1、1FAPHBQ解圆锥曲线问题常用方法（一）【学习要点】 解圆锥曲线问题常用以下方法： 1、定义法（1）椭圆有两种定义。第一定义中，r 1+r2=2a。第二定义中，r 1=ed1 r2=ed2。 （2）双曲线有两种定义。第一定义中， ，当 r1r2 时，注意 r2 的最小值为 c-a：第二定义中，ar1=ed1， r2=ed2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与 “点到准线距离”互相转化。 （3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。2、韦达定理法 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题
2、，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。 3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法” 。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法” ，即设弦的两个端点 A(x1,y1),B(x2,y2),弦 AB 中点为 M(x0,y0)，将点 A、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有： （1） 与直线相交于 A、B，设弦 AB 中点为 M
3、(x0,y0)，则有 。)(12bayx 020kbyax （2） 与直线 l 相交于 A、B，设弦 AB 中点为 M(x0,y0)则有)0,(2 20（3）y 2=2px（p0 ）与直线 l 相交于 A、B 设弦 AB 中点为 M(x0,y0),则有 2y0k=2p,即 y0k=p.【典型例题】 例 1、(1)抛物线 C:y2=4x 上一点 P 到点 A(3,4 )与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为_2 (2)抛物线 C: y2=4x 上一点 Q 到点 B(4,1)与到焦点 F 的距离和最小 ,则点 Q 的坐标为 。分析：（1）A 在抛物线外，如图，连 PF，则 ，因而易发现，PH 当
4、 A、P、F 三点共线时，距离和最小。（2）B 在抛物线内，如图，作 QRl 交于 R，则当 B、Q、R 三点共线时， 距离和最小。解：（1） （2， ）2xy0ABCMD5F PHy0xA连 PF，当 A、P 、F 三点共线时， 最小，此时 AF 的方程为 即 y=2PFAHP )1(3024xy(x-1),代入 y2=4x 得 P(2,2 )， （注：另一交点为( )，它为直线 AF 与抛物线的另一交点，舍去）22,1（2） （ ）1,4过 Q 作 QRl 交于 R，当 B、Q 、R 三点共线时， 最小，此时 Q 点的纵坐标为 1，代入 y2=4xRBQF得 x= ，Q( ),点评：这是利
5、用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。例 2、F 是椭圆 的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点，P 为椭1342yx 圆上一动点。（1） 的最小值为 PA（2） 的最小值为 分析：PF 为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径 或准线作出来考FP 虑问题。解：（1）4- 5 设另一焦点为 ，则 (-1,0)连 A ,PF 542)(2 FAaPFaPAP当 P 是 A 的延长线与椭圆的交点时, 取得最小值为 4- 。 （2）作出右准线 l，作 PH l 交于 H，因 a2=4，b 2=3，c 2=1， a=2，c=1，e= ，21 PFHF2,1即 AP当 A、P、
6、H 三点共线时，其和最小，最小值为 3142Axca例 3、动圆 M 与圆 C1:(x+1)2+y2=36 内切,与圆 C2:(x-1)2+y2=4 外切,求圆心 M 的轨迹方程。分析：作图时，要注意相切时的“图形特征”：两个圆心与切点这三点共线（如图中的A、M、 C 共线， B、D、M 共线） 。列式的主要途径是动圆的“半径等于半径” （如图中的） 。3解：如图， ，MDC 26BABA即 （*）8点 M 的轨迹为椭圆，2a=8，a=4，c=1，b 2=15 轨迹方程为 1562yx点评：得到方程（*）后，应直接利用椭圆的定义写出方程，而无需再用距离公式列式求解，即列出，再移项，平方，相当于
7、将椭圆标准方程推导了一遍，较繁琐！4)1()1( 22yxyx例 4、ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且 sinC-sinB= sinA,求点 A 的轨迹方程。53分析：由于 sinA、sinB、sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以 2R（R 为外接圆半径） ，可转化为边长的关系。解：sinC-sinB= sinA 2RsinC-2RsinB= 2RsinA53 BCA即 （*）6点 A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点）2a=6，2c=10a=3， c=5， b=4所求轨迹方程为 （x3）1692yx点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）例
8、5、定长为 3 的线段 AB 的两个端点在 y=x2 上移动，AB 中点为 M，求点 M 到 x 轴的最短距离。分析：（1）可直接利用抛物线设点，如设 A(x1,x12)，B(x 2，X 22)，又设 AB 中点为 M(x0y0)用弦长公式及中点公式得出 y0 关于 x0 的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。（2）M 到 x 轴的距离是一种“点线距离” ，可先考虑 M 到准线的距离，想到用定义法。解法一：设 A(x1，x 12)，B(x 2，x 22)，AB 中点 M(x0，y 0)4xy0MAB12则 021219)()(yx由得(x 1-x2)21+(x1+x2)2=9即(x 1+x2
9、)2-4x1x21+(x1+x2)2=9 由、得 2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0代入得 (2x0)2-(8x02-4y0)1+(2x0)2=9 ，20204194xy19)(202020 xxy ,51940y当 4x02+1=3 即 时， 此时20x45)(min0)45,2(M法二：如图， 322 ABFBAM ， 即 ，32341 ， 当 AB 经过焦点 F 时取得最小值。451M 到 x 轴的最短距离为 45点 评 ： 解 法 一 是 列 出 方 程 组 ， 利 用 整 体 消 元 思 想 消 x1， x2， 从 而 形 成 y0 关 于 x0 的 函 数 ， 这
10、是 一 种 “设 而 不 求 ”的 方法 。 而 解 法 二 充 分 利 用 了 抛 物 线 的 定 义 ， 巧 妙 地 将 中 点 M 到 x 轴 的 距 离 转 化 为 它 到 准 线 的 距 离 ， 再 利 用 梯 形 的 中 位 线 ，转 化 为 A、 B 到 准 线 的 距 离 和 ， 结 合 定 义 与 三 角 形 中 两 边 之 和 大 于 第 三 边 （ 当 三 角 形 “压 扁 ”时 ， 两 边 之 和 等 于 第 三 边 ）的 属 性 ， 简 捷 地 求 解 出 结 果 的 ， 但 此 解 法 中 有 缺 点 ， 即 没 有 验 证 AB 是 否 能 经 过 焦 点 F，
11、而 且 点 M 的 坐 标 也 不 能 直 接 得 出 。5xyF120ABCD例 6、已知椭圆 过其左焦点且斜率为 1 的直线与椭圆及准线从左到右依次变于)52(12myxA、B 、 C、D、设 f(m)= ,（1）求 f(m),（2）求 f(m)的最值。CDAB分析：此题初看很复杂，对 f(m)的结构不知如何运算，因 A、B 来源于“不同系统” ，A 在准线上，B 在椭圆上，同样 C 在椭圆上，D 在准线上，可见直接求解较繁，将这些线段“投影”到 x 轴上，立即可得防)()(2)(2)() CDABCDAB Xxxxxmf )()(AC )(2BXx此时问题已明朗化，只需用韦达定理即可。解
12、：（1）椭圆 中，a 2=m，b 2=m-1，c 2=1，左焦点 F1(-1,0)12myx则 BC:y=x+1,代入椭圆方程即(m-1)x 2+my2-m(m-1)=0得(m-1)x 2+m(x+1)2-m2+m=0(2m-1)x 2+2mx+2m-m2=0设 B(x1,y1),C(x2,y2),则 x1+x2=- )5(m122)()(2(121 xxxCDABmfACDAB（2） )()( mf6当 m=5 时， 9210)(minf当 m=2 时， 34)(maxf点评：此题因最终需求 ，而 BC 斜率已知为 1，故可也用 “点差法”设 BC 中点为 M(x0,y0),通过将 B、C
13、坐CB标代入作差，得 ，将 y0=x0+1，k=1 代入得 ， ，可见10kmyx 010mx12mx2xCB当然，解本题的关键在于对 的认识，通过线段在 x 轴的“投影”发现 是解此CDABf)( CBxf)(题的要点。【同步练习】1、已知：F 1，F 2 是双曲线 的左、右焦点，过 F1 作直线交双曲线左支于点 A、B，若 ，12byax mABF2 的周长为（ ）A、4a B、4a+m C、4a+2m D、4a-m2、若点 P 到点 F(4,0)的距离比它到直线 x+5=0 的距离小 1，则 P 点的轨迹方程是 （ ）A、y 2=-16x B、y 2=-32x C、y 2=16x D、y
14、 2=32x3、已知ABC 的三边 AB、BC、AC 的长依次成等差数列，且 ，点 B、C 的坐标分别为(-1，0)，(1 ， 0)，A则顶点 A 的轨迹方程是（ ）A、 B、 1342yx )0(1342xyxC、 D、)0(2x )(2y且4、过原点的椭圆的一个焦点为 F(1，0)，其长轴长为 4，则椭圆中心的轨迹方程是 （ ）A、 B、)1(49)21(xyx )1(9)21(xyx7C、 D、)1(49)21(2xyx )1(49)21(2xyx5、已知双曲线 上一点 M 的横坐标为 4，则点 M 到左焦点的距离是 626、抛物线 y=2x2 截一组斜率为 2 的平行直线，所得弦中点的
15、轨迹方程是 7、已知抛物线 y2=2x 的弦 AB 所在直线过定点 p(-2，0)，则弦 AB 中点的轨迹方程是8、过双曲线 x2-y2=4 的焦点且平行于虚轴的弦长为 9、直线 y=kx+1 与双曲线 x2-y2=1 的交点个数只有一个，则 k= 10、设点 P 是椭圆 上的动点，F 1，F 2 是椭圆的两个焦点，求 sinF 1PF2 的最大值。195y11、已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，左焦点到坐标原点、右焦点、右准线的距离依次成等差数列，若直线l 与此椭圆相交于 A、B 两点，且 AB 中点 M 为(-2，1)， ，求直线 l 的方程和椭圆方程。34AB12、已知直线 l 和
16、双曲线 及其渐近线的交点从左到右依次为 A、B、C 、D 。求证：)0,(12bayx。CDAB8参考答案1、C，aBFaAF2,2112 选 C,24,4maAB2、C 点 P 到 F 与到 x+4=0 等距离，P 点轨迹为抛物线 p=8 开口向右，则方程为 y2=16x，选 C3、D ，且2ACB点 A 的轨迹为椭圆在 y 轴右方的部分、又 A、B、C 三点不共线，即 y0，故选 D。4、A 设中心为(x，y)，则另一焦点为(2x-1，2y)，则原点到两焦点距离和为 4 得 ，4)2(1(yx 又 c )2211xxxx7、y 2=x+2(x2) 设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2
17、)，AB 中点 M(x，y)，则 2)(,(, 121221 yxxx ， ，即 y2=x+20ykMPABy又弦中点在已知抛物线内 P，即 y228、4 ，令 代入方程得 8-y2=4 y 2=4，y=2，弦长为 4,8,422cbax9、 y=kx+1 代入 x2-y2=1 得 x2-(kx+1)2-1=0 (1-k 2)x2-2kx-2=01或9yF21Px 得 4k2+8(1-k2)=0，k= 1-k 2=0 得 k=1012k10、解：a 2=25，b 2=9，c 2=16设 F1、F 2 为左、右焦点，则 F1(-4，0)F 2(4，0)设 2,PrP则 2121)(cosr 2-
18、得 2r1r2(1+cos)=4b 21+cos= r 1+r2 ， r 1r2 的最大值为 a2214b211+cos 的最小值为 ，即 1+cos2a58cos ， 则当 时，sin 取值得最大值 1，2577rcos02即 sinF 1PF2 的最大值为 1。11、设椭圆方程为 由题意：C、2C 、 成等差数列，)0(2bayx ca2 ， a 2=2(a2-b2),a 2=2b224cca即椭圆方程为 ，设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2) 则 22byx 121byx12byx-得 即 k=10212102kbxm0k直线 AB 方程为 y-1=x+2 即 y=x+3， 代入
19、椭圆方程即 x2+2y2-2b2=0 得 x2+2(x+3)2-2b2=03x 2+12x+18-2b2=0， 34)18(3121 bxAB解得 b2=12， 椭圆方程为 ，直线 l 方程为 x-y+3=04y12、证明：设 A(x1，y 1)，D(x 2，y 2)，AD 中点为 M(x0，y 0)直线 l 的斜率为 k，则-得 设 ，221bax20kbax ),(),(,( 021 yxMBCyxB中 点 为10则 -得 0212byax 021kbyax由、知 M、 均在直线 上，而 M、 又在直线 l 上 ，:2l 若 l 过原点，则 B、C 重合于原点，命题成立 若 l 与 x 轴垂直，则由对称性知命题成立若 l 不过原点且与 x 轴不垂直，则 M 与 重合 CDAB
