1、1高中数学函数知识点总结1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性” 。CBAxyxCyBxyA 、，如 ： 集 合 lg|),(lg|lg| 中元素各表示什么？A 表示函数 y=lgx 的定义域，B 表示的是值域，而 C 表示的却是函数上的点的轨迹2 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况注重借助于数轴和文氏图解集合问题。空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。如 ： 集 合 ，AxBxa| |2301若 ， 则 实 数 的 值 构 成 的 集 合 为Ba（ 答 ： ， ， ）103显然，这里很容易解出 A=-1,3.而 B 最多只
2、有一个元素。故 B 只能是-1或者 3。根据条件，可以得到 a=-1,a=1/3. 但是， 这里千万小心，还有一个 B 为空集的情况，也就是 a=0,不要把它搞忘记了。3. 注意下列性质： （ ） 集 合 ， ， ， 的 所 有 子 集 的 个 数 是 ；1 212aan n要知道它的来历：若 B 为 A 的子集，则对于元素 a1来说，有 2 种选择（在或者不在） 。同样，对于元素 a2, a3,an,都有 2 种选择，所以，总共有 种选择， 即集合 A 有 个子集。n n当然，我们也要注意到，这 种情况之中，包含了这 n 个元素全部在何全部不在的情况，故真子集个数为 ，非空真子集个数为1n2
3、n（ ） 若 ， ；2ABB（3）德摩根定律：CCUUUUAB，有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂24. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）如 ： 已 知 关 于 的 不 等 式 的 解 集 为 ， 若 且 ， 求 实 数xaMa50352的取值范围。 （ ， ， ， ， ）33505153922Maa注意，有时候由集合本身就可以得到大量信息，做题时不要错过； 如告诉你函数 f(x)=ax2+bx+c(a0) 在 上单调递减，在 上单调递增，(,1)(1,)就应该马上知道函数对称轴是 x=1.或者，我说在上 ，也应该马上可以想到 m，n 实际上就是方程 的 2 个根5、熟悉命题
4、的几种形式、()()().可 以 判 断 真 假 的 语 句 叫 做 命 题 ， 逻 辑 连 接 词 有 “或 ”， “且 ”和 “非 ”若 为 真 ， 当 且 仅 当 、 均 为 真pqpq若 为 真 ， 当 且 仅 当 、 至 少 有 一 个 为 真若 为 真 ， 当 且 仅 当 为 假命题的四种形式及其相互关系是什么？（互为逆否关系的命题是等价命题。 ）原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。6、熟悉充要条件的性质（高考经常考）满足条件 ， 满足条件 ，xA|pxB|q若 ；则 是 的充分非必要条件 ；qBA_若 ；则 是 的必要非充分条件 ；若 ；则 是 的充要条件 ；p若
5、 ；则 是 的既非充分又非必要条件 ；q _7. 对映射的概念了解吗？映射 f：AB，是否注意到 A 中元素的任意性和 B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？（一对一，多对一，允许 B 中有元素无原象。 ）注意映射个数的求法。如集合 A 中有 m 个元素，集合 B 中有 n 个元素，则从 A 到 B 的映射个数有 nm个。3如：若 ， ；问： 到 的映射有 个， 到4,321A,cbaBABB的映射有 个； 到 的函数有 个，若 ，则 到 的3,21A一一映射有 个。函数 的图象与直线 交点的个数为 个。)(xyax8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应
6、法则、值域）相同函数的判断方法：表达式相同；定义域一致 (两点必须同时具备)9. 求函数的定义域有哪些常见类型？例 ： 函 数 的 定 义 域 是yx432lg （ 答 ： ， ， ， ）0234函数定义域求法： 分式中的分母不为零； 偶次方根下的数（或式）大于或等于零； 指数式的底数大于零且不等于一； 对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。 正切函数 xytankxR,2,且 余切函数 co且 反三角函数的定义域函数 yarcsinx 的定义域是 1, 1 ，值域是 ，函数yarccosx 的定义域是 1, 1 ，值域是 0, ，函数 yarctgx的定义域是 R ，值域是 .，函数 y
7、arcctgx 的定义域是 R ，值域是 (0, ) .当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。10. 如何求复合函数的定义域？如 ： 函 数 的 定 义 域 是 ， ， ， 则 函 数 的 定fxabaF(xfx() )()0义域是_。 （ 答 ： ， ）复合函数定义域的求法：已知 的定义域为 ，求 的定)(xfynm,)(gfy义域，可由 解出 x 的范围，即为 的定义域。nxgm)( )(xgfy4例 若函数 的定义域为 ，则 的定义域为 )(xfy2,1)(log2xf。分析：由函数 的定义域为 可知： ；所
8、以)(xfy2,121x中有 。)(log2xfy2log1解：依题意知： 2log1x解之，得 42 的定义域为)(log2xf |x11、函数值域的求法1、直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例 求函数 y= 的值域x12、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例、求函数 y= -2x+5，x -1，2的值域。23、判别式法对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂5. 12.22222ba y型 ： 直 接 用 不 等 式 性 质k+x
9、型 ,先 化 简 ， 再 用 均 值 不 等 式mn 例 ： 1xxc y型 通 常 用 判 别 式nd型 法 一 ： 用 判 别 式法 二 ： 用 换 元 法 ， 把 分 母 替 换 掉x1（ x+） （ 1） 1例 ： y（ x+） 24、反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例 求函数 y= 值域。6543x5、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。例 求函数 y= ， ， 的值域。1xe2sin1y2sin1coy2 2202sin1|sin|,12(co
10、s)cosi 14in()1,sin4s4即又 由 知解 不 等 式 ， 求 出 ， 就 是 要 求 的 答 案xxy yy yxyxy6、函数单调性法通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容例求函数 y= （2x10）的值域25xlog31x67、换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。例 求函数 y=x+ 的值域。1x8 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。例
11、：已知点 P（x.y）在圆 x2+y2=1 上，2,(),(,20, (1)的 取 值 范 围y-的 取 值 范 围 解 :()令 则 是 一 条 过 -的 直 线 . d为 圆 心 到 直 线 的 距 离 R为 半 径 )2)令 y-即 也 是 直 线 d xykxRbyxR例求函数 y= + 的值域。282解：原函数可化简得：y=x-2+x+8 上式可以看成数轴上点 P（x）到定点 A（2） ，B（-8）间的距离之和。由上图可知：当点 P 在线段 AB 上时，y=x-2+x+8=AB=10当点 P 在线段 AB 的延长线或反向延长线上时，y=x-2+x+8AB=10故所求函数的值域为：10
12、，+）例求函数 y= + 的值域1362x542x解：原函数可变形为：y=+)0(22 )10(22上式可看成 x 轴上的点 P（x，0）到两定点 A（3，2） ，B（-2，-1）的距离之和，7由图可知当点 P 为线段与 x 轴的交点时，y =AB= =min )12(3，43故所求函数的值域为 ，+） 。43注：求两距离之和时，要将函数 9 、不等式法利用基本不等式 a+b2 ，a+b+c3 （a，b，c ） ，求abc3R函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例：倒数法有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来
13、之后，你会发现另一番境况例 求函数 y= 的值域32x0121120时 ，时 ， =yxyxy多种方法综合运用总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和332(0)1132x =x (应 用 公 式 a+bc时 ， 注 意 使 者 的 乘 积 变 成 常 数 ）a3()12x(3-)=1. 排除选项 C,D.现在看值域。原函数至于为 y=1,则反函数定义域为 x=1, 答案为 B.我题目已经做完了， 好像没有动笔（除非你拿来写*书） 。思路能不能明白呢？14. 反函数的性质有哪些？9反函数性质：1、 反函数的定义域是
14、原函数的值域 （可扩展为反函数中的 x 对应原函数中的 y）2、 反函数的值域是原函数的定义域（可扩展为反函数中的 y 对应原函数中的 x）3、 反函数的图像和原函数关于直线=x 对称（难怪点（x,y）和点（y，x）关于直线 y=x 对称互为反函数的图象关于直线 yx 对称；保存了原来函数的单调性、奇函数性； 设 的 定 义 域 为 ， 值 域 为 ， ， ， 则yf(x)ACaAbf(a)=bf1()aabafbf111()，由反函数的性质，可以快速的解出很多比较麻烦的题目，如（04. 上海春季高考）已知函数 ，则方程 的解)24(log)(3xf 4)(1xf_.x15 . 如何用定义证明
15、函数的单调性？（取值、作差、判正负）判断函数单调性的方法有三种：(1)定义法：根据定义，设任意得 x1,x2，找出 f(x1),f(x2)之间的大小关系可以变形为求 的正负号或者 与 1 的关系12()ff2()fx(2)参照图象：若函数 f(x)的图象关于点(a，b)对称，函数 f(x)在关于点(a，0)的对称区间具有相同的单调性； （特例：奇函数）若函数 f(x)的图象关于直线 xa 对称，则函数 f(x)在关于点(a，0)的对称区间里具有相反的单调性。 （特例：偶函数）(3)利用单调函数的性质：函数 f(x)与 f(x)c(c 是常数)是同向变化的函数 f(x)与 cf(x)(c 是常数
16、)，当 c0 时，它们是同向变化的；当c0 时，它们是反向变化的。如果函数 f1(x)，f2(x)同向变化，则函数 f1(x)f2(x)和它们同向变化；（函数相加）10如果正值函数 f1(x)，f2(x)同向变化，则函数 f1(x)f2(x)和它们同向变化；如果负值函数 f1(2)与 f2(x)同向变化，则函数 f1(x)f2(x)和它们反向变化；（函数相乘）函数 f(x)与 在 f(x)的同号区间里反向变化。1()fx若函数 u(x)，x，与函数 yF(u)，u()，()或 u(),()同向变化，则在，上复合函数 yF(x)是递增的；若函数 u(x),x，与函数 yF(u)，u()，()或 u()，()反向变化，则在，上复合函数yF(x)是递减的。 （同增异减）若函数 yf(x)是严格单调的，则其反函数 xf 1 (y)也是严格单调的，而且，它们的增减性相同。如 ： 求 的 单 调 区 间yxlog12（ 设 ， 由 则uux02且 ， ， 如 图 ：l1221 u O 1 2 x 当 ， 时 ， ， 又 ， xuuy(log0112当 ， 时 ， ， 又 ， )2）f(g)g(x)fg(x)f(x)+g(x)f(x)*g(x) 都是正数增 增 增 增 增增 减 减 / /减 增 减 / /减 减 增 减 减
