1、第 1 页 共 3 页2()()()fxafbaxbaxb函 数 解 析 式 的 七 种 求 法一、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目。其方法：已知所求函数类型，可预先设出所求函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数。例 1 设 是一次函数，且 ，求 )(xf 34解：设 ，则ba)0(， 3423212 或 )()( xfxf 或 二、配凑法：已知复合函数 的表达式，求 的解析式， 的表达式容易配成 的运算形式fgx()f()fgx()gx时，常用配凑法但要注意所求函数 的定
2、义域不是原复合函数的定义域，而是 的值域 ()f ()例 2 已知 ，求 的解析式21)(xxf0()fx解： ， ， 122)(x三、换元法：已知复合函数 的表达式时，还可以用换元法求 的解析式用来处理不知道所求函数的()fg)f类型，且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。它主要适用于已知复合函数的解析式，但使用换元法时要注意新元定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域。例 3 已知 ，求 xxf2)1()1(f解：令 ，则 ， tt2t， xxf)(,1)()(2ttf， 12)( xx1)0(四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法例 4 已知：函数 的
3、图象关于点 对称，求 的解析式)(2xgyxy与 )3,2()(g解：设 为 上任一点，且 为 关于点 的对称点),(MyMx3,2则 ，解得： ， 点 在 上 ， 32yxyx64),(yxM)(xgxy2把 代入得： x64)()(2x整理得 ， 72y672xg五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式例 5 设 求 ,)1(2)(xfxff满 足 )(f解 显然 将 换成 ，得： ,0x1xfxf1)(2解 联立的方程组，得： xf32)(例 6 设 为偶函数， 为奇函数，又 试求 的解析式)(xfg,1)(xgxf
4、 )(gf和解 ，又 ，用 替换 得：)(),(xf x，即 ，解 联立的方程组，得 ，1()xgf xf 1)(2f21(小结：消元法适用于自变量的对称规律。互为倒数，如 f(x)、 ；互为相反数，如 f(x)、f(-x)，通过对称代换1()fx构造一个对称方程组，解方程组即得 f(x)的解析式。六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式例 7 已知： ，对于任意实数 x、y，等式 恒成立，求 1)0(f )12()(yxfyxf )(xf解 对于任意实数 x、y ，等式 恒成立，12)(f不妨令 ，则
5、有 )(0) 2yyyf再令 得函数解析式为： xy)2x例 5：已知 求 。(0)1,()(1),ffabfab(f第 2 页 共 3 页解析：令 则 令 则0,a2()0(1)1fbfbbx2()1fx小结：所给函数方程含有 2 个变量时，可对这 2 个变量交替用特殊值代入，或使这 2 个变量相等代入，再用已知条件，可求出未知的函数，至于取什么特殊值，根据题目特征而定。通过取某些特殊值代入题设中等式，可使问题具体化、简单化，从而顺利地找出规律，求出函数的解析式。七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式例 8 设 是
6、定义在 上的函数，满足 ，对任意的 N 都有 ，)(xfN1)(fba, abfbf )()(求解 ， 不妨令 ，得：fbaf ,)()(， 1,xa，xfx1)(又 (1,)1(f故令式中的 x1 ，2，n1 得： 2)(3)(2()1fffn ， ， ，将上述各式相加得： ， ，nf() 231Nxf,2)(三、练习（一）换元法 1已知 f(3x+1)=4x+3, 求 f(x)的解析式. 2若 ,求 .xf1)()(f（二） 配变量法 3已知 , 求 的解析式. 4若 ,求 .21)(xxf)(f x2)(f（三） 待定系数法 5设 是一元二次函数, ,且 ,)(f )()(xfg21)(
7、1gx求 与 .)(xfg6设二次函数 满足 ,且图象在 y 轴上截距为 1,在 x 轴上截得的线段长为 ,求)(xf )2()(xff 2的表达式.)(f（四） 解方程组法 7设函数 是定义(,0)(0,+ )在上的函数,且满足关系式 ,求)xf xfxf4)1(2)3的解析式.)(xf8 （1）若 ,求 . （2）若 f(x)+f(1-x)=1+x,求 f(x).xfx1)()(f（五） 特殊值代入法 9若 ,且 ，求值)()(yfxyf1f.)204(5)3(42)1(ffff 10已知： ，对于任意实数 x、y，等式 恒成立，求1)0(f )12()(yxfyxf )(xf（六） 利用
8、给定的特性求解析式.11设 是偶函数,当 x0 时, ,求当 x0 时， 的表达式.)(xf exf2)( )(f12对 xR, 满足 ,且当 x1,0时, 求当 x9,10时 的)(xf )1()(xff xf2)()(xf表达式.例 6、已知函数 对于一切实数 都有 成立，且 。(1)求)(xfyx, xyfyf )12()(0)1(f的值；(2)求 的解析式。)0(f第 3 页 共 3 页练 习求函数的解析式例 1已知 f (x)= ，求 f ( )的解析式 （ 代入法 / 拼凑法 ）21x变式 1已知 f (x)= ， 求 f ( )的解析式22x变式 2已知 f (x+1) ，求 f
9、 (x)的解析式23例 2若 f f (x)4x 3，求一次函数 f (x)的解析式 （ 待定系数法 ）变式 1已知 f (x)是二次函数，且 ，求 f (x)214ffx例 3已知 f (x) 2 f (x )x ，求函数 f (x)的解析式 （ 消去法/ 方程组法 ）变式 1已知 2 f (x) f ( x)x1 ，求函数 f (x)的解析式变式 2已知 2 f (x) f 3x ，求函数 f (x)的解析式例 4设对任意数 x，y 均有 ，223fxyfxyxy求 f（x）的解析式 （ 赋值法 / 特殊值法）变式 1已知对一切 x，y R， 都成立，且 f（0）=1，21fxyfxy求 f（x ）的解析式
