1、说 题 稿沈阳市第十一中学 孔宇问题出处：2014 年高考浙江卷（文科）第 9 题设 为两个非零向量 的夹角,已知对任意实数 的最小值为 1. ba |,atb( )A.若 确定,则| |唯一确定B.若 确定,则| |唯一确定bC.若| |确定,则 唯一确定aD.若| |确定,则 唯一确定母题：必修 4,第 111 页练习 A 第 2 小题 .|,10,8|,6|, babaab 求已 知 向 量这道题的常见解法有三种 ：代数法、几何法、坐标法。【代数法】将向量模的平方转化为向量的平方，运用向量的数量积运算得到答案。 132|5|cos|)(| 222babba【几何法】利用向量线性表示的几何
2、意义和余弦定理求解。 132| 132|60,baOCAOCbaB由 余 弦 定 理 ， 易 得中 ， 则【坐标法】合理建系，利用坐标使运算简化，得出答案。该法有一定的局限性，适用于坐标方便表示的情况。 132)4(2| ,)3,()0,6baOBA解法:【代数法】 唯 一 确 定 。确 定 ，当 有 两 个 值，确 定 ，当即 的 最 小 值 为 ：所 以 ， 有 最 小 值 为时 ，当 |,sin1| ;i|snsin| sin|)cos1(|4cos|cos|2|)(| 2222222 22bbbat bbabt btabt 归纳小结： ，是一个与| |无关的量。sin|atb的 最 小
3、 值 为 ：a【几何法】题目立意，思想方法知识点考查：（1 ）向量的模 (2)向量的数量积 (3)二次函数求最值 (4)向量的线性运算的几何意义。数学思想方法：（1）转化思想 （2）数形结合思想 问题变式与拓展【变式 1】意图：改变 t 的位置，选 A。 （ 1|, 的 最 小 值 为数的 夹 角 ， 已 知 对 任 意 实为 两 个 非 零 向 量设 btaba）【变式 2】给向量 增加常系数，选 B。 （ 1|2|, 的 最 小 值 为数的 夹 角 ， 已 知 对 任 意 实为 两 个 非 零 向 量设 batba）【变式 3】改变最小值，选 B。 （ 2|, 的 最 小 值 为数的 夹
4、角 ， 已 知 对 任 意 实为 两 个 非 零 向 量设 batba ）将题目内容具体化，降低题目的难度，改编成填空题，使学生更易入手。【改编 1】 和夹角具体化，求最小值。|b。的 最 小 值 为 ：的 夹 角 为已 知 非 零 向 量 )(|,2|,10, Rxbaa【改编 2】夹角和 最值给定，求|x)(R|。|3)(|,0 bxb ，的 最 小 值 为，的 夹 角 为已 知 非 零 向 量【改编 3】 和 最值给定，求夹角|ax)(。,)(|,2|, 最 小 值 为，的 夹 角 为已 知 非 零 向 量 Rxba【改编 4】求取最值时的 x 值。 （此时需给出| |）。xba取 得
5、最 小 值 时， 当的 夹 角 为已 知 单 位 向 量 )(|10, 【拓展 1】 时，构造二次函数求最值Ryx当的 最 大 值 等 于 （ ）则 ，的 夹 角 为若是 单 位 向 量 ， 非 零 向 量设 | 30,),(,mbaRyxbam .2| 2113)(3 13)(3|:| 2 222222的 最 大 值 为故 的 最 小 值 为时 ，当解 mxxyy xyxyxyxbya 几何解释：几何画板截图【拓展 2】给定 x,y 的值，给定 值。利用 ，联系均值不等|2ba，式。:|,120,4| 的 最 小 值 是为 重 心 ， 则中 ， AGBACABC022 12cos|9|1|9|31| 3,4|, baabaAGAGCB有设 是 等 号 成 立 。当 且 仅 当 2| 32|3|92 ba ba 几何解释：当三角形为等腰三角形时，有最值。【拓展 3】的 最 小 值 是则满 足若 向 量 ba,3|, 89-49 |2|4|43|2|2 22 baba baba ， 解 得于 是 取 等 ）（ 当 且 仅 当又从 而 可 知由几何解释：当两个向量反向并且 ，有最值。|当简介：孔宇，2001 年毕业于辽宁师范大学，硕士研究生。中学一级教师。一直在一线从事教育教学工作，现任 11 中学高三年级数学文科备课组长。
