1、本科毕业设计（20届）用计算法证明平面几何题所在学院专业班级数学与应用数学学生姓名学号指导教师职称完成日期年月I【摘要】平面几何的结论大都用图形的几何量表达，即平面图形的角度、长度、面积等，因此即使是严密的平面几何证明也离不开计算。另外，在数学新课程标准中，希望通过几何培养发展学生思辨论证、度量计算等能力，用计算法来证明平面几何题恰好兼顾这些方面。三角形是进一步学习其他平面几何图形的基础，所以计算法也要以解三角形为知识基础。按照计算的内容与结论所需几何量是否直接相关，可将计算法分为直接和间接计算法。事实上，计算法是多种方法自由灵活的组合，没有严格限制。【关键词】平面几何；证明；计算法。ABST
2、RACT【ABSTRACT】MOSTOFTHECONCLUSIONSOFPLANEGEOMETRYAREEXPRESSEDWITHTHEGEOMETRICQUANTITIES,SUCHASANGLE,LENGTH,ANDAREAETCTHEREFORE,EVENTHERIGOROUSPLANEGEOMETRICCONCLUSIONSCANNOTBEPROVEDWITHOUTCALCULATIONINADDITION,THENEWMATHEMATICSCURRICULUMSTANDARDSAIMTOCULTIVATEANDDEVELOPSTUDENTSABILITYTODIALECTICALLY
3、THINK,CERTIFY,MEASURE,CALCULATEETCUSINGTHECALCULATIONMETHODTOPROVEPLANEGEOMETRICPROBLEMSJUSTCANBALANCETHESESISSUESTRIANGLEISTHEBASISFORFURTHERSTUDYOFOTHERPLANEGEOMETRICGRAPH,SOTHECALCULATIONMETHODISBASEDONTHEKNOWLEDGEOFSOLVINGATRIANGLEACCORDINGTOWHETHERORNOTWHATWECALCULATEISDIRECTLYRELATEDTOTHEGEOME
4、TRICCONCLUSIONSWENEED,THECALCULATIONMETHODCANBECLASSIFIEDINTOTWOGROUPSTHEDIRECTCALCULATIONMETHODANDTHEINDIRECTCALCULATIONMETHODINFACT,THECALCULATIONMETHODISAMETHODINTEGRATEAVARIETYOFMETHODSFREELYANDFLEXIBLY,THEREISNOHARDANDFASTRULES【KEYWORDS】PLANEGEOMETRICPROBLEMS；PROVE；CALCULATION。II目录用计算法证明平面几何题错误
5、未定义书签。ABSTRACTI目录II1绪论111平面几何在中学数学中的地位112计算法在平面几何证明中的作用12计算法在等式型几何证明中的运用321直接计算3211计算长度3212计算角度4213计算面积622间接计算7221面积法7222代数法9223反证法123计算法在不等式型几何证明中的运用131直接证明1311计算长度1312计算角度2313计算面积332间接证明4321面积法4322代数法5323反证法64总结9参考文献10致谢错误未定义书签。附录错误未定义书签。11绪论11平面几何在中学数学中的地位“几何的科学只有当它被看作一种教育的工具时，才呈现出它全部的重要性。”法乔治格莱斯
6、尔（GEORGESGLAESER）数学是研究空间形式和数量关系的学科，而平面几何恰好是这两方面的重要载体。平面几何提供给学生直观形象的图像和严谨的逻辑结构，有利于启动学生大脑左、右两个半球的潜力，全面培养学生的能力，这包括直觉能力、形象思维能力、抽象思维能力和逻辑思维能力，从而进一步培养学生的创新能力1。然而，从上个世纪之交的“克莱因贝利运动”的第一次冲击，到60年代的普遍衰落，再到90年代的深入反思，20世纪的中学几何课程走过的是一条坎坷的改革之路。尽管如此，百年下来，几何课程仍然生机勃勃，而且更为成熟和完善，一个根本原因就在于它具有重要的教育价值2。（注中学的几何主要指平面几何）平面几何的
7、教育价值主要体现在以下几个方面（1）有助于学生形成科学世界观和理性精神。平面几何知识是人们认识自然、认识现实世界的中介和工具，是一种高级的认识和方法论系统。（2）培养学生良好的思维习惯。平面几何材料具有深刻的逻辑结构，丰富的直观背景和鲜明的认知层次。（3）有助于发展学生的演绎推理和逻辑思维能力。平面几何内容的直观性、难度的层次性、真假的实验性、推理过程的可预见性，使之成为训练逻辑思维与演绎推理的理想材料。（4）为不同水平的创造活动提供丰富的素材。如平面几何题的层次性使得不同能力水平的学生都能从中得到益处；在计算机诞生之后，平面几何语言（图形、图像等）作为一种重要工具，为几何直觉在其他领域的广泛
8、迁移提供了条件等。（5）对开展应用与建模教育具有开发价值。平面几何建立了简单直观、能为青少年所接受的数学模型，便于学生建立实际情况的几何模型，从而用概括化的数学方法去解决问题。（6）可以作为各种抽象数学结构的模型，为学生进一步学习数学，理解更为抽象的数学概念作好准备。毫无疑问，平面几何的这些教育价值是其立足中小学课本之根本。12计算法在平面几何证明中的作用中学生思维处于皮亚杰认知发展理论中的第四阶段，即形式运算阶段。已经具备分析性推理所要求具备的能力。同时，学生的思维不再局限于具体的情境中，而是以更加抽象化、理想化和合乎逻辑2的方式来思考解决问题的办法3。在我国，作为数学课程标准的四个知识领域
9、之一的“空间与图形”，要求之一就是结合合情推理与演绎推理来发展学生的推理能力4。因此，平面几何证明在中学平面几何教学中必不可缺。然而，平面几何证明题却常常是学生最畏惧的题型之一。原因之一就是平面几何证明方法多样，除了综合法、分析法这样的一般方法之外，还有分解法、扩充法、特殊化法、类比面积法、转换法、解析法、复数法、向量法等等特殊方法5。事实上，从平面几何证明题结论的表达形式来看，只需分为两类题型等式型问题和不等式型问题。若要证明两线平行、垂直、点共线、线共点、点共圆、圆共点、定值问题等，其结论均可用等式表达，所以是等式型问题，结论中明显摆出等号，如证明图形面积相等、角相等、线段相等、成比例等，
10、当然更是等式型问题。另一方面，若要证明点在圆内、外，某三条线段可构成三角形或某些几何量（线段、角度、面积）的大小关系式等，就是不等式型问题6。很明显，所有的几何证明题都是逃不开数量关系的计算的。那么，很自然就可以想到通过计算几何量来证明几何题这一途径。当然，这里所指的是最直接、最返璞归真的计算，运用的也是最基本、最简单的结论，而不同于解析法、复数法等证明方法。用计算法证明几何题其实是数学家们最早证明几何题时使用的方法（如勾股定理等），而非创新。这也符合学生的思维，是实践新一轮基础教育课程改革对数学中几何教学的要求采用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质的一条很
11、好的途径。这也渗透着数形结合这一重要的数学思想方法，有助于学生感受到数学思想的魅力。另外，在计算机广泛应用的今天，数学现代化已经成为了一种趋势，吴文俊先生曾特别对中学几何课程改革提出一整套看法。他明确指出为了使中学几何“腾飞”，必须采取“数量化”的方法，使几何可以计算，这是几何机械化的开端，也就是几何现代化的开端。因此从各个方面来看，计算法应用于平面几何证明都具有一定的意义。按照列式计算的内容与结论所需几何量是否直接相关，可以将计算法分为直接计算法和间接计算法。直接计算即直接求出（利用几何结论、根据图形特征设未知数求解等方法）某些几何量（线段、角度、面积等），然后证明等式或不等式成立。间接计算
12、则包括从反面证明结论，或者只列出计算某些几何量的式子，通过化简等步骤直接得到某些关系，可谓列式而不求式。32计算法在证明等式型几何题上的运用21直接计算211计算长度例1（巴布斯定理）设ABC的边BC的中点为P，则22222ABACAPBP。（如右图）证明令APB，根据余弦定理，有2222COSABAPBPAPBP及2222COSACAPCPAPCPCPBP，COSCOS2222COSACAPBPAPBP22222ABACAPBP例2以正方形ABCD的一边CD为底向形内作等腰ECD，使其两底角为15，则ABE是等边三角形。证明过点E作CD的垂线交于点F，过点E作AD的垂线交于点G，设正方形边长
13、为2A。由于ABCD是正方形，EDC是等腰三角形，那么根据图形的对称性，知道点F是边CD的中点。计算TAN1523DGEFAA，2233AGAAA，122EGFDAA，222232AEAGGEAAAAB由图形对称性知2BEAEA证得ABE是正三角形。4例3如图，在ABC中，45ABC，点D在边BC上，60ADC，且12BDCD。将ADC以直线AD为轴做轴对称变换，得到ACD，连接BC，求证BCBC。证明取CD中点E，连接BE。ACD是ABC以直线AD为轴做轴对称变换得到60ADCADC，18060BDCADCADC1122BDCDCDDEBDE是正三角形DECEBE易知BDC是直角三角形，即B
14、CBC。说明例1即中线定理，利用了余弦定理和已知条件，即三角法证明定理。该定理的特殊情形（A为直角），即是泰利斯定理的逆定理；该定理的推广即是斯图尔特定理。例2选自朱德祥初等几何研究第19页例3，利用了三角函数、勾股定理等直接计算长度，证明三角形ABE的边长相等。本题还有多种证明方法，如同一法、几何变换法、构造法、解析法等等。例3选自2010年全国初中数学竞赛天津赛区初赛第13题I，这里根据已知条件和图形信息直接计算角度，继而转化到线段的长度，最后证得，这是通过纯计算证明的，事实上也可以不添辅助线直接运用正弦定理求得CBD为90。212计算角度例1（泰利斯定理）设一个圆的直径为AB，在该圆周上
15、取A、B以外的任意点P，则APB为直角（如图）。证明把这个圆的中心，即AB的中点O与P点连结，因为OPA为等腰三角形，所以OPAOAP。还有，因为OPB也是等腰三角形，所以OPBOBP5两式相加，有APBOAPOBP但是，三角形三个内角之和等于两个直角，所以上式左右两端之和为两个直角。从而，APBR。例2如图，在ABC中，AD为BAC的平分线，BPAD，垂足为P。已知5AB，2BP，9AC。试说明3ABCACB。证明延长BP交AC于E，因为AD平分BAC，所以AD为BAC的对称轴。故24BEBP，5AEABABEAEB，954CEACAE，故BEECEBCACB3ABCABEEBCAEBACB
16、ACBEBCACBACB例3已知如图，O的直径AB与弦CD相交于E，BCBD，O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F。求证CDBF。证明连接ACBCBD，AB为圆的一条直径ACADACDADC且CAEDAE90AECAEDBF是O的切线90ABFAEDCDBF6说明例1的证明十分简单，通过等腰三角形底角相等的性质，判断两对角的相等关系，再利用三角形内角和为180，通过计算就能证得APBR。例2选自2003江苏省第十八届初中数学竞赛初二第2试第17题，这里利用了图形隐含的条件和所给条件直接计算线段长度，继而转化为角度间的关系计算角度，从而得到证明。例3是2009年浙江省宁波市中考第24题，这里通
17、过弧相等证明角相等，继而直接计算出直角角度，再根据同位角相等证得平行关系。类似的还有2008年浙江省宁波市中考第24题（题目略），利用了三角形内角和为180等条件，直接计算角度证得结论。213计算面积例1（希波克拉兹定理）直角ABC中，C为直角顶点。如果以两直角边AC，BC为直径向三角形外画半圆，以斜边AB为直径向顶点C所在的一侧画半圆，构成如图所示的两个月形。则ABCBCACSSS月形月形。证明首先，设直角三角形的三边长分别为BCACABABC，由毕达哥拉斯定理（勾股定理），有222ABC。其次，因半圆BC的面积是2211228AA，半圆AC的面积为2211228BB，直角ABC的面积是12
18、AB，221182ABCBCACSSSABAB半圆半圆。另一方面，半圆ABC的面积是2211228ABCCSC半圆。两式相减，得222111828BCACSSABABC月形月形12ABCABS7说明希波克拉兹定理的证明是通过计算图形面积，运用勾股定理，进行加减运算证得的。22间接计算221面积法例1（蝴蝶定理）已知如图，M是圆中弦AB的中点，过M任作另两弦CD、EF，连CF、DE与AB交于G、H。求证MGMH。证明只要证明MGMHAGBH就可以了。MGBHMCFBDEAGMHACFMDEMCFBDEMDEACFMCMFBDDEBEMDMEACCFAFMCMFMDMEMBMDMEMAMCMF1M
19、BMA因此，易知MGMH。例2在锐角ABC中，ABAC，CD、BE分别是AB、AC边上的高，DE与BC的延长线交于T，过D作BC的垂线交BE于F，过E作BC的垂线交CD于G。证明F、G、T三点共线。证明欲证F、G、T三点共线，只需证明DFEGFMGN即可。1SINSIN21SINSIN2BDFBMFBDBFABESDFBDABEFMSBMCBEBMBFCBE1SINSIN21SINSIN2CEGCNGCECGACDSEGCEACDGNSCNBCDCNCGBCD又BDBCBMBD，CEBCCNCE，SINSINDFBCABEFMBDCBE，SINSINEGCACDGNCEBCD8CDAB，BEC
20、A，B，D，E，C四点共圆，ABEACD又SINSINBDCEBCDCBESINSINBDCBECEBCD将、代入得DFEGFMGN，故F、G、T三点共线。例3（三角形等圆线的性质定理）自ABC的顶点A引等圆线AD，交对边BC于D，设ABC的边BCA，CAB，ABC，12PABC，则2ADPPA。证明如图，设ABD，ACD的半周长分别为1P，2P，内切圆半径分别为1R，2R，显然有180ADCADB，12RRBDCDA所以11221SIN21SIN2ABDACDBDADADBSPRSPRCDADADC即12PBDCADBDCDPBADCD又由余弦定理可知222222CBDADBDCDADCDB
21、联立，解得2ADPPA说明例1是张景中利用共边定理、共角定理及共圆定理对蝴蝶定理的新证法，思路就是先消去G、H，然后把所有的弦都化为以M为端点的线段之比。例2选自2005年全国初中数学联赛决赛第2题，结合了四点共圆性质、三角形面积公式、正弦定理等，也就是三角法与面积法结合证得结论。当然，本题还有其他证法如利用梅涅劳斯定理、合比9定理等。例3结合了三角形面积公式，正弦、余弦定理计算得证，实际上是计算法与三角法的综合应用。222代数法例1（蝴蝶定理）已知如图，M是圆中弦AB的中点，过M任作另两弦CD、EF，连CF、DE与AB交于G、H。求证MGMH。证明四对等角记作ACFECDE，BAMCDMB，
22、CAMFBME，DFCDFED设MGX，MHY，MAMBT。由正弦定理得SINSINMGGFACSINSINHEMHCDSINSINMGGCDBSINSINHDMHBA四式相乘并约分得22MGHDHEMHGFGC由相交弦定理即得22HDHEHBHATYTYTY22GFGCGAGBTXTXTX代入式得222222TYXTXY所以XY即MGMH，从而定理得证。例2（拿破仑定理）以任意三角形的三条边为边,向外构造三个等边三角形,则这三个等边三角形的外接圆中心恰为另一个等边三角形的顶点。证明如图，任意ABC，三边长为ABC，BCA，CAB，A、B、C分别是ABC外接的三个等边三角形的外心。则有10/2
23、3COS303CACC/23COS303BABB由余弦定理得2222COS60BCACABBACABAC22112COSCOS60SINSIN60333CBBACBACBC222221113SIN33323BCACBBCBACBCBC22212363ABCABCS上式是关于A、B、C对称的，由此可知AB、BC、CA有相同的表达式所以ABBCCA，从而定理得证。例3如图，已知一个四边形ABCD的面积为1，H、G和E、F分别为AD和BC的N等分点（靠近端点）。求证四边形EFGH的面积为2NN。证明在ADBC的特殊情形下，本题的结论显然成立。下面讨论AD不平行于BC时情形。设AD与BC交于点O，此时
24、，OA，OB，AOB以及BCAD都是定值。设OAA，OBB，AOB，BCAD。可暂时不管H，G（E，F）是AD（CD）的N等分点，只考虑AHGD，BEFC，则BEFCAHGD。又令AHX，ADM，则有1SIN2OGFSAMXBMX1SIN2OEHSAXBX于是EFHGOGFOEHSSS是X的二次函数式，不妨设为2FXPXQXR利用等定数法可定出P，Q，R的值。当0X时，OGFODCSS，OEHOABSS，所以1EFGHS，即01F，知1R。11当2MX时，OFCOEHSS，所以0EFGHS，即210242MMMFPQ当XM时，OFGOABSS，OEHOCDSS，所以1EFGHS，即211FMM
25、PMQ解得0P，2QM，而1R，故21XFXM令MXN，即得2EFGHNSN。例4如图，设P为ABC内一点，AP，BP，CP的延长线交ABC的三边于D，E，F，求证若APFBPDCPESSS，则P为ABC的重心。证明不妨设1APFS，APESX，BPFSY，CPDSZ。由111APYXPDZ，Z1Y11BPPEX，111CPXZPFY有111111ZXXYZYZZXXZXYXYYZXXYYZYZZXY两两相减若XY，代入得ZX，从而XYZ，再由1YZZX得1X，故1XYZ。若XY，则YZ，ZX，由得1111XYZ因为X，Y，Z均为正数，则11X，11Y，11Z从而方程无解。故方程组仅有正整数解
26、1XYZ。此时，AFFB，BDDC，CEEA，即P为ABC的重心。说明例1是蝴蝶定理的代数证法，结合运用了正弦定理、相交弦定理证得。12例2结合运用了正弦、余弦定理和三角形的面积公式，根据多项式特征考虑到三边的地位是平等的，从而证得结论。例3渗透了分类讨论的数学思想及函数与方程的数学思想，运用了待定系数法确定函数解析式，列式时结合了三角形的面积公式，从而得到结论。可以说前三题的证法都是综合运用了面积法（或三角法）与代数法。例4利用了方程组思想，结合利用了共边定理等，通过求解方程组的解得到面积关系，从而推得边长关系，最终证得结论。223反证法例1（蝴蝶定理）已知如图，M是圆中弦AB的中点，过M任
27、作另两弦CD、EF，连CF、DE与AB交于G、H。求证MGMH。证明设MGMH，则22MGMH，即22MGMH。由MAMB，有2222MAMGMBMH即MAMGMAMGMBMHMBMH于是AGBGBHAH由相交弦定理AGBGGFGCBHAHHDHE把、代入得GFGCHDHE由正弦定理SINSINFMGGFMGMFGSINSINCMGGCMGMCGSINSINDMHHDMHMDHSINSINEMHHEMHMEH注意到其中对顶角相等，同弧上圆周角相等，将上述四式代入得22MGMH，即MGMH。13但已设MGMH，故MGMH。说明事实上，蝴蝶定理在用反证法证得时，也结合运用了面积法、三角法等方法。反
28、证法在证明平面几何题时常常能化陌生为熟悉，尤其在不等式型几何证明题中，当原命题包含的可能性较多，而且直接证明不容易时，反证法不失为一个很好的方法。13计算法在证明不等式型几何题上的运用31直接证明311计算长度例1若凸四边形的对角线长为2A和2B，求证必有一条边不小于22AB。证明设O为四边形ABCD对角线交点不妨设90AOBCOD有222222COSABAOBOAOBOAOBAOBO同理222CDCODO222222ABCDAOCOBODO设M为AC的中点则2222222111122222AOCOACOMACOMACOMAC同理22212BOODBD222222122ABCDACBDAB在A
29、B、CD之中，必有一条边不小于22AB证毕。例2（FINSLERHADWIGER不等式）设A，B，C是ABC的三边，S是其面积，则22222243ABCSABBCCA，当且仅当ABC时取等号。证明由余弦定理有221COS2ABCABC即有221COSSIN2SINABCAABCA2亦即22TAN24ABCAS同理22TAN24BCABS，22TAN24CABCS注意到ABC中的不等式TANTANTAN3222ABC（等号当且仅当ABC时取得）由2222224TANTANTAN43222ABCABCBCACABSS整理即证得命题。说明例1、2都是引入了三角函数，即运用三角法计算长度、面积等几何量
30、，证得不等式。312计算角度例1设，是锐角三角形的三个内角，且，求证SIN2SIN2SIN2。证明，均为锐角，且2，2，2均为正数且2222设ABC内角分别是2，2，2，如右图222ABCSIN2SIN2SIN2ABCSIN2SIN2SIN2又SIN2SIN2，IN2SIN2，SIN2SIN23SIN2SIN2SIN2例2已知ABC中，ABAC，M为BC中点，P为ABM内一点，求证APBAPC。证明设PC交AM于点Q，连BQABAC，BMMC，BQQC，ABCACB，BAMCAM，QBMQCM，PBCQBC，PBCQCB，PACPAB，PCAPBA，180APBPABPBA，180APCPAC
31、PCA，APBAPC说明例1运用了三角形本身的性质和正弦定理，将边长大小关系装化为角度大小关系，证得结论。例2运用了纯粹的长度、角度大小比较并转换，最终证得结论。313计算面积例1求证三角形中，大边上的高小于小边上的高。证明1122ABCSABCFACBEABCFACBEABACCFBE4例2求证直接三角形斜边与斜边上的高的和大于两直角边的和。证明1122ABCSABCDACBCABCDACBCABBCACCDABACBCCDACCD，ABACACBCCDCDACCDABACBCCD即ABCDBCAC说明例1、2都是利用了最基本的三角形面积公式化简运算，证得边长的不等关系。32间接证明321面
32、积法例（竞赛题）在锐角ABC内有一点M使120AMBBMCCMA，又P为ABC内任一点。求证PAPBPCMAMBMC。证明过A、B、C分别作MA、MB、MC之垂线两两相交得DEF，则有18018012060BDCBMC同理，60CEA故DEF是正三角形，有DEEFFDD2PEFPADS，2PDFPBDS，2PDEPCDS2PEFPDFPDEPAPBPCDSSS2DEFS2MDEMEFMFDSSSMAMBMCD5PAPBPCMAMBMC说明本例是纯粹通过最基本三角形面积公式，化简计算得到边长的大小关系的。322代数法例1（中考题）如图所示，P为O外一点，PA、PB为O切线，A、B为切点，OP与O
33、交于点D，BC是直径，四边形ACOD的面积是BAD面积的2倍。请回答四边形BPAC和O的面积哪一个大并说明理由。证明BC是O直径，PA、PB为O切线ABAC，PAPBAPOBPO，PAB，ACOP12SAEODAC四边形ACOD，12ABDSABEDAEDE又2ABDACODSS四边形122AEODACAEDE，即4ODACDE设O半径为R，ACB则在RTABC中，COS2COSACBCR且12COSCOS2DEDOEORRRR又112COS44DEODACRR由、得1COS2COS4RRRR，即1COS2，即60易知60ABP，则ABP为正三角形，3ABR22135333244ABCABPB
34、PACSSSRRRR四边形2OSROPACSS四边形B，故O面积大6例2在ABC中，A，B，C为其三边长，R，R，P分别为其外接圆半径，内切圆半径和半周长。求证3ABCRPAPBPCR当且仅当ABC为正三角形时等号成立。证明设AYZ，BZX，CXY，PXYZ（,XYZR）4XYYZZXRS，XYZRXYZ，SXYZXYZ则所证不等式等价于34XYYZZXYZZXXYXYZXYZ222222222222432YXYXZXZXYZYZXYZXYYZXZXZYZXY2222226XYXZYZYZXZXYXYZ而2223XYYZZXXYZ，2223XZYXZYXYZ由此即证。说明例1的证明过程中综合运
35、用了面积法、三角法和代数法三种方法。例2的证明则是运用了基本不等式，其中的R，R，S公式是利用三角法计算得到的。323反证法例1若凸四边形的对角线长为2A和2B，求证必有一条边不小于22AB。证明假设凸四边形的各边都大于L（22LAB），分别以A，C为圆心，以L为半径作圆。则B，D在这些圆周之外，且2ACA，如右图22ACAL，两圆相交7设E，F为两圆交点，AC与EF交于M点，AC，BD相交于O则2222222AEFEMLB1若AOAM，则BDKLEF2若AOAM，则BD大于BD与圆C相交的弦，它又不小于EF但2BDBEF与假设矛盾，所以原命题成立。例2如图，D、E、F分别为ABC三边（端点除
36、外）BC、CA、AB上任意一点。求证AEF，BDF，CDE中至少有一个面积不大于ABC面积的14。证一令AEA，AFB，BFC，BDD，CDE，CEF。假设AEFS，BDFS，CDES均大于14ABCS，则由1SIN2CDESEFC及1SIN2ABCSDEFAC有111SINSIN242EFCDEFACSIN0C（0C，）14EFDEFA同理14ABAFBC，14CDDEBC322214ABCDEFDEFABC但24DEDE，即214DEDE。同理214BCBC，214FAFA322214ABCDEFDEFABC显然，与矛盾，所以原命题得证。8证二取三边上的中点D、E、F，则1S、2S、3S恰
37、为14ABCS。假设存在点D、E、F，满足1S、2S、3S均大于14ABCS。设AFCFA，ADBDB，BECEC，FF长为X（0XA）。则11SS，即11SINSIN22ADAFAADAFA，计算得BXDDAX又22SS，即SINSINBDBEBBDBEB，计算得2CXEEAX则33SS，即32ACCXAXACAX，整理为230X，显然不成立故假设不成立，所以，命题得证。说明例1的证明过程十分完整，体现了分类讨论的数学思想。例2的证法一是在假设的基础上运用面积法、三角法来列式计算，结合基本不等式最终得出矛盾，证得命题。例2的证法二是在假设的基础上计算得到边长，证得矛盾，所需的知识基础比证法一
38、更为单纯。94总结由上可知，计算法作为平面几何的一种证明方法是返璞归真的，更是包含丰富的数学内涵和深刻的教育意义的。按所要证明的结论的表达形式，将平面几何证明题分为两类等式型问题和不等式型问题。按照列式计算的内容与结论所需几何量是否直接相关，将计算法分为直接计算和间接计算。直接计算主要指直接列式计算平面几何的几何量（包括长度、角度、面积等），由于三角形是平面图形的基础，计算时往往会运用三角法（即引进三角函数）证明几何题。而间接计算是当不能直接求得所需的几何量时的方法，包括面积法、代数法、反证法等。在运用面积法时常需结合三角法，张景中对面积法的研究是最为全面的，具体地可见他的文献著作。在运用代数
39、法时往往涉及到多项式知识、不等式知识，更重要的是渗透了函数与方程的数学思想。在运用反证法时往往还渗透着分类讨论的数学思想，当然也常常要结合前面所述的计算方法。很显然，用计算法证明几何题最为基础的知识还是解三角形，所以与三角法结合最为密切。而间接计算法渗透了更多的数学思想方法，对于培养学生的数学素养具有一定的意义。本文最后按类别选取了少数的几何证明题来展现计算法的美妙之处，这些几何证明题包括了历史上著名的几何结论，近年来的中考题、中学生竞赛题，以及数学爱好者自己创编的几何证明题。最后，本文仍存在许多不足。如对计算法的汇总归类十分粗糙，事实上可以按照计算的依据、几何图形的特征等多个角度对其类别进行
40、更为细致和严密的划分，也可以挖掘各方法所蕴含的数学思想方法找出其共通之处进行统一；在中学数学课程改革的大背景下，对于空间几何图形、开放式几何证明题等改革内容更是没有或极少涉及等等。10参考文献1徐彦辉，孙名符直观与论证的统一几何课程改革关键问题的哲学思考J武汉教育学院学报，200162鲍建生几何的教育价值与课程目标体系J教育研究，200043STERNBERGROBERTJ，WILLIAMSWENDYM教育心理学M，张厚粲，译中国轻工业出版社，20034中华人民共和国教育部全日制义务教育数学课程标准（实验稿）M北京师范大学出版社，200175赵振威，章士藻中学数学教材教法（修订版）第三分册初等
41、几何研究M华东师范大学出版社，20096沈文选数学奥林匹克中的几何问题研究与几何教学探讨J数学教育学报，2004117日矢野健太郎几何的有名定理M上海科学技术出版社，19868朱德祥初等几何研究M高等教育出版社，19929张景中几何解题新思路M中国少年儿童出版社，199310王兵几何学的思想与方法M山东大学出版社，200911德菲利克斯克莱因高观下的初等数学M复旦大学出版社，200812美乔治波利亚数学的发现对解题的理解、研究和讲授M科学出版社，201013梁绍鸿初等数学复习及研究平面几何M哈尔滨工业大学出版社，200814邓安邦平面几何证明题的论证途径J四川师范大学学报（自然科学版），198
42、7315陈昌虎平面几何证明题复习导引J数学教学通讯，1981316蔡凤仙平面几何中的代数证明方法J科技信息，2009617黄建国巧用三角形面积公式证明平面几何题J商洛师专学报（自然科学版），1995218袁杰例谈用计算方法证几何题J中学数学月刊，20011219张润华用计算法证明几何题J中学生数学月刊，20037820KEITHPLEDGERJOHNSYLVESTEREDEXCELGCSEMATHEMATICSHIGHERCOURSECIRCLEGEOMETRYMHEINEMANN,200621KEITHPLEDGERJOHNSYLVESTEREDEXCELGCSEMATHEMATICSHIGHERCOURSESIMILARSHAPESMHEINEMANN,2006
