1、毕业论文文献综述数学与应用数学关于R分块循环矩阵的若干性质循环矩阵是T矩阵的一种特殊情形，有许多特殊而良好的性质和结构。在阅读相关文献的基础上，我对循环矩阵的相关知识有了初步的了解，也促使我想进一步研究关于循环矩阵的有关知识。循环矩阵是一门年轻的学科，在众多的科学和工程领域，如编码理论、数理统计、理论物理、结构计算、数字图像处理等许多方面有着广泛的应用。循环矩阵概念的出现始于1885年美国学者MUIRT，他称如下形式的矩阵011,NNCCIRCCCC012110121230NNNAAAAAAAAAAAA为循环矩阵，如果取01000001000000110000A为基本矩阵，则NC可改写为210
2、121NNNCCICACACA（1），正是由于（1）式的成立才使得循环矩阵NC的研究得以顺利进行。然而直到1950年之前，对于循环矩阵的研究还没有引起数学工作者的足够重视。1950年，GOODIJ对循环矩阵的逆、行列式以及特征值进行了研究。从此，循环矩阵开始蓬勃发展，广大数学工作者对它进行了大量的研究，得到了循环矩阵行列式的计算方法和循环矩阵基本性质的一系列丰硕的成果，关于它的理论研究也得到了飞速的发展。特别是其逆矩阵的求法，是人们一直所关注的问题。1955年，GREENSPAND在总结求逆矩阵的种种方法时，特意以三阶循环矩阵为例对循环矩阵逆矩阵的求法作了说明，但只有结论而无证明。1962年，
3、GILBERTTL利用JORDAN标准形理论，把循环矩阵A化为对角形，然后再求出A的逆矩阵1A，从而事实上给出了GREENSPAND提出的计算方法的一种证明。然而在实际计算时却存在大量困难，于是人们又开始寻求新的较为简便的算法。1979年，SEARLESR给出了与上述两种方法不相同的新的初等算法，它不必用JORDAN标准形和特征根，只用到一些矩阵乘法以及逆矩阵的最简单性质。1981年，李炯生给出了GREENSPAND的方法的初等证明。1983年，李天林改进了GREENSPAND和李炯生的方法和证明。1992年，王济荣给出了反循环矩阵的概念及求逆方法。直到现在，很多学者还在寻找更为简便的一般性的
4、求逆矩阵的方法。迄今为止，对于循环矩阵所做的研究已有很多，同时，各种新的循环矩阵被相继提出，国内外许多学者也作了较深入的研究，已经取得了一些比较好的结果。文献6中，张光辉，叶晓丽给出了R分块循环矩阵的概念，其形式如下021201110ARARAAARAAAAANNN，其中0,1,1,0,RCRNICAMMI。则A为一个R分块循环矩阵，记为,110NRAAACA。如果R1，A即为分块循环矩阵，如果R1，A即为分块反循环矩阵。文章还对R分块循环矩阵的对角化问题进行了探讨设,110NRAAACA，0W为如下的范德蒙矩阵0W111110111NNNNOOO，W0WME，,1,10NDIAGU其中110
5、,N为NXR0的全部根，则有（1）1,2,100NKUWWKKR，特别地，UWWR00（2）,111MNMMOREEEDIAGWSW,1101MNMMMNEEEEDIAGWPW，其中110,N为NXR0的全部根，NKIKE2，K0,1,N13,1101NFFFDIAGAWW,其中1110NNXAXAAXF。即任意一个MN阶的R分块循环矩阵必可以准对角化文献10中，何承源曾把循环矩阵的元素换成同阶方阵进行研究，引进了R分块循环矩阵的概念，讨论了它的一般性质，并利用线性方程组和矩阵的相似形给出了R分块循环矩阵求逆的两种方法，如下定理1设011,RMRABCAAABCM，若12,1,MMNXXXXM
6、P是线性矩阵方程组AXE的唯一解，则11,RMRABCXXBCM。定理2设011,RMRABCAAABCM，且R、A均非奇异，则1011,RMRABCBBBBCM，其中1101MTJJTJTBFWKKWM，0,1JM。特别地，文章给出了当RNI时，R分块循环矩阵的块谱分解定理、矩阵范数意义下的圆盘定理以及非奇异的几个充分条件。文献4、7、8对矩阵求逆的问题进行了一系列的探讨，其中文献7给出了R循环矩阵的逆矩阵公式，但其中包含复杂的三角函数运算，所以其意义主要在理论方面，而文献8讨论了几种分块循环矩阵求逆的算法，给出了利用分块循环矩阵的准对角化进行求逆的一种简便方法。文献11利用最大公因式算法给
7、出了任意数域上非奇异卜循环矩阵求逆的一种新算法，该方法不需要计算三角函数并且具有很少的计算量。文献13则利用多项式的EUCLID算法给出了非奇异的R循环矩阵求逆矩阵的一个新算法，该算法同时推广到用于求奇异R循环矩阵的群逆和MOOREPENROSE逆，并给出了应用该算法的数值例子。可见前人在R分块循环矩阵方面已经取得了一些比较好的结果。R分块循环矩阵是循环矩阵、R循环矩阵、分块循环矩阵的推广，于是我想我们可以在上述研究的基础上，介绍R分块循环矩阵的推广过程及研究背景，对其特征值、对角化等基本性质进行总结归纳，并加以论证，然后概括R分块循环矩阵可逆的几个充要条件及求逆的各种方法，并参考循环矩阵和R
8、循环矩阵开平方问题的相关著作，讨论并尝试R分块循环矩阵的开平方问题。四、主要参考文献1CHENSHENGANONTHEEIGENVECTORSOFRCIRCULANTMATRICESOFPRIMEDIMENSIONJJOFMATH2002,22215752JIANGZHAOLIN，XUZONGBEN，GAOSHUPINGALGORITHMSFORFINDINGTHEINVERSESOFFACTORBLOCKCIRCULANTMATRICESNUMERICALMATHEMATICS，200611113郑强关于R分块循环矩阵的推广J山东师大学报自然科学报1998,1343763794李天增，王瑜循
9、环矩阵的性质及求逆方法J四川理工学院学报2009，2244735单沪军，郑强，吴强初等R分块循环矩阵的几个性质J山东工业大学学报1999，2932692726张光辉，叶晓丽关于R分块循环矩阵及其对角化问题的探讨J数学理论与应用2007，2711151177钟祥贵，曾立新R循环矩阵的逆矩阵J北京教育学报自然科学版2007，26138岳晓鹏，梁聪刚分块循环矩阵的求逆方法探讨J长江大学学报自然科学版2008，511241269黄赐玺块循环阵的特征值与非异性J山东师大学报自然科学版1995，1014810何承源一类循环分块矩阵的一些结果J四川师范大学学报自然科学版1996，196455011蒋加清R循环矩阵求逆的一种新算法J江西教育学院学报2010，31（3）1312袁中扬，刘三阳对称R循环矩阵的快速算法和并行算法J纯粹数学与应用数学2005，212158613江兆林，刘三阳R循环矩阵求逆和广义逆的EUCLID算法J电子科技大学学报2004,33（3）15121
