1、 高三数学小题冲刺训练（十）姓名：_班级：_考号：_一、填空题（共 16 小题，每小题 5 分，共计 80 分）1集合x|1log 10 ，x N*的真子集的个数是 1x 122复平面上，非零复数 z1，z 2 在以 i 为圆心，1 为半径的圆上， z2 的实部为零，z 1 的辐_ z1角主值为 ，则 z2=_63.曲线 C 的极坐标方程是 =1+cos，点 A 的极坐标是 (2,0)，曲线 C 在它所在的平面内绕 A旋转一周，则它扫过的图形的面积是_4.已知将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起，恰得到一个所有二面角都相等的六面体，并且该六面体的最短棱的长为 2，则最远的两顶点间的距离是_
2、5.从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的六个面染色，每 面恰染一种颜色，每两个具有公共棱的面染成不同的颜色。则不同的染色方法共有_种(注：如果我们对两个相同的正方体染色后，可以通过适当的翻转，使得两个正方体的上、下、左、右、前、后六个对应面的染色都相同，那么，我们就说这两个正方体的染色方案相同)6.在直角坐标平面，以(199,0)为圆心，199 为半径的圆周上整点 (即横、纵坐标皆为整数的点)的个数为_7. 若 ,则 = .tan22 24sin3icos58. 在复数集 C 内,方程 的解为 .(5)60x9. 设 ，求数 x 的个位数字.8219)05(x10. 设 ，则集
3、合 A 中被 7 除余 2 且不能被 57 整除的数的个|,AnnN数为_.11. 设 P 是抛物线 上的动点,点 A 的坐标为 ,点 M 在直线 PA 上,240yx(01)且分 所成的比为 2:1,则点 M 的轨迹方程是 .A12. 为 上在 轴两侧的点，过 的切线与 轴围成面积的最小值为_B21yxyBx13. 为边长为 的正五边形边上的点则 最长为_A14.正四棱锥 S-ABCD 中，侧棱与底面所成的角为 ，侧面与底面所成的角为 ，侧面等腰三角形的底角为 ，相邻两侧面所成的二面角为 ，则 、 的大小关系是_15.在数 1 和 2 之间插入 n 个实数，使得这 n+2 个数构成递增的等比
4、数列，将这 n+2 个数的乘积记为 An，令 an=log2An，nN（1）数列A n的前 n 项和 Sn 为_（2）T n=tana2tana4+tana4tana6+tana2ntana2n+2=_16.已知数列 A：a 1，a 2，a n（n3），令 TA=x|x=ai+aj.1ijn，car（T A）表示集合 TA中元索的个数若 A：2，4，8，16，则 card（T A）=_；若 ai+1-ai=c（c 为非零常数1in-1），则 card（T A）=_参考答案1. 解 由已知，得 logx1011lg x210x100故该集合有 90 个元素其真子集12有 290-1 个2. 解：
5、z 1 满足| zi|=1；argz 1= ，得 z1= + i， =cos( )+isin( )6 32 12 _ z1 6 6设 z2 的辐角为 (0)，则 z2=2sin(cos+isin) z2=2sincos( )+isin( )，若其_ z1 6 6实部为 0，则 = ，于是 = z 2= + i6 2 23 32 323. 解：只要考虑|AP|最长与最短时所在线段扫过的面积即可设 P(1+cos，)，则|AP| 2=22+(1+cos)222(1+cos)cos=3cos 22cos +5=3(cos+ )2+ 且显然|AP| 2 能取遍0 ， 内的一切值，故所求面积= 13 1
6、63 163 163 1634. 解：该六面体的棱只有两种，设原正三棱锥的底面边长为 2a，侧棱为 b取 CD 中点 G，则 AGCD，EGCD ，故AGE 是二面角 ACDE 的平面角由 BDAC，作平面 BDF棱 AC 交 AC 于 F，则 BFD 为二面角 BACD 的平面角AG=EG= ，BF=DF= ，AE= 2 =2 b2 a22ab2 a2b b2 43a2由 cosAGE= cosBFD ，得 = 2AG2 AE22AG2 2BF2 BD22BF2 = 9b2=16a2，b= a，从而 b=2，2a= 34(b2 f(4,3)2a2)b2 a2 4a2b24a2(b2 a2)
7、43AE=2 即最远的两个顶点距离为 3P 1 xO2abab bGEFBCDA5. 解：至少 3 种颜色：6 种颜色全用：上面固定用某色，下面可有 5 种选择，其余 4 面有(41)! =6 种方法，共计30 种方法；用 5 种颜色：上下用同色：6 种方法，选 4 色：C (41)! =30；6302=90 种方法；45用 4 种颜色：C C =90 种方法26 24用 3 种颜色：C =20 种方法36共有 230 种方法6. 解：把圆心平移至原点，不影响问题的结果故问题即求 x2+y2=1992 的整数解数显然 x、y 一奇一偶，设 x=2m，y=2n1且 1m，n99则得 4m2=19
8、92(2n1) 2=(198+2n)(2002n)m 2=(99+n)(100n) (n1)(n) (mod 4)由于 m 为正整数，m 20，1 (mod 4)；( n1)(n) 0， (当 n0， 1(mod 4)时 )2， (当 n2， 3(mod 4)时 )二者矛盾，故只有(0，199)，(199，0) 这 4 解 共有 4 个(199，199)，(0，0) ，(398，0)7. 由 ,得 ,有 ,即 .tansicos22icos221css则 ,原式= .21cos52658. 设 , ,代入原方程整理得xbiR2(56)(45)0ababi有 ,解得 或 ,所以 或 .25604
9、a1b321xi32i9. 直接求 x 的个位数字很困难，需将与 x 相关数联系，转化成研究其相关数.【解】令 )015()015(,)2015()2015( 82989 yy则，由二项式定理知，对任意正整数 n. 89为整数，且个)2()()( 2nnnn C位数字为零.因此， 是个位数字为零的整数.再对 y 估值，xy因为 ， 且 ，2.051205 198)205()2015(所以 故 x 的个位数字为 9.4.)(199y【评述】转化的思想很重要，当研究的问题遇到困难时，将其转化为可研究的问题.10. 解：被 除余 的数可写为 . 由 .知 . 7272k072k6014k85又若某个
10、 使 能被 57 整除，则可设 =57n. 即 . k7272k57287nk即 应为 7 的倍数. 设 代入，得 . . nnm16m4165mm=0,1.于是所求的个数为 7011. 设点 P ,M ,有 , ,得 ,0(,)xy(3x0()3y03x02y而 ,于是得点 M 的轨迹方程是 .204 2914【 12.不妨设过 点的切线交 轴于点 ，过 点的切线交 轴于点 ，直线 与AxCBxDAC直线 相交于点 如 图设 ，BDE12(,)(,)yAx且有 222112,0yxyx由于 ，于是 的方程为 ；AC22y的方程为 B11x联立 的方程，解得 ,D1122(,)Exx对于 ，令
11、 ，得 ；0y,0y对于 ，令 ，得 1(,)2x于是 2121yxCDx不妨 设 ， ，则1()2ES 0a20b2 21()( )44CDaba1()bab不妨设 ，则有0as33111(2)(.)9ECDSsss6 个 9 个 124369611)8()23ss 328)又由当 时， 处的等号均可取到12, xaxbs min8()39ECDS注记：不妨设 ，事 实上，其最小 值也可用 导函数的方法求解1()2gss由 知当 时 ；当 时 1()s203()0gs213s()0gyxOEDCBA则 在 上单调减，在 上单调增于是当 时 取得最小值()gs30,)3(,)3s()gs13.
12、以正五边形一条边上的中点为原点，此 边所在的直线为 轴，建立如图所示的平面直角x坐标系当 中有一点位于 点时，知另一点位于 或者 时有最,ABP1R2大值为 ；当有一点位于 点时， ；1PROmaxABOP当 均不在 轴上时，知 必在 轴的异侧方可能取到最大值,ABy,ABy（否则取 点关于 轴的对称点 ，有 ）不妨设 位于线段 上（由正五边形的中心对称性，知 这样 的假设是2OR合理的），则使 最大的 点必位于线段 上ABPQ且当 从 向 移动时， 先减小后增大，于是 ；PQmaxABPAQ或对于线段 上任意一点 ，都有 于是2BR 2aR由，知 不妨设为 2maxABRx下面研究正五边形对角线的长如右图做 的角平分线 交 于 EFGFHEG易知 5HI于是四边形 为平行四边 形 I 1由角平分线定理知 解得 1EFEHxG2x14.15.16. 6；2n-3OR2 R1QPPQR1R2 OBAIHGFE1111xx-1
