1、凌源市 20172018 学年第一学期高二年级期末考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】集合 ， ,所以 .故选 C.2. “ ”是“ ”的（ ）A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由 解得 x2，或 x2“是“ “成立的充分不必要条件。故选：B.3. 函数 的最大值是（ ）A. -1 B. 1 C. 6 D. 7【答案】B【解析】根据题意得： ，所以 .又
2、，为减函数， 为增函数，所以函数 为减函数，当 时取得最大值 1.故选 B.4. 已知双曲线的中心为原点， 是双曲线的一个焦点， 是双曲线的一条渐近线，则双曲线的标准方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】双曲线的中心为原点， F(3,0)是双曲线的个焦点，设双曲线方程为 ， a0， 是双曲线的一条渐近线， ，解得 a2=4，双曲线方程为 .故选 D.5. 若直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则可能使 的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则使 ，只需 即可.四个选项中，只有 D， 满足.故选 D.6. 已知 为抛物
3、线 上一点，则 到其焦点 的距离为（ ）A. B. C. 2 D. 【答案】A【解析】把 代入抛物线方程得：2=2 p， p=1.抛物线的焦点为 F(0, ).抛物线的准线方程为 y= . A 到准线的距离为 1+ = . AF= .故选：A.7. 执行如图所示的程序框图，如果输出的 值为 3，则输入 的值可以是（ ）A. 20 B. 21 C. 22 D. 23【答案】A【解析】由题意，模拟执行程序，可得k=0， S=0，满足条件 Sa， S=20+3=3， k=0+1=1满足条件 Sa， S=23+3=9， k=1+1=2满足条件 Sa， S=29+3=21， k=2+1=3由题意，此时，
4、应该不满足条件 21a，退出循环，输出 k 的值为 3，从而结合选项可得输入的 a 的值为 20.故选：A.8. 为得到函数 的图象，只需要将函数 的图象（ ）A. 向左平移 个单位长度 B. 向左平移 个单位长度C. 向右平移 个单位长度 D. 向右平移 个单位长度【答案】D【解析】因为所以只需要将函数 的图象向右平移 个单位长度即可.故选 C.点睛：本题考查三角函数的图象变换和三角函数的性质；本题的易错点是“向右平移时，平移单位错误” ，要注意左右平移时，平移的单位仅对于自变量 而言，如：将的图象将左平移 个单位时得到函数 的图象，而不是的图象.9. 若 ， ，则 等于（ ）A. B. C
5、. D. 【答案】A【解析】 .即 .又 ，所以 ，所以 ，于是 ，所以 ，故选 A.10. 若 满足约束条件 ，则 的最大值是（ ）A. B. 1 C. 2 D. 3【答案】C【解析】做出不等式组表示的可行域，如图所示：设 ,则 .据图分析知当直线 经过直线 和 的交点 A(1,2)时， 取得最大值 2，故选 C.点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.11. 某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（ ）A
6、. B. C. D. 【答案】B【解析】由三视图可知几何体为圆柱与 球的组合体。圆柱的底面半径为 1，高为 3，球的半径为 1.所以几何体的表面积为 12+2 13+4 12 + 12+ 12=9 .故选 B.点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然
7、后再根据三视图进行调整.12. 函数 的定义域为 ，图象如图 1 所示；函数 的定义域为 ，图象如图 2 所示，方程 有 个实数根，方程 有 个实数根，则 （ ）A. 6 B. 8 C. 10 D. 12【答案】C【解析】试题分析：注意到 ， 有 个根， 有 个根，有 个根，故 .注意到 ， ， 有 个根，故，所以 .考点：函数的零点，复合函数.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13. 已知 ，且 ，则 的最小值是_【答案】4【解析】由 ，得 .当且仅当 ，即 时，等号成立.答案为：4.14. 已知向量 ， ，且 ，则 的值为_【答案】12【解析】向量 ， ，.由
8、，得 .解得 .点睛：本题主要考查了奇函数的性质及基本不等式的应用，基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆” “拼” “凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正” “定” “等”的条件15. 已知 是直线 上的动点， 是圆 的切线， 是切点，是圆心，那么四边形 面积的最小值是 _【答案】【解析】试题分析：因为圆的方程 可化为 ，圆心 ，半径为 ，依题作出草图，可知 ,所以四边形 面积的最小值就是 的最小值,而 ,本题要求出最小的 的值,即为圆心
9、到直线 的最短距离 ,所以 ，即四边形 面积的最小值是 .考点：1.点到直线的距离；2.切线的性质；3.转换的思想.16. 椭圆 上的任意一点 (短轴端点除外)与短轴上、下两个端点 的连线交 轴于点 和 ，则 的最小值是_【答案】可得 ,同理可求 ,所以 .所以 .三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知 函数 在区间 上有 1 个零点； 函数 图象与 轴交于不同的两点.若“ ”是假命题， “ ”是真命题，求实数 的取值范围.【答案】【解析】试题分析：对于命题 p，设 y=f（x） ，知道该函数为二次函数，对称轴为 x=1，从而有 ，解
10、该不等式组即可得到 00，从而可解得或 并且根据条件可知 p 真 q 假，或 p 假 q 真，求出这两种情况的 a 的取值范围再求并集即可试题解析：对于 设 .该二次函数图象开向上，对称轴为直线 ，所以 ，所以 ；对于 函数 与 轴交于不同的两点，所以 ，即 ，解得 或 .因为“ ”是假命题， “ ”是真命题，所以 一真一假.当 真 假时，有 ，所以 ；当 假 真时，有 ，所以 或 .所以实数 的取值范围是 .点睛：（1）当命题 p 与 q 的关系不好判断时，我们可以考虑写出命题 p,q 的否定，即 与，分析出 与 的关系，再根据互为逆否命题同真同假进行判断。为真，即 p 与 q 同时为真。
11、） 为假，即 p 与 q 中至少有一个为假。为真，即 p 与 q 至少有一个为真。 为假，即 p 与 q 同时为假。（4） 与 的真假性相反。18. 在数列 中， ， ， .（1）求证：数列 为等比数列；（2）求数列 的前 项和.【答案】(1)见解析；(2) 【解析】试题分析：（1）要证明数列 为等比数列，应证明 为常数，设法对进行代数变形即可得证；（2）在（1）证明的基础上可求得 ，利用乘公比错位相减法即可实现求和试题解析：（1）由题意 所以数列 为等比数列（2）得考点：数列的递推公式、等比数列定义的应用及其前 项和公式19. 已知顶点在单位圆上的 中，角 的对边分别为 ，且 .（1）求 的
12、值；（2）若 ，求 的面积.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得2sinAcosA=sinA，又 0A，即可求得 cosA 的值（2）由同角三角函数基本关系式可求 sinA 的值，由于顶点在单位圆上的ABC 中，利用正弦定理可得 ，可求 a，利用余弦定理可得 bc 的值，利用三角形面积公式即可得解试题解析：解：（1）因为 ，所以 ，所以 .因为 ，所以 ，所以 .因为 ，所以 .所以 ，所以 .（2）据（1）求解知 ，又 ， ，又据题设知 ，得 .因为由余弦定理，得 ，所以 .所以 .20. 某市电视台为了提高收视率而举办有奖问答活动，随机对该市 1565 岁的人群抽样了人，回答问题统计结果及频率分布直方图如图表所示.（1）分别求出 的值；（2）从第 2，3，4 组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取 6 人，则第 2，3，4 组每组应各抽取多少人？（3）在（2）的前提下，电视台决定在所抽取的 6 人中随机抽取 2 人颁发幸运奖，求所抽取的人中第 2 组至少有 1 人获得幸运奖的概率.
