx)(21xff则 的取值范围是_.a10.抽象函数单调性问题（1）证明抽象函数单调性，只能依据单调性的定义，同时应注意已知条
9、件的应用；（2）解函数型不等式或比较函数值的大小，应依据函数单调性.题组 13.抽象函数单调性的证明及其简单应用1.已知函数 ，对任意的 ，都有 ，且当)(xf Rba, 1)()(bfabf时，0x.1（1）求证： 是 上的增函数；)(xf8（2）若 ，解不等式5)4(f .3)23(mf2.已知函数 的定义域是 ，当 时， ，且)(xf ),0(1x0)(xf.)(yfxyf（1）求 的值；)(f（2）求证： 是其定义域上的增函数；xf（3）解不等式 .021f3.已知定义在 上的函数 当 时， ，且对任意R,0)(,fxyx1)(xf的 ，有ba, .)(bfaf（1）求证： ；10f（
10、2）求证：对任意的 ；0)(,xfR（3）求证： 是 上的增函数；)(xf（4）解不等式 .1)2xf96函数的奇偶性1. 函数奇偶性定义2. 图像特征奇函数图像关于_对称，偶函数图像关于_对称.3.函数奇偶性的判定方法：求函数定义域，看其是否关于原点对称（函数为奇函数或偶函数的Step1.必要条件是其定义域关于原点对称） ；验证 与 的关系.tep2.)(xf(f注：根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数.4. 函数奇偶性的性质：（1）对多项式函数而言，奇函数不含偶次项，偶函数不含奇次项；（2）奇函数 若在 处有定义，则_；()yfx0（3）偶函数在原
11、点两侧单调性_，奇函数在原点两侧单调性_；（4）两个偶函数的和、差、积、商（分母不为 0）仍为偶函数；两个奇函数的和、差为奇函数，积、商（分母不为 0）为偶函数；10一个奇函数与一个偶函数的积、商（分母不为 0）为奇函数.题组 14.根据函数奇偶性求值或求解析式问题：1.已知函数 是偶函数，则3,1,)2)(2 axbaxf（._)2(f2.已知 是奇函数，且 时， ，则)(xf 0xxf)(2._)1(f3.设 是定义在 上的奇函数，且 时， ，则fRbxf2._)1(f4.若 是偶函数，则)(xf ._21)(ff5.设 ，若 ，则1)(3baf 5)(f .)(f6.设 .0),(,2xgf（1）若 是奇函数，则 ；f _)(xg（2）若 是偶函数，则 .)(xf7.设 是偶函数， 是奇函数，它们的定义域均为 ，f)(g1,xR且 ，则1)(xgf ._)(_,xgxf8.设函数 是奇函数，则axf2)( .a9.设函数 是偶函数，则Rexfx)( ._题组 15.函数奇偶性的综合应用
