1、第 1 页 共 14 页相遇和追及问题【要点梳理】要点一、机动车的行驶安全问题：要点诠释：1、 反应时间：人从发现情况到采取相应措施经过的时间为反应时间。2、 反应距离：在反应时间内机动车仍然以原来的速度 v 匀速行驶的距离。3、 刹车距离：从刹车开始，到机动车完全停下来，做匀减速运动所通过的距离。4、 停车距离与安全距离：反应距离和刹车距离之和为停车距离。停车距离的长短由反应距离和刹车距离共同决定。安全距离大于一定情况下的停车距离。要点二、追及与相遇问题的概述要点诠释：1、 追及与相遇问题的成因当两个物体在同一直线上运动时，由于两物体的运动情况不同，所以两物体之间的距离会不断发生变化，两物体
2、间距越来越大或越来越小，这时就会涉及追及、相遇或避免碰撞等问题2、 追及问题的两类情况(1)速度小者追速度大者(2)速度大者追速度小者第 2 页 共 14 页说明:表中的 x 是开始追及以后,后面物体因速度大而比前面物体多运动的位移；x 0是开始追及以前两物体之间的距离；t 2-t0=t0-t1；v 1是前面物体的速度,v 2是后面物体的速度. 特点归类：(1)若后者能追上前者，则追上时，两者处于同一位置，后者的速度一定不小于前者的速度(2)若后者追不上前者，则当后者的速度与前者相等时，两者相距最近3、 相遇问题的常见情况(1) 同向运动的两物体的相遇问题,即追及问题.(2) 相向运动的物体,
3、当各自移动的位移大小之和等于开始时两物体的距离时相遇.解此类问题首先应注意先画示意图,标明数值及物理量;然后注意当被追赶的物体做匀减速运动时,还要注意该物体是否停止运动了.要点三、追及、相遇问题的解题思路要点诠释：追及相遇问题最基本的特征相同,都是在运动过程中两物体处在同一位置.根据对两物体运动过程的分析,画出物体运动情况的示意草图.根据两物体的运动性质,分别列出两个物体的位移方程,注意要将两个物体运动时间的关系反映在方程中;根据运动草图,结合实际运动情况,找出两个物体的位移关系;将以上方程联立为方程组求解,必要时,要对结果进行分析讨论.要点四、分析追及相遇问题应注意的两个问题要点诠释：分析这
4、类问题应注意的两个问题:(1)一个条件:即两个物体的速度所满足的临界条件,例如两个物体距离最大或距离最小后面的物体恰好追上前面的物体或恰好追不上前面的物体等情况下,速度所满足的条件.常见的情形有三种:一是做初速度为零的匀加速直线运动的物体甲,追赶同方向的做匀速直线运动的物体乙,这种情况一定能追上,在追上之前,两物体的速度相等(即 )时,两者之间的距离最大;二是做匀v、第 3 页 共 14 页速直线运动的物体甲,追赶同方向的做匀加速直线运动的物体乙,这种情况不一定能追上,若能追上,则在相遇位置满足 ;若追不上 ,则两者之间有个最小距离,当两物体的速度相等时,距离最小;三是做匀v、减速直线运动的物
5、体追赶做匀速直线运动的物体,情况和第二种情况相似.(2)两个关系:即两个运动物体的时间关系和位移关系.其中通过画草图找到两个物体位移之间的数值关系是解决问题的突破口.要点五、追及、相遇问题的处理方法方法一:临界条件法(物理法):当追者与被追者到达同一位置,两者速度相同,则恰能追上或恰追不上(也是二者避免碰撞的临界条件)方法二:判断法(数学方法):若追者甲和被追者乙最初相距 d0令两者在 t 时相遇,则有 ,得到0xd、关于时间 t 的一元二次方程:当 时,两者相撞或相遇两次;当 时,两者恰2b4ac2b4ac好相遇或相撞; 时,两者不会相撞或相遇.2b4ac0方法三:图象法.利用速度时间图像可
6、以直观形象的描述两物体的运动情况，通过分析图像，可以较方便的解决这类问题。【典型例题】类型一、机动车的行驶安全问题例 1、为了安全，在高速公路上行驶的汽车之间应保持必要的距离。已知某高速公路的最高限速为v=120km/h。假设前方车辆突然停止运动，后面汽车的司机从眼睛发现这一情况，经过大脑反应，指挥手、脚操纵汽车刹车，到汽车真正开始减速，所经历的时间需要 0.50s（即反应时间） ，刹车时汽车所受阻力是车重的 0.40 倍，为了避免发生追尾事故，在该高速公路上行驶的汽车之间至少应保留多大的距离？【思路点拨】理解各个时间段汽车的运动情况是关键。【答案】156m【解析】 v120km/h3./s匀
7、减速过程的加速度大小为 。匀速阶段的位移 ,2akg4m/s1svt6.7m减速阶段的位移 ，所以两车至少相距 。2s/1925【点评】刹车问题实际上是匀变速直线运动的有关规律在减速情况下的具体应用，要解决此类问题，首先要搞清楚在反应时间里汽车仍然做匀速直线；其次也要清楚汽车做减速运动，加速度为负值；最后要注意单位统一。举一反三【变式】酒后驾车严重威胁交通安全其主要原因是饮酒会使人的反应时间(从发现情况到实施操作制动的时间)变长，造成制动距离(从发现情况到汽车停止的距离)变长，假定汽车以 108 km/h 的速度匀速行驶，刹车时汽车的加速度大小为 8 m/s2，正常人的反应时间为 0.5 s，
8、饮酒人的反应时间为 1.5 s，试问：(1)驾驶员饮酒后的反制距离比正常时多几米？(2)饮酒的驾驶员从发现情况到汽车停止需多少时间？【答案】 (1)30 m (2)5.25 s第 4 页 共 14 页【解析】 (1)汽车匀速行驶 v108 km/h30 m/s正常情况下刹车与饮酒后刹车，从刹车到车停止这段时间的运动是一样的，设饮酒后的刹车距离比正常时多 s，反应时间分别为 则 代入数据得120.5 s. tt、 21()svt、 30 ms、(2)饮酒的驾驶员从实施操作制动到汽车停止所用时间 解得30/a.75t所以饮酒的驾驶员从发现情况到汽车停止所需时间 解得2t、. st、类型二、追及问题
9、一：速度小者追赶同向速度大者例 2、一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以 3m/s2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以 6m/s 的速度匀速驶来，从后边超过汽车。试求：（1）汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？ 【思路点拨】画好汽车和自行车的运动示意图是关键。【答案】2s 6m【解析】：方法一：临界状态法运动示意图如图：x汽x自x汽车在追击自行车的过程中，由于汽车的速度小于自行车的速度，汽车与自行车之间的距离越来越大；当汽车的速度大于自行车的速度以后，汽车与自行车之间的距离便开始缩小。很显然，当汽车的速度与自行车的速度相等时，两车之间的距
10、离最大。设经时间 t 两车之间的距离最大。则 vta、v6ts23a、 22m11x vat6m 3 6、方法二：图象法在同一个 v-t 图象中画出自行车和汽车的速度-时间图线，如图所示。其中表示自行车的速度图线，表示汽车的速度图线，自行车的位移 等于图线与时间轴围成的矩形的面积，而汽车的位移 则x、 x、等于图线与时间轴围成的三角形的面积。两车之间的距离则等于图中矩形的面积与三角形面积的差，不难看出，当 t=t0时矩形与三角形的面积之差最大。v/m/s6 0 t0 t/s第 5 页 共 14 页此时 ， ，0tva、 06ts23a、 01t26mmSv、方法三：二次函数极值法设经过时间 t
11、 汽车和自行车之间的距离 ，则x22213at6t()6xvt、当 时两车之间的距离有最大值 ，且2st xm.【点评】(1)在解决追及相遇类问题时，要紧抓“一图三式” ，即：过程示意图，时间关系式、速度关系式和位移关系式，另外还要注意最后对解的讨论分析(2)分析追及、相遇类问题时，要注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好” 、 “恰好” 、 “最多” 、 “至少”等，往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件(3)解题思路和方法举一反三【变式 1】小轿车在十字路口等绿灯亮后，以 1m/s2的加速度启动，恰在此时，一辆大卡车以 7m/s 的速度从旁超过，做同向匀速运动，问（
12、1）小轿车追上大卡车时已通过多少路程？（2）两车间的距离最大时为多少？【答案】98m 24.5m【变式 2】甲、乙两车同时从同一地点出发，向同一方向运动，其中甲以 10 m/s 的速度匀速行驶，乙以2 m/s2的加速度由静止启动，求：(1)经多长时间乙车追上甲车？此时甲、乙两车速度有何关系？(2)追上前经多长时间两者相距最远？此时二者的速度有何关系？【答案】(1)10 s 2 倍 (2)5 s 相等【解析】(1)乙车追上甲车时，二者位移相同，设甲车位移为 x1，乙车位移为 x2，则 x1 x2，即，解得 ，因此 .21avt、1210 0 m/stvat、 2v、(2)设追上前二者之间的距离为
13、 ，则 x211 0xtat、由数学知识知：当 时，两者相距最远，此时 .2s1t、 21v、类型三、追及问题二：速度大者减速追赶同向速度小者第 6 页 共 14 页例 3、火车以速度 匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距 S 处有另一列火车沿同方向以速度 （对地、1v 2v且 ）做匀速运动，司机立即以加速度 紧急刹车，要使两车不相撞， 应满足什么条件？12vaa【思路点拨】理解两车不相撞的临界条件。【答案】21()vas【解析】方法一：设两车恰好相撞(或不相撞)，所用时间为 t，此时两车速度相等解之可得： 即，当 时，两车不会相撞。2112vttsvat21()vas21()vas方法二：要使
14、两车不相撞，其位移关系应为： 21vtvt对任一时间 t，不等式都成立的条件为 由此得21=as0、21()vs【点评】分析解决两物体的追及、相遇类问题，应首先在理解题意的基础上，认清两物体在位移、速度、时间等方面的关联，必要时须画出运动关联的示意图。这类问题的特殊之处是常与极值条件或临界条件相联系。分析解决这类问题的方法有多种，无论哪一种方法，分析临界条件、解决相关的临界条件方程或用数学方法找出相关的临界值，是解决这类问题的关键和突破口。举一反三【变式 1】汽车正以 10m/s 的速度在平直公路上前进，突然发现正前方 s 处有一辆自行车以 4m/s 的速度做同方向的匀速直线运动，汽车立即关闭
15、油门做匀减速运动，加速度大小为 6m/s2，若汽车恰好不碰上自行车，则 s 大小为多少？【答案】3m【变式 2】甲乙两辆汽车在平直的公路上沿同一方向做直线运动,t=0 时刻同时经过公路旁的同一个路标.在描述两车运动的 v-t 图中(如图),直线 ab 分别描述了甲 乙两车在 020 s 的运动情况.关于两车之间的位置关系,下列说法正确的是( )A.在 010 s 内两车逐渐靠近 B.在 1020 s 内两车逐渐远离C.在 515 s 内两车的位移相等 D.在 t=10 s 时两车在公路上相遇【答案】C【解析】由题图知乙做匀减速运动,初速度 v 乙 =10 m/s,加速度大小 a 乙 =0.5
16、m/s2;甲做匀速直线运动,速度 v 甲 =5 m/s.当 t=10 s 时 v 甲 =v 乙 ,甲乙两车距离最大,所以 010 s 内两车越来越远,1015 s 内两车距第 7 页 共 14 页离越来越小,t=20 s 时,两车距离为零,再次相遇.故 ABD 错误.因 515 s 时间内 v 甲 = 乙 ,所以两车位移相等,故 C 正确.类型四、相遇问题例 4、在某市区内，一辆小汽车在公路上以速度 向东行驶，一位观光游客正由南向北从斑马线上横过Av马路。汽车司机发现游客途经 D 处时，经过 0.7s 作出反应紧急刹车，但仍将正步行至 B 处的游客撞伤，该汽车最终在 C 处停下，如图所示。为了
17、判断汽车司机是否超速行驶以及游客横穿马路的速度是否过快，警方派一车胎磨损情况与肇事汽车相当的警车以法定最高速度 行驶在同一马路的同一地段，m14.0/sv、在肇事汽车的起始制动点 A 紧急刹车，经 14.0后停下来。在事故现场测得17.5 ， 14.0， 2.6肇事汽车的刹车性能良好，问：ABB（1）该肇事汽车的初速度 是多大? （2）游客横过马路的速度是多大?Av【思路点拨】判断汽车与游客的各自运动形式，找出它们的联系。【答案】21m/s 1.53 m/s【解析】 （1）警车和肇事汽车刹车后均做匀减速运动，其加速度大小 ，gma与车子的质量无关，可将警车和肇事汽车做匀减速运动的加速度 a 的
18、大小视作相等。对警车，有 ；对肇事汽车，有 ，则asvm2savA2，即 ，故 21/。sA2 0.14572BCAmAvv0.1457（2）对肇事汽车，由 得 ，sav0 .2BCvA故肇事汽车至出事点 B 的速度为 14.0/。AB0.1457肇事汽车从刹车点到出事点的时间 1 ，)(21BAvt第 8 页 共 14 页又司机的反应时间 t00.7，故游客横过马路的速度 m/s1.53/。17.06210tBDv【点评】研究物体的运动，首先要分析清楚物体的运动过程。特别是当物体有多个运动阶段时，必须明确问题所研究的是运动的哪一个阶段。当问题涉及多个物体的运动时，应先分别独立研究各个物体的运
19、动，然后找出它们之间的联系。举一反三【变式 1】羚羊从静止开始奔跑，经过 50m 的距离能加速到最大速度 25m/s，并能维持一段较长的时间。猎豹从静止开始奔跑，经过 60m 的距离能加速到最大速度 30m/s，以后只能维持这速度 4.0s。设猎豹距离羚羊 x 时开始攻击，羚羊则在猎豹开始攻击后 1.0s 才开始奔跑，假定羚羊和猎豹在加速阶段做匀加速运动，且均沿同一直线奔跑，求：（1）猎豹要在从最大速度减速前追到羚羊，x 值应在什么范围？（2）猎豹要在其加速阶段追到羚羊，x 值应在什么范围？【答案】(1） 31.875m x 55m （2）x 31.875m 【变式 2】一辆值勤的警车停在公路
20、边，当警员发现从他旁边以 10 m/s 的速度匀速行驶的货车严重超载时，决定前去追赶，经过 5.5 s 后警车发动起来，并以 2.5 m/s2的加速度做匀加速运动，但警车的行驶速度必须控制在 90 km/h 以内问：(1)警车在追赶货车的过程中，两车间的最大距离是多少？(2)警车发动后要多长时间才能追上货车？【答案】(1)75 m (2)12 s【变式 3】甲乙两车在一平直道路上同向运动,其 v-t 图象如图所示,图中OPQ 和OQT 的面积分别为 s1和 s2(s2s1).初始时,甲车在乙车前方 s0处( )A.若 s0=s1+s2,两车不会相遇 B.若 s0s1,两车相遇 2 次C.若 s
21、0=s1,两车相遇 1 次 D.若 s0=s2,两车相遇 1 次【答案】ABC【解析】在 T 时刻,甲乙两车速度相等 ,甲车的位移 s2,乙车的位移 s1+s2,当甲车在前方 s0=s1+s2时,T时刻乙车在甲车的后方 s2处,此后乙车速度就比甲车小,不能与甲车相遇,A 正确;如果 s0=s1,说明 T 时刻乙车刚好赶上甲车,但由于速率将小于甲车,与甲车不会相遇第二次,C 正确;如果 s0s1,说明 T 时刻,乙车已经超过了甲车,但由于速度将小于甲,与甲车会相遇第二次,B 正确;如果 s0=s2,T 时刻乙车在甲的后方s2-s1处,此后乙车速度就比甲车小,不能与甲车相遇,D 不正确.【巩固练习
22、】解答题：第 9 页 共 14 页1、在十字路口，汽车以 的加速度从停车线启动做匀加速运动，恰好有一辆自行车以 的速20.5ms 5ms度匀速驶过停车线与汽车同方向行驶，求：（1） 什么时候它们相距最远？最远距离是多少？（2） 在什么地方汽车追上自行车？追到时汽车的速度是多大？2、甲、乙两个同学在直跑道上练习 4 100m 接力，他们在奔跑时有相同的最大速度。乙从静止开始全力奔跑需跑出 25m 才能达到最大速度，这一过程可看作匀变速运动。现甲持棒以最大速度向乙奔来，乙在接力区伺机全力奔出。若要求乙接棒时奔跑达到最大速度的 80%，则：（1）乙在接力区须奔出多大距离？（2）乙应在距离甲多远时起跑
23、？3、甲、乙两车相距为 s，同时同向运动，乙在前面做加速度为 a1、初速度为零的匀加速运动，甲在后面做加速度为 a2、初速度为 v0的匀加速运动，试讨论两车在运动过程中相遇次数与加速度的关系。4、在水平直轨道上有两列火车 A 和 B 相距 s。 A 车在后面做初速度为 v0、加速度大小为 2a 的匀减速直线运动；而 B 车同时做初速度为 0、加速度大小为 a 的匀加速直线运动，两车运动方向相同。要使两车不相撞，求 A 车的初速度 v0应满足的条件。5、甲、乙两车在同一条平直公路上行驶，甲车以 v1=10m/s 的速度做匀速运动，经过车站 A 时关闭油门以a1=4m/s2的加速度匀减速前进。2s
24、 后乙车与甲车同方向以 a2=1m/s2的加速度从同一车站 A 出发，由静止开始做匀加速直线运动。问乙车出发后经多长时间追上甲车？6、高速公路给人们出行带来了方便，但是因为在高速公路上行驶的车辆的速度大，雾天往往出现十几辆车追尾连续相撞的车祸。已知轿车在高速公路正常行驶速率为 120km/h。轿车刹车产生的最大加速度为8m/s2，如果某天有雾，能见度（观察者与能看见的最远目标间的距离）约为 37m，设司机的反应时间为0.6s，为安全行驶，轿车行驶的最大速度是多少？7、小球 1 从高 H 处自由落下，同时小球 2 从其下方以速度 v0竖直上抛，两球可在空中相遇，试就下列两种情况讨论 v0的取值范
25、围。（1）在小球 2 上升过程两球在空中相遇；（2）在小球 2 下降过程两球在空中相遇。8、如图所示， AB、 CO 为互相垂直的丁字形公路， CB 为一斜直小路， CB 与 CO 成 60角， CO 间距300。一逃犯骑着摩托车以 45km/h 的速度正沿 AB 公路逃窜。当逃犯途径路口 O 处时，守候在 C 处的公安干警立即以 1.2m/s2的加速度启动警车，警车所能达到的最大速度为 120km/h。（1）若公安干警沿 COB 路径追捕逃犯，则经过多长时间在何处能将逃犯截获?（2）若公安干警抄 CB 近路到达 B 处时，逃犯又以原速率掉头向相反方向逃窜，公安干警则继续沿 BA 方向追赶，则
26、总共经多长时间在何处能将逃犯截获?（不考虑摩托车和警车转向的时间）第 10 页 共 14 页【答案与解析】解答题：1、10s 25m 100m 10m/s解析：两车速度相等时相距最远，设所用时间为 t， ，最远距离vat、t10s、 21x=-vat5m、 、设汽车追上自行车所用时间为 t， 此时 ， ， 、 2t、 0s、此时距停车线距离， ，此时汽车速度，v0m、 a1/、2、16m 24m解析: （1）设两人奔跑的最大速度为 v0，则在乙从静止开始全力奔跑达到最大速度的过程，以及乙接棒时奔跑达到最大速度的 80%的过程，分别应用匀变速直线运动速度位移关系式，有 ，220.8vaxvax、
27、 由以上两式可解得乙在接力区须奔出的距离， 。.640.25m16x（2）设乙在距甲为 x0处开始起跑，到乙接棒时跑过的距离为 ，所经历的时间为 t，则甲、乙两人x在时间 t 内通过的位移有如下关系： ，又由平均速度求位移的公式可知乙的位移0vt，vx8.0从而由以上两式可解得 0x=1.56m=243、答案见解析。解析 : 这里提供两种解法。解法一（物理方法）：由于两车同时同向运动，故有 021vatvt、（1）当 2时， ，可得两车在运动过程中始终有 。由于原来甲车在后，乙车1a12t v、在前，所以甲、乙两车的距离在不断缩短，经过一段时间后甲车必然追上乙车。由于甲车追上乙车时，所以甲超过乙后相距越来越大，因此甲、乙两车只能相遇一次。v、（2）当 时， ，因此甲、乙两车也只能相遇一次。12a12tav、（3）当 时， ， 的大小关系会随着运动时间的增大而发生变化。刚开始 a1t、和 a2t 相差不大且甲有初速度 v0，所以 。随着时间的推移， a1t 和 a2t 相差越来越大，当v、时， ，接下来 ，则有 。10v、 120atv、若在 之前，甲车还没有超过乙车，随后由于 ，甲车就没有机会超过乙车，即两车不相遇；、 、
