1、第一章 导数及其应用1.1.1 变化率问题教学目标：1理 解 平 均 变 化 率 的 概 念 ； 2 了 解 平 均 变 化 率 的 几 何 意 义 ； 3 会 求 函 数 在 某 点 处 附 近 的 平 均 变 化 率教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念教学过程：一创设情景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值;四、求长
2、度、面积、体积和重心等。导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度二新课讲授（一）问题提出问题 1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 气球的体积 V(单位:L)与半径 r(单位: dm)之间的函数关系是 34)(rV 如果将半径 r 表示为体积 V 的函数,那么 34(r分析: ，34)(Vr1 当 V 从 0 增加到 1 时,气球半径增加了 气球的平均膨胀)(62.0
3、)(1dmr率为 )/(62.)(Ldmr2 当 V 从 1 增加到 2 时,气球半径增加了 )(.)(2r气球的平均膨胀率为 /16.0)(dr可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了思考：当空气容量从 V1 增加到 V2 时,气球的平均膨胀率是多少? 12)(Vrhto问题 2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度 h(单位：m )与起跳后的时间 t（单位：s）存在函数关系 h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速 度粗略地描述其运动状态?v思考计算： 和 的平均速度5021v在 这段时间里， ；.0t )/(05.45.0)
4、(shv在 这段时间里，21 28)(探究：计算运动员在 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：4960t运动员在这段时间内使静止的吗？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数 h(t)= -4.9t2+6.5t+10 的图像，结合图形可知， ，)0(4965h所以 ，)/(04965)(mshv虽然运动员在 这段时间里的平均速度为 ，但实际情况是运动员仍然运动，并t )/(0ms非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态（二）平均变化率概念:1上述问题中的变化率可用式子 表示, 称为函数 f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率12)(xff2若设
5、, (这里 看作是对于 x1 的一个“增量”可用 x1+ 代替12x)(ffx2,同样 )(1fyf3 则平均变化率为 f ffxf)()112思考：观察函数 f(x)的图象平均变化率 表示什么?12)(f直线 AB 的斜率x1 x2Oyy=f(x)f(x1)f(x2)x= x2-x1y =f(x2)-f(x1)x三典例分析例 1已知函数 f(x)= 的图象上的一点 及临近一点 ,则2 )2,1(A)2,1(yxBxy解： ， )1()(22xx xxxy 3)()(2例 2 求 在 附近的平均变化率。y0解： ，所以20)(xxy02 xx020所以 在 附近的平均变化率为200四课堂练习1
6、质点运动规律为 ，则在时间 中相应的平均速度为 32ts)3,(t2.物体按照 s(t)=3t2+t+4 的规律作直线运动 ,求在 4s 附近的平均变化率.3.过 曲 线 y=f(x)=x3 上 两 点 P（ 1， 1） 和 Q (1+ x,1+ y)作 曲 线 的 割 线 ， 求 出 当 x=0.1 时 割 线 的 斜 率 .五回顾总结：1平均变化率的概念；2函数在某点处附近的平均变化率六布置作业导数与导函数的概念教学目标：1、知识与技能：理解导数的概念、掌握简单函数导数符号表示和求解方法；理解导数的几何意义；理解导函数的概念和意义；2、过程与方法：先理解概念背景，培养解决问题的能力；再掌握
7、定义和几何意义，培养转化问题的能力；最后求切线方程，培养转化问题的能力3、情感态度及价值观；让学生感受事物之间的联系，体会数学的美。教学重点： 1、导数的求解方法和过程；2、导数符号的灵活运用教学难点： 1、导数概念的理解；2、导函数的理解、认识和运用教学过程：一、情境引入在前面我们解决的问题：1、求函数 在点（2，4）处的切线斜率。 ，故斜率为)(xf xxffxy4)(2(4 2、直线运动的汽车速度 V 与时间 t 的关系是 ，求 时的瞬时速度。12tVot253t，故斜率为 4 ttvvtVoo2)(二、知识点讲解上述两个函数 和 中，当 ( )无限趋近于 0 时， ( )都无限趋近于一
8、个常)(xftVxttVx数。归纳：一般的，定义在区间（ ， ）上的函数 ， ，当 无限趋近于 0 时，ab)(f)(baxo，无限趋近于一个固定的常数 A，则称 在 处可导，并称 Axffxyoo)( fox为 在 处的导数，记作 或 ，上述两个问题中：（1）)(fo )(oxf oxf|)(， （2）4 ottV2)(三、几何意义：我们上述过程可以看出 在 处的导数就是 在 处的切线斜率。)(xf0)(xf0四、例题选讲例 1、求下列函数在相应位置的导数（1） ， （2） ， （3） ，1)(2xf 1)(xf2)(xfx例 2、函数 满足 ，则当 x 无限趋近于 0 时，)(f)(f（1
9、） （2） x21 xff)1(变式:设 f(x)在 x=x0 处可导， （ 3） 无限趋近于 1，则 =_xff)(4(00 )(0f（4） 无限趋近于 1，则 =_xff)(4(00 )(0f（5）当x 无限趋近于 0， 所对应的常数与 的关系。xff2)2(00 )(0xf总结：导数等于纵坐标的增量与横坐标的增量之比的极限值。例 3、若 ，求 和 注意分析两者之间的区别。2)1(f )(f()f例 4：已知函数 ，求 在 处的切线。x2导函数的概念涉及： 的对于区间（ , ）上任意点处都可导，则 在各点的导数也随 xfab)(xf的变化而变化，因而也是自变量 x 的函数，该函数被称为 的
10、导函数，记作 。)(xf )(f五、小结与作业1.1.2 导数的概念教学目标：1了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；2理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；3会求函数在某点的导数教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念； 教学难点：导数的概念教学过程：一创设情景（一）平均变化率（二）探究：计算运动员在 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：49650t运动员在这段时间内使静止的吗？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数 h(t)= -4.9t2+6.5t+10 的图像，结合图形可知，)0(4965h所以 ，)/(msv虽然运动员在
11、这段时间里的平均速度为 ，但实际情况是运动员仍然运动，并49650t )/(0ms非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态二新课讲授1瞬时速度我 们 把 物 体 在 某 一 时 刻 的 速 度 称 为 瞬 时 速 度 。 运 动 员 的 平 均 速 度 不 能 反 映 他 在 某 一 时 刻 的 瞬 时速 度 ， 那 么 ， 如 何 求 运 动 员 的 瞬 时 速 度 呢 ？ 比 如 ， 时 的 瞬 时 速 度 是 多 少 ？ 考 察 附 近 的 情 况 ：2t2t思考：当 趋近于 0 时，平均速度 有什么样的变化趋势？tvhto结论：当 趋近于 0 时，即无论 从小于 2 的一
12、边，还是从大于 2 的一边趋近于 2 时，平均tt速度 都趋近于一个确定的值 v13.从物理的角度看，时间 间隔无限变小时，平均速度 就无限趋近于史的瞬时速度，因此，t v运动员在 时的瞬时速度是2t/ms为了表述方便，我们用 0()(li 13.tht表示“当 ， 趋近于 0 时，平均速度 趋近于定值 ”t v.小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。2 导数的概念从函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是 : 00()(limlimx xfxff我们称它为函数 在 出的导数，记作 或 ，即()f00f0|y0()(
13、lixfx说明：（1）导数即为函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率（2） ，当 时， ，所以0x0 00()()limxfxf三典例分析例 1 （1）求函数 y=3x2 在 x=1 处的导数.分析：先求 f=y =f(x)-f ()=6x+(x) 2 再求 再求6fx0li6xf解：法一（略）法二：2211133()|limlilim3()x xx （2）求函数 f(x)= 在 附近的平均变化率，并求出在该点处的导数 解： xxy 2)()(220 0(1)()(1)limlim(3)x xyf例 2 （课本例 1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热
14、，如果第 时，原油的温度（单位： ）为 ，计算第 时和第hC2()715(8)f x2h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义6解：在第 时和第 时，原油温度的瞬时变化率就是 和6)f6f根据导数定义， 0(2)(fxf22(715)3x xx 所以 同理可得:00(2)limli(3)xxff (6)5f在第 时和第 时，原油温度的瞬时变化率分别为 和 5，说明在 附近，原油温度大约以h632h的速率下降，在第 附近，原油温度大约以 的速率上升3/C h/C注：一般地， 反映了原油温度在时刻 附近的变化情况0()fx0x四课堂练习 1质点运动规律为 ，求质点在 的瞬时速度为32ts3t2
15、求曲线 y=f(x)=x3 在 时的导数13例 2 中，计算第 时和第 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意h5义五回顾总结：1瞬时速度、瞬时变化率的概念；2导数的概念六布置作业1.1.3 导数的几何意义教学目标：1了解平均变化率与割线斜率之间的关系；2理解曲线的切线的概念；3通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题；教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义； 教学难点：导数的几何意义教学过程：一创设情景（一）平均变化率、割线的斜率（二）瞬时速度、导数我们知道，导数表示函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率，反映了函数 y=f(x)在 x=x0
16、 附近的变化情况，导数 的几何意义是什么呢？0()fx二新课讲授（一）曲线的切线及切线的斜率：如图 3.1-2，当 沿着曲线 趋近(,)(1,234nnPfx()f于点 时，割线 的变化趋势是什么？0(,PfnP我们发现,当点 沿着曲线无限接近点 P 即 x0 时,割线 趋近于确定的位置，这个确定位nPnP置的直线 PT 称为曲线在点 P 处的切线.问题：割线 的斜率 与切线 PT 的斜率 有什么关系？nkk切线 PT 的斜率 为多少？容易知道，割线 的斜率是 ,当点 沿着曲线无限接近点 P 时， 无限趋n 0()nfxfn nk近于切线 PT 的斜率 ，即k000()lim()xffxf说明
17、：（1）设切线的倾斜角为 ,那么当 x0 时,割线 PQ 的斜率,称为曲线在点 P 处的切线的斜率.这个概念: 提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;切线斜率的本质函数在 处的导数.0图 3.1-2（2）曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.（二）导数的几何意义：函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数等于在该点 处的切线的斜率，0(,)xf即 说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:00()limxf
18、f k求出 P 点的坐标;求出函数在点 处的变化率 ，得到曲线在点0 000()()limxfxff k 的切线的斜率；0(,)xf利用点斜式求切线方程.（二）导函数：由函数 f(x)在 x=x0 处求导数的过程可以看到,当时, 是一个确定的数，那么,当 x 变化时,0()fx便是 x 的一个函数 ,我们叫它为 f(x)的导函数.记作： 或 ，y即: 0)limxffy注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数（三）函数 在点 处的导数 、导函数 、导数 之间的区别与联系。()f00()fx()fx1）函数在一点处的导数 ，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它()f是一个常数，不
19、是变数。2）函数的导数，是指某一区间内任意点 x 而言的， 就是函数 f(x)的导函数 3）函数 在点 处的导数 就是导函数 在 处的函数值，这也是 求函数在()fx00()f()fx0点 处的导数的方法之一。0三典例分析例 1:（1）求曲线 y=f(x)=x2+1 在点 P(1,2)处的切线方程. （2）求函数 y=3x2 在点 处的导(1,)数.解：（1） ,2210 0)1()|limlimx x 所以，所求切线的斜率为 2，因此，所求的切线方程为 即2(1)yx20y（2）因为2211133()|lilili36x xxy 所以，所求切线的斜率为 6，因此，所求的切线方程为 即()y3
20、xy（2）求函数 f(x)= 在 附近的平均变化率，并求出在该点处的导数 2解： xxxy 32)1()(20 0()()(1)limlim()3x xf A A例 2 （课本例 2）如图 3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数 ，根据图像，请描述、比较曲线()4.96.510hx在 、 、 附近的变化情况()ht01t2解：我们用曲线 在 、 、 处的切线，刻画曲线 在上述三个时刻附近的变化情况()h0t12t ()ht（1） 当 时，曲线 在 处的切线 平行于 轴，所以，在 附近曲线比较平坦，几0t00lx0t乎没有升降（2） 当 时，曲线 在 处的切线 的斜率 ，所以，在 附近
21、曲线下降，即1()t111()t1t函数 在 附近单调递减2()4.96.5xxt（3） 当 时，曲线 在 处的切线 的斜率 ，所以，在 附近曲线下降，2th2l2h 2即函数 在 附近单调递减0从 图 3.1-3 可 以 看 出 ， 直 线 的 倾 斜 程 度 小 于 直 线 的 倾 斜 程 度 ， 这 说 明 曲 线 在 附 近 比 在 附 近 下 降1l 1tt的 缓 慢 例 3 （课本例 3）如图 3.1-4，它表示人体血管中药物浓度 (单位： )随时间)cft/mgL（单位： ）变化的图象根据图像，估计 时，血管中药物浓度的瞬时tmin.2,04.6,8t变化率（精确到 ） 0.解：
22、血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度 在此时刻的导数，从图像上看，()ft它表示曲线 在此点处的切线的斜率()ft如图 3.1-4，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值作 处的切线，并在切线上去两点，如 ， ，则它的斜率为：0.8t(0.7,91)(.0,48)所以 491.47k8)f下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值： t0.2 0.4 0.6 0.8药物浓度瞬时变化率 ()ft0.4 0 -0.7 -1.4四课堂练习1求曲线 y=f(x)=x3 在点 处的切线； 2求曲线 在点 处的切线1, yx(4,2)五回顾总结 1曲线的切线及切线的斜率； 2导数的几何意义六布置作业1.2.1 几个常用函数的导数教学目标：
