1、第八章 多元函数微分学第一节 基本概念、定理与公式一、二元函数的定义及定义域1 二元函数的定义定义 1 设 ， ， 是三个变量如果当变xyz量 ， 在在一定范围 内任意取定一对数值时，xyD变量 按照一定的法则 总有确定的数值与它们对zf应，则称变量 是变量 ， 的二元函数，记为zxy.其中 ， 称为自变量， 称为因变量.(,)zfxy z自变量 ， 的取值范围 称为函数的定义域.D二元函数在点 所取得的函数值记为0,xy， 或0xyz0(,)xyz0(,)f2 二元函数的定义域二元函数的定义域一般为平面区域上的点集二元函数的定义域较复杂，它可以是一个点，也可能是一条曲线或几条曲线所围成的部分
2、平面，甚至可能是整个平面整个平面或由曲线围成的部分平面称为区域；围成区域的曲线称为该区域的边界；边界上的点称为边界点，边界内的点称为内点不包括边界的区域称为开区域，连同边界在内的区域称为闭区域，部分包括边界的区域称为半开半闭区域能用封闭曲线围成的区域称为有界区域，反之称为无界区域开区域如: 2(,)14xyxyxo xyo闭区域 如: 22(,)14xyxy注：和一元函数一样，二元和二元以上的函数也只与定义域和对应关系有关， ，与用什么字母表示自变量与因变量无关例 1 求下列函数的定义域，并画出的图形(1) （2）2ln1zxyarcsin()zxy解（1） 要使函数有意义，应有 即2210x
3、，定义域为有界开区域 21xy22(,)1yy（2）要使函数有意义，应有 ，即1x11xy定义域为无界闭区域 (,)11xyxy3 二元函数的几何意义设 是二元函数 的定义域 内的(,)Pxy(,)zfxyD任一点,则相应的函数值为 ,有序数组 ，x， 确定了空间一点 ,称点集yz (,)Mxyz为二元函数的图形. 二(,)(,)(,)xfxyD元函数 的图形通常是一张曲面.,zf注：和一元函数一样，二元和二元以上的函数也只与定义域和对应关系有关，与用什么字母表示自变量与因变量无关.二、二元函数的极限与连续1二元函数的极限以点 为中心， 为半径的圆内所有点的00(,)Pxy集合 称为点 的 邻
4、域，2200(,)()xyxy0P记作 0UP定义 2 设二元函数 在点(,)zfxy的某一邻域内有定义（点 可以除外）,00(,)xy 0P点 是该领域内异于 的任意一点如果当点P0沿任意路径趋于点 时,函数(,)xy 0(,)xy总无限趋于常数 ，那么称 为函数f AA当 时的极限，记为(,)zxy0(,)(,)xyxy或 0limxyfA0(,)(,)lim(,)xyyfx说明：（1）定义中 的方式可能是多种多0P样的，方向可能任意多，路径可以是千姿百态的，所谓极限存在是指当动点从四面八方以可能有的任何方式和任何路径趋于定点时，函数都趋于同一常数.（2）倘若沿两条不同的路径， 不相等，0
5、lim(,)xyfy则可断定 不存在，这是证明多元函数极限0lim(,)xyfy不存在的有效方法（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似，如局部有界性、局部保号性、夹逼准则、无穷小、等价无穷小代换等.例 2 求极限20sin()lmxyy解 20sin()lxy220sin()lxyyx其中 21x20sin()lm0xyy例 3 证明 不存在 3620lixy证明：设 ，则3k其值随 的不同而变化，3620limxy6220li1xy kxk故极限不存在确定极限不存在的方法：（1）令点 沿(,)Pxy趋向于 ，若极限值与 有关，则ykx00(,)Pxyk在点 处极限不存在;(,)f 00,
6、（2）找出两种不同趋近方式，使 存在，但0lim(,)xyf两者不相等，则此时 在点 处极限不存在;(,)fxy0(,)P2二元函数的连续性定义 3 设函数 在点 的某一邻域内(,)zfxy0(,)xy有定义，如果 ,则称函数 在点00lim(,)xyf,f处连续.0(,)Pxy定义 4 设函数 在点 的某一邻域内(,)zfxy0(,)Pxy有定义，分别给自变量 ， 在 ， 处以增量 ，x，得全增量y000(,)(,)zfxyfxy如果极限 0limxyz则称 在 处连续(,)zfxy0(,)Pxy如果函数 在区域 内每一点都连续,则称zfD函数 在区域 内连续.(,)fxy如果函数 在点 不
7、连续，则称点(,)zfxy0(,)Pxy是函数 的间断点.0(,)Pxy例 4 求 23limxy解 因为函数 是初等函数,且点 在该函(,)xyf(2,3)数的定义域内,故 .235lim(,)6xyf例 5 讨论函数 22,0(,)0,xyf y的连续性解 当 时， 为初等函数,故函数在(,)0,xy()fxy点处连续.当 时，由例 6 知(,)0,xy,0,0lim(,)xyf不存在,所以函数 在点20limxy(,)fxy(0,)处不连续，即原点 是函数的间断点(0,)3有界闭区域上连续函数的性质性质 1（最值定理） 在有界闭区域上连续的二元函数，在该区域上一定有最大值和最小值性质 2
8、（介值定理） 在有界闭区域上连续的二元函数，必能取得介于函数的最大值与最小值之间的任何值三、偏导数1.偏导数的定义定义 5 设函数 在 的某邻域内有定(,)zfxy0(,)Pxy义, 固定 ,在 处给自变量 以增量 ,相应地得到0y0x函数 关于 的得增量(称为偏增量):z 000(,)(,)xzfxyf如果极限 00(,)limlixzf存在, 则称此极限值为函数 在点 处对(,)zfxy0(,)Pxy的偏导数,记为x， ， 或 .0xyz0xyf0xyz0(,)xfy类似地,函数 在点 处对 的偏导数定义为: (,)zf0(,)，0000,)(,)limliyzfxyfxy记为 ， ， 或
9、 .0xyz0xyf0xyz0(,)yf例 6 求 在点(1, 2)处的偏导数.223z解 把 看成常数,得 ，则y23zxy；1238xyz把 看成常数,得 ，则 .32zxy1237xyz例 7 求函数 的偏导数(,)arctnf解: ，221zyxx 221zxxy例 8 设 ，证明 .22uxyz2221uuxyz证明：因为 ， ， ， yz所以 222221uuxuxyz例 9 已知理想气体的状态方程 PV=RT(R 为常数).求证： 1PVT证: 因为 , ； , ； , R2PTVPVTPVR.所以 TVPR2R1注：偏导数的记号 , 是一个整体,不能看成微zxy商,否则导致运算
10、错误例 10 求 在点(0,0)处的偏22,0(,)0,xyf y导数.解: 20 00(,)(,)()(,)limlimxx xfff x.20 0(,)(,)()(,)li liyy yfff y注意: (1)二元函数在某点存在偏导数,并不能保证函数在该点连续,与一元函数可导必连续是不相同的(2)在分界点处的偏导数，用偏导数定义求(3)由偏导数的概念可知， 在点 处关于(,)fxy0(,)xy的偏导数 显然就是偏导数 在点 处的x0(,)xfy x函数值； 是偏导数 在点 处的函数y (,)yf0(,)y值从偏导数的定义中可以看出，偏导数的实质就是把一个自变量固定，而将二元函数看作另一自变
11、量的一元函数的导数2.偏导数的几何意义：设 为曲面00(,(,)Pxyf上的一点，过 作平面 截此曲面 得(,)zfxy0(,)zfxy一曲线，其方程为 ，则导数 就是曲线(,)zfxy0(,)xfy在点 处的切线对 轴的斜率（设0(,)zfxy00(,Pxy切线与 轴的倾斜角为 ，则 ） x0(,)tanxfy同样，偏导数 是曲面 与平面 的0(,)yfx (,)zfxy0x交线在点 处的切线对 轴的斜率（设切线0(,Px与 轴的倾斜角为 ，则 ） y0(,)tanyfx3、高阶偏导数函数 的两个偏导数 ， 它(,)zfxy(,)xzfy(,)yzfx们都是 ， 的二元函数,如果这两个函数关于 ， 的偏导数也存在, 即 ， ， ， ，称zxzyxzyzy它们为二元函数 的的二阶偏导数二元函数(,)zf的二元偏导数最多有 4 个将表为 或 或 ；zx2zx(,)xfyxz表为 或 或 ；y2(,)xyfxy
