1、11. 为精确值 的近似值； 为一元函数 的近似值；*x*xfyxfy1为二元函数 的近似值，请写出下面的公式： ：,yf,2*ex*rxe*1*yfx*1*r rxfyx*, ,2fyfyxyxy* * *, ,22rfefey 2、 计算方法实际计算时，对数据只能取有限位表示，这时所产生的误差叫 舍入误差 。3、 分别用 2.718281，2.718282 作数 e 的近似值，则其有效数字分别有 6 位和 7 位；又取 （三位有效数字） ，则 。1.7 -213.7 0 4、 设 均具有 3 位有效数字，则 的相对误差限为 0.0055 。12.6,.54x 12x5、 设 均具有 3 位
2、有效数字，则 的误差限为 0.01 。6、 已知近似值 是由真值 经四舍五入得到,则相对误差限为 0.0000204 .0AxTx7、 递推公式 如果取 作计算,则计算到 时,误差为,0n-1y=2, 021.4y10y;这个计算公式数值稳定不稳定 不稳定 .81028、 精确值 ，则近似值 和 分别有 3 位和 459263*14.3*145.3*24 位有效数字。9、 若 ,则 x 有 6 位有效数字，其绝对误差限为 1/2*10-5 。*.718xe10、 设 x*的相对误差为 2，求(x*) n的相对误差 0.02n11、近似值 *0.3关于真值 29.0有( 2 )位有效数字；12、
3、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；213、为了使计算 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式23346101yxx改写为,)64(310ty，为了减少舍入误差，应将表达式 1920改写为 92。14、改变函数 fxx()1 (x1)的形式，使计算结果较精确 xf1。15、设 ，取 5 位有效数字，则所得的近似值 x=_2.3150_.16、 已知数 e=2.718281828.,取近似值 x=2.7182,那麽 x 具有的有效数字是 4 。二、单项选择题：1、舍入误差是( A )产生的误差。A. 只取有限位数 B模型准确值与用数值方法求得的准确值C 观察与测量 D数学模型准确值与
4、实际值2、3.141580 是 的有( B )位有效数字的近似值。A 6 B 5 C 4 D 7 3、用 1+ x 近似表示 ex所产生的误差是( C )误差。A 模型 B 观测 C 截断 D 舍入 4、用 1+ 近似表示 31x所产生的误差是( D )误差。A 舍入 B 观测 C 模型 D 截断5、-3247500 是舍入得到的近似值，它有( C )位有效数字。A 5 B 6 C 7 D 86、( D )的 3 位有效数字是 0.236102。(A) 0.0023549103 (B) 2354.82102 (C) 235.418 (D) 235.541017、取 12.计算 431()x，下
5、列方法中哪种最好？（ C ）(A) 863； (B) 2； (C) 2163)； (D) 463()。三、计算题1. 有一个长方形水池,由测量知长为(500.01)米,宽为(250.01)米,深为(200.01)米,试按所给数据求出该水池的容积,并分析所得近似值的绝对误差和相对误差公式,并求出绝对误差限和相对误差限.解：设长方形水池的长为 L，宽为 W,深为 H，则该水池的面积为 V=LWH当 L=50,W=25,H=20 时，有 V=50*25*20=25000(米 3)此时，该近似值的绝对误差可估计为3 =VVLWHHL相对误差可估计为： rV而已知该水池的长、宽和高的数据的绝对误差满足
6、0.1,0.1,0.1LWH故求得该水池容积的绝对误差限和相对误差限分别为 3 25*0.15*20.15*20.17.57rVHL2.已知测量某长方形场地的长 a=110 米,宽 b=80 米.若 *0.1 0.1ab米 ， 米试求其面积的绝对误差限和相对误差限.解：设长方形的面积为 s=ab当 a=110,b=80 时，有 s=110*80=8800(米 2)此时，该近似值的绝对误差可估计为 =bssab相对误差可估计为： rs而已知长方形长、宽的数据的绝对误差满足 0.1,.ab故求得该长方形的绝对误差限和相对误差限分别为 80*.1.19025rsas绝对误差限为 19.0；相对误差限
7、为 0.002159。3、设 x*的相对误差为 2，求(x*) n的相对误差4 1*(),(),)0.2()nnr rnfxfx解 ： 由 于 故故4、计算球体积要使相对误差为 1%，问度量半径 R 允许的相对误差限是多少？解：令 ，根据一元函数相对误差估计公式，得 34VfR 231%R Rf从而得 10R5.正方形的边长大约为 100cm，问怎样测量才能使面积的误差不超过 1cm2 解：da=ds/(2a)=1cm 2/(2*100)cm=0.5*10-2cm,即边长 a 的误差不超过 0.005cm 时，才能保证其面积误差不超过 1 平方厘米。6假设测得一个圆柱体容器的底面半径和高分别为
8、 50.00m 和 100.00m，且已知其测量误差为0.005m。试估计由此算得的容积的绝对误差和相对误差。解： hrV2=2*3.1415926*50*100*0.005=157.0796325)*(=2 =0.0002r第一章 插值法一、填空题：1.设 xi(i=0,1,2,3,4)为互异节点，l i(x)为相应的四次插值基函数，则(x 4+2).402iiil2.设 xi(i=0,1,2,3,4，5)为互异节点，l i(x)为相应的五次插值基函数，则=54301iiiii x 54321x3.已知 05,4321,)( fff则，4. 。2x31,f,3_,_则5.设 则 3, =05
9、6.设 和节点 则 = 4.7.设 则 的二次牛0,16,24,fff0,1 6,012 7,fffx顿插值多项式为 0+16(x-0)+7(x-0)(x-1) 。8.如有下列表函数: ix0.2 0.3 0.4if0.04 0.09 0.16则一次差商 = 0.6 。0.2,4f9、2、 1)3(,2)(,1)(ff，则过这三点的二次插值多项式中 2x的系数为 -2 ，拉格朗日插值多项式为 ,或123Lxxx28x10、对 1)(3xf,差商 3,20f( 1 ), 4,320f( 0 )；11、已知 f(1)2， f(2)3， f(4)5.9，则二次 Newton 插值多项式中 x2系数为
10、( 0.15 )；12、设 46)(,)(,0)(fff ,则 )(1xl， )f的二次牛顿插值多项式为176)(2xxN。13、 )(,)(,0lln 是以整数点 nx,10 为节点的 Lagrange 插值基函数，则= 1 ， = j， ，当 2时)(3(204xlkk( 324x )。0nklx0nkjxl14、设一阶差商 ， 则二阶差商 15、通过四个互异节点的插值多项式 p(x),只要满足三阶均差为 0，则 p(x)是不超过二次的多项式616、若 4321()fx，则差商 248163,f 3 。二、单项选择题：1、设 f (-1)=1,f (0)=3,f (2)=4,则抛物插值多项
11、式中 x2的系数为( A )。A 05 B 05 C 2 D -22、拉格朗日插值多项式的余项是( B ),牛顿插值多项式的余项是( C ) 。(A) f(x,x0,x1,x2,xn)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn)，(B) )!1()()nfxPfxRnn (C) f(x,x0,x1,x2,xn)(xx0)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn)，(D) )(!()()1)xffnnn 3、有下列数表x 0 0.5 1 1.5 2 2.5f(x)-2 -1.75 -1 0.25 2 4.25所确定的插值多项式的次数是（ A ） 。（A）二次； （B）三次； （C）四次； （D）五
12、次4、由下列数表进行 Newton 插值，所确定的插值多项式的最高次数是（ D ）ix 1.5 2.5 3.5()f-1 0.5 2.5 5.0 8.0 11.5(A)5； (B)4； (C) 3； (D) 2。5、设 ()ilx是以 019(,)k 为节点的 Lagrange 插值基函数，则90()ikl( C )(A) ； （B） ； （C） i； （D） 1。 6、由下列数据0 1 2 3 4()f1 2 4 3 -5确定的唯一插值多项式的次数为( A )(A) 4； (B)2； (C)1； (D)3。三、问答题1.什么是 Lagrange 插值基函数?它们有什么特性？答：插值基函数 是
13、满足插值条件 的 n 次插值多项式，它可表示为 并有以下性质，72.给定插值点 可分别构造 Lagrange 插值多项式和 Newton 插值多项式，它们是否相同？为什么?它们各有何优点？答：给定插值点后构造的 Lagrange 多项式为 Newton 插值多项式为 它们形式不同但都满足条件 ,于是 它表明 n 次多项式 有 n+1 个零点，这与 n 次多项式只有 n 个零点矛盾，故即 与 是相同的。 是用基函数表达的，便于研究方法的稳定性和收敛性等理论研究和应用，但不便于计算，而 每增加一个插值点就增加一项前面计算都有效，因此较适合于计算。 3.Hermite 插值与 Lagrange 插值
14、公式的构造与余项表达式有何异同？答：Hermite 插值的插值点除满足函数值条件外还有导数值条件比 Lagrange 插值复什一些，但它们都用基函数方法构造，余项表达式也相似，对 Lagrange 插值余项表达式为，而 Hermite 插值余项在有条件的点 看作重节点，多一个条件相当于多一点，若一共有 m+1 个条件，则余项中前面因子为 后面相因子 改为即可得到 Hermite 插值余项。四、计算题1、设 ,求差商7351fx0012070182,2,2f ff 解： ，故76965f f0112012,8,7f根据差商的性质，得 70182,!, 0ffff 2、求满足下列条件的埃尔米特插值
15、多项式: :123iixy解：根据已知条件可求得82 20 12,511xxx代入埃尔米特三次插值多项式公式 00 30112222 =2351pxyxyxx3、如有下列表函数: ix0 1 2 3 4if3 6 11 18 27试计算此列表函数的差分表,并给出它的牛顿插值多项式及余项公式.解：查分表如下： ixifif2if3if4if0 31 6 32 11 5 13 18 7 1 04 27 9 1 0 0N4(x)=3+3(x-0)+1*(x-0)(x-1)=x2+2x+3,0x14、给出 的 函数表如下：xln0.40 0.50 0.60 0.700.9162910.6931470.
16、5108260.356675试用线性插值和抛物插值求 的近似值。54.0ln5已知9x -1 1 2F（x）3 1 -1请依据上述数据求 f(x)的 2 次 Lagrange 插值多项式。01012012202021,(),(),()()()()()231()xffxfxxLfxx解 ： 记 则所 以 ()21(2)()3xxx6.用插值法求满足以下条件的不超过三次的插值多项式f(0)=1,f(1)=2,f (2)=9,f(1)=3,并写出插值余项。 解：根据 Lagrange 插值多项式和 Newton 插值多项式得出22231LxNx设待插值函数为：3202Hkx根据得参数 则 313,
17、f 1,.x插值余项为：7、 已知 ix1 3 4 5)(if2 6 5 4分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求 )(xf的三次插值多项式 )(3xP，并求 )2(f的近似值（保留四位小数） 。答案： )5(43)1(6)51(4)3(2)3 xxL42331!fRfHx10)45(3)1(4)5(34)1(5xxx差商表为 ixiy一阶均差 二阶均差 三阶均差1 23 6 24 5 -1 -15 4 -1 0 41)(3)(41)3()1(2)(33 xxxxNP.2f8、已知 xsin区间0.4，0.8的函数表i0.4 0.5 0.6 0.7 0.8iy0.38942 0.47943 0.5
18、6464 0.64422 0.71736如用二次插值求 63891.0sin的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值。答案：解： 应选三个节点，使误差 |)(|!3)(|2xMR尽量小，即应使 |)(|3x尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点 7.0,65.最好，实际计算结果596274.0381.sin， 且 410532. )7.063891.)(09381.)(! 9、取节点 ,5.,2xx,求函数 xfe)(在区间0,1上的二次插值多项式 )(2xP,并估计误差。解： )15.0(.)10(.)( 5.002 eP)5.0(2)1(4)1(5.02.5.01 xexexe
