1、第二章习题答案2-2 真空中有一长度为 l 的细直线，均匀带电，电荷线密度为 。试计算 P 点的电场强度：（1）P 点位于细直线的中垂线上，距离细直线中点 l 远处；（2）P 点位于细直线的延长线上，距离细直线中点 l 远处。解：（1）可以看出，线电荷的场以直线的几何轴线为对称轴，产生的场为轴对称场，因此采用圆柱坐标系，令 z 轴与线电荷重合，线电荷外一点的电场与方位角 无关，这样 处取的元电荷z，它产生的电场与点电荷产生的场相同，为：qdR20e4zE其两个分量：（1）cos20zd（2）inzz R4eEd又 ta,cosR所以： （3）ddz2e式（3）分别代入式（1） （2）得：； 0
2、4Ecos dsin0z4dE（4）sisin00022d2又 （5）l4lsin式（5）代入式（4）得： l5E002由于对称性，在 z 方向 分量互相抵消，故有z zEel5eE0z2z Edyl / 2d图 2-2 长直线电荷周围的电场l / 2RzP（2）建立如图所示的坐标系在 x 处取元电荷 则它在 P 点产生的电场强度为dxqR20e4E其在 x 方向的分量为： 20xd又 lR2020xxl4dRdE)-(l3lxl4 0l2l2ll20x / 1)-(xel3E2-4 真空中的两电荷的量值以及它们的位置是已知的，如题图 2-4 所示，试写出电位 和),r（电场 的表达式。),(
3、r解：为子午面场，对称轴为极轴，因此选球坐标系，由点电荷产生的电位公式得： 201021r4qp)(又 ， 1)cos(rr212)cos(rdeeecr inin rdrd rr2 scsc 2120212012021 rcr4qrcr4qp )os()os( )(320301pE)( oxyd x Px R题图 2-42r1 232r2232r10 dreqcreq4 )()() cosinosin erc2rdqrc2rq41 er2rdqrc2rq41 232310 r232310 )()( )()( osinosincosos2-6 半径为 b 的无限长圆柱中，有体密度为 的电荷，与
4、它偏轴地放有一半径为 a 的无限长圆柱0空洞，两者轴线平行且距离为 d，如图 2-6 所示，求空洞内的电场强度。解：由于空洞存在，电荷分布不具有对称性，由此产生的场亦无对称性，因此不能用高斯定律求解。这是可把空洞看作也充满 ，使圆柱体内无空洞，然后再令空洞中充满- ，并单独作用，0分别求出两种场的分布后叠加即可。设空洞内的电场强度为 。E第一步 单独作用，如图（b）所示， 由体密度为 的电荷产生的电场强度为 ，由高斯0 0 1E定理llEqSD2002d111所以： e2E01xyob (b)00 xyo d( c)图 2-6(a)0第二步 单独作用产生的电场强度为 ，如图（c）所示。02El
5、lqSD200d22eE02第三步 将 和 在空洞中产生的场进行叠加，即0x001 e2de2注： xed2-7 半径为 a 介电常数为 的介质球内，已知极化强度 （k 为常数） 。rerP)(试求：（1）极化电荷体密度 和面密度 ；pp（2）自由电荷体密度 ；（3）介质球内、外的电场强度 。E解：(1) ， 2rkePp akrePnp（2） 因为是均匀介质，有ED00E因此 P02rkD(3) 球内电场， （ r a ）r20eakD200erakDE或 0V0Vspp0pS dSdqdE 2-9 用双层电介质制成的同轴电缆如题图 2-9 所示，介电常数 , 内、外导体1402单位长度上所
6、带电荷分别为 和 （1）求两种电介质中以及 和 处的电场强度与电通密度；1R3（2）求两种电介质中的电极化强度；（3）问何处有极化电荷，并求其密度。解：(1)由高斯定理可得： )R(2)(310eD电场强度 ， 故 E)R(42 )(8)RE320211ee0(2) 由 ，得两种电介质中的电极化强度为PED0 )R(4833221e0(3) 内、外导体圆柱表面上和两种电介质交界面上有极化电荷，它们分别是：在 处： 1R1p83)(ReP在 处： 3 34p在 处：: 2R 2221p 848)( RReP 图 2-92-10 有三块相互平行、面积均为 S 的薄导体平板，A 、 B 板间的厚度为
7、 d 的空气层，B、C 板间则是厚度为 d 的两层介质，它们的介电常数分别为 和 ，如题 2-10 所示。设 A、C 两板接地，1B 板的电荷为 Q，忽略边缘效应，试求：（1） 板间三区域内的电场强度；（2） 两介质交界面上的极化电荷面密度；（3） A、C 板各自的自由电荷面密度。解 (1) 在 A、C 板间的三介质区域内，分别为均匀电场，在Q 为正电荷时各电场方向如图所示，从而有012EdsQ从而解得 022 11 2 00110211()()()QQEEEsss及 及（2）在两介质分界面上2101120 1n20102nnp1pSQE eDeP （3）在 A、C 板上的电荷面密度分别为01
8、2 120 20()()CQEs s及2-12如题图 2-12 所示球形电容器中，对半地填充有介电常数分别为 和 两种均匀介质，两介质12交界面是以球心为中心的圆环面。在内、外导体间施加电压 U 时，试求：（1）电容器中的电位函数和电场强度；（2）内导体两部分表面上的自由电荷密度。解：（1）方法一：设内导体带电荷为 ，外导体带电荷 ，选球坐标，应用高斯定律QQsdDS由媒质分界面条件可知，在两种介质中 ，所以2121DE,QsdEsdsdsdsDSSSSS 12121 （1）QEr21 r21erQA B Cd d d2E10Qne120题图 2-10题图 2-12令外导体为参考导体，则电位函
9、数为（2） 2121212 RrQrdrQldERRr 2121212121lURR121UQ将上式带入（1） （2）得， r21eRE 212Rr方法二 ：用静电场的边值问题求解，在均匀介质 1 和介质 2 中，电位分别满足拉普拉斯方程，并且边界面条件相同，所以可判断两个区域的电位函数相同，有0U021RrRr2;取球坐标系有0rrr 22 sin1)(sini1)( 22在两种介质中， 都与 、 无关，所以0rr12)(上式的通解为 21c有边界条件解得： 1c2RU221RU所以 ，212rR r21eE(2) 两种介质中的电位移矢量分别为， 1D 2D根据分界面条件 2ne对于本题，设
10、媒质 2 为介质，媒质 1 为导体，因此有 ， 01n2eD则内导体两部分表面上的自由电荷密度为 ，12n11RUeE)( 12n12RUeE)(2-16 在半径分别为 a 和 b（ba）的同轴长圆柱形导体之间，充满密度为 的空间电荷，且内、0外筒形导体之间的电压为 U，如题图 2-16 所示。试用边值问题的方法求电荷区内的电位函数。解：圆柱形导体之间的电位满足泊松方程，对应的边值问题为 0ba02;在圆柱形坐标中电位仅是 的函数，因此泊松方程有如下形式：012上式的通解为 2120c4ln由给定的边界条件确定积分常数：， abUcln)(021 02022 4lnl4)(babUc所以： 0
11、2020202 4bab4ab4 lnllln)()(2-18 两平行导体平板，相距为 d，板的尺寸远大于 d，一板的电位为零，另一板电位为 ，两板0V间充满电荷，电荷体密度与距离成正比，即 。试求两板间的电位分布（注：x 0 处0)(板的电位为零） 。解：两平行导体平板间的电位满足泊松方程，忽略边缘效应，在直角坐标系对应的边值问题为 U0xdxx2;上式泊松方程转化为：题图 2-16-xoU)(x题图 2-18d02xd其通解 21036Cx由给定的边界条件确定积分常数：， 20216dU所以： xdx)(620上式第一项为电源对电位函数的贡献，第二项为电荷 的贡献。)(2-19 在无限大接
12、地导体平面两侧各有一点电荷 和 ，与导体平面的距离为 d，求空间电位的1q2分布。解：因为是无限大接地导体，所以，当 单独作用时，接地导体对 相当于屏蔽作用，当 单1 2q2q独作用时，接地导体对 相当于屏蔽作用，所以：1q单独作用时产生的电位在 所在侧，设 和 分别为 和 的镜像到 p 的距离，由镜像法得：1q 1r21)(4421020101 rqrq单独作用时产生的电位在 所在侧，设 和 分别为 和 的镜像到 p 的距离，由镜像法2q 3q2得： )1(44430202302 rqrq2-27 若将某对称的三芯电缆中三个导体相连，测得导体与铅皮间的电容为 0.051 ，若将电缆F中的两导
13、体与铅皮相连，它们与另一导体间的电容为 0.037 ，求：F（1）电缆的各部分电容；（2）每一相的工作电容；（3）若在导体 1、2 之间加直流电压 100V，求导体每单位长度的电荷量。解：三芯电缆的结构及各部分电容如图（a）所示（1） 对应于两次测量的等值电容电路分别如图（b）和图（c）所示：由图（b）得：， 051.3CF017.CF由图（c）得：037C10.F1.)(21图（a） 图（b）图（c） 图（d）图（e ）（2） 工作电容是指在一定的工作状态下的等值电容，在这里是指三相工作时一相的电容，等值电容如图（d）和（e）所示：所以，一相的工作电容为047.3C10F（3） 若在导体 1,2 之间接一直流电压 100V，则从 A,B 端看去的等效电容为：25.AB所以3.1025.ABABUCq mC/注：电缆是作为无限长来处理的，所以这里的电容均应理解为单位长度的电容。
