1、 第 1 页 共 21 页 1高中数学圆的方程典型例题类型一： 圆的方程例 1 求过两点 )4,1(A、 )2,3(B且圆心在直线 0y上的圆的标准方程并判断点 )4,2(P与圆的关系分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点 与圆的位置关系，只须看点 P与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为 22)()(rbyax圆心在 0y上，故 圆的方程为 22)(ryx又该圆过 4,1A、 ,3(B两点 22)3(6ra解之得： 1， 0所以所求圆的方程为 2)(
2、2yx解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过 )4,1(A、 ),3(B两点，所以圆心 C必在线段 AB的垂直平分线 l上，又因为32ABk，故 l的斜率为 1，又 A的中点为 )3,2(，故 的垂直平分线 的方程为：xy即 0y又知圆心在直线 上，故圆心坐标为 )0,1(C半径 24)1(2ACr故所求圆的方程为 yx又点 )4,2(P到圆心 )0,(的距离为 rCd2512点 在圆外说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？ 第 2
3、页 共 21 页 2例 2 求半径为 4，与圆 042yx相切，且和直线 0y相切的圆的方程分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解解：则题意，设所求圆的方程为圆 22)()(rbaC： 圆 C与直线 0y相切，且半径为 4，则圆心 的坐标为 )4,(1aC或 )4,(2又已知圆 0242yx的圆心 A的坐标为 2，半径为 3若两圆相切，则 73A或 3C(1)当 ),(1aC时， 22)1()(，或 221)4()(a(无解)，故可得02所求圆方程为 22)4()0(yx，或 224)()0(yx(2)当 )4,2aC时， 71，或 214)a(无解)，故6所求圆的方程为 224)()6(
4、yx，或 224)()6(yx说明：对本题，易发生以下误解：由题意，所求圆与直线 0y相切且半径为 4，则圆心坐标为 )4,(aC，且方程形如224)()(yax又圆 022yx，即 2231yx，其圆心为1,A，半径为 3若两圆相切，则 3CA故 7)()(，解之得02所以欲求圆的方程为 224)1(yx，或24)()(yx上述误解只考虑了圆心在直线 0上方的情形，而疏漏了圆心在直线 0y下方的情形另外，误解中没有考虑两圆内切的情况也是不全面的例 3 求经过点 )5,0(A，且与直线 2yx和 0yx都相切的圆的方程分析：欲确定圆的方程需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点 A，故只需确定圆
5、心坐标又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上解：圆和直线 yx与 yx相切，圆心 C在这两条直线的交角平分线上， 第 3 页 共 21 页 3又圆心到两直线 02yx和 yx的距离相等 5yx两直线交角的平分线方程是 03yx或 yx又圆过点 ),0(A，圆心 C只能在直线 yx上设圆心 )3,(t 到直线 02yx的距离等于 AC， 2)53(5tt化简整理得 062t解得： 1t或圆心是 )3,(，半径为 5或圆心是 )15,(，半径为 5所求圆的方程为 )3()22yx或 12)(2yx说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方
6、程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法例 4、 设圆满足：(1)截 y轴所得弦长为 2；(2)被 x轴分成两段弧，其弧长的比为 1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线 0yxl： 的距离最小的圆的方程分析：要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程满足两个条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程解法一：设圆心为 ),(baP，半径为 r则 到 x轴、 y轴的距离分别为 和 a由题设知：圆截 轴所得劣弧所对的圆
7、心角为 90，故圆截 x轴所得弦长为 r2 2br又圆截 y轴所得弦长为 2 12a 第 4 页 共 21 页 4又 ),(baP到直线 02yx的距离为52d 22ba4)(2221ab当且仅当 时取“=”号，此时 5mind这时有 12ab 或又 22br故所求圆的方程为 2)1()(2yx或 2)1()(2yx解法二：同解法一，得 52bad d 2254ba将 1代入上式得： 022db上述方程有实根，故 )15(82， d 第 5 页 共 21 页 5将 5d代入方程得 1b又 12ab 由 知 、 b同号故所求圆的方程为 2)1()(2yx或 2)1()(2yx说明：本题是求点到直
8、线距离最小时的圆的方程，若变换为求面积最小呢？类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例 5 已知圆 42yxO： ，求过点 42，P与圆 O相切的切线解：点 ，P不在圆 上，切线 T的直线方程可设为 xky根据 rd 214k解得 3所以 42xy即 013因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在易求另一条切线为2x说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于 0 解决（也要注意漏解）还可以运用 20ryx，求出切点坐标 0x、 y的值来解决，此时没有漏解例 6 两圆 1121 FEDC：
9、与 222FyExDC： 相交于 A、 B两点，求它们的公共弦 AB所在直线的方程分析：首先求 、 两点的坐标，再用两点式求直线 AB的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧解：设两圆 1、 2的任一交点坐标为 ),(0yx，则有：01020FyExDyx22 第 6 页 共 21 页 6得： 0)()( 21021021 FyExD A、 B的坐标满足方程 )(21yx方程 )()( 212121yx是过 A、 B两点的直线方程又过 、 两点的直线是唯一的两圆 1C、 2的公共弦 AB所在直线的方程为 0)()( 212121 FyExD说明：上述解法中
10、，巧妙地避开了求 、 两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标从解题的角度上说，这是一种“设而不求”的技巧，从知识内容的角度上说，还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识它的应用很广泛例 7、过圆 外一点 ，作这个圆的两条切线 、 ，切点分别是 、 ，求12yx)3,2(MMABAB直线 的方程。AB练习：1求过点 ，且与圆 相切的直线 的方程(3,1)M2(1)4xyl解：设切线方程为 ，即 ，3yk310k圆心 到切线 的距离等于半径 ，,0l ，解得 ， 2|1k4切线方程为 ，即 ，3()yx130y当过点 的直
11、线的斜率不存在时，其方程为 ，圆心 到此直线的距离等于半径 ，Mx(,)2故直线 也适合题意。x所以，所求的直线 的方程是 或 l42、过坐标原点且与圆 相切的直线的方程为 0252yx解：设直线方程为 ，即 .圆方程可化为 ，圆心为ky 25)1()2(yx（2，-1） ，半径为 .依题意有 ，解得 或 ，直线方程为210212k3k或 .xy33、已知直线 与圆 相切，则 的值为 .015ay022yxa 第 7 页 共 21 页 7解：圆 的圆心为（1，0） ，半径为 1， ，解得 或 .)(2yx 125a8a1类型三：弦长、弧问题例 8、求直线 被圆 截得的弦 的长.063:yxl
12、042:2yxCAB例 9、直线 截圆 得的劣弧所对的圆心角为 032yx42yx解：依题意得，弦心距 ，故弦长 ，从而OAB 是等边三角形，故截d22drAB得的劣弧所对的圆心角为 .3O例 10、求两圆 和 的公共弦长022yx52yx类型四：直线与圆的位置关系例 11、已知直线 和圆 ，判断此直线与已知圆的位置关系 .3yx42yx例 12、若直线 与曲线 有且只有一个公共点，求实数 的取值范围.mxy24xym解：曲线 表示半圆 ，利用数形结合法，可得实数 的取值范24)0(y围是 或 .2例 13 圆 9)3()(22yx上到直线 143yx的距离为 1 的点有几个？分析：借助图形直
13、观求解或先求出直线 l、 2的方程，从代数计算中寻找解答解法一：圆 )()(22yx的圆心为 ),(1O，半径 3r设圆心 1O到直线 0143的距离为 d，则 32412如图，在圆心 1同侧，与直线 1yx平行且距离为 1 的直线 1l与圆有两个交点，这两个交点符合题意 第 8 页 共 21 页 8又 123dr与直线 04yx平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意符合题意的点共有 3 个解法二：符合题意的点是平行于直线 0143yx，且与之距离为 1 的直线和圆的交点设所求直线为 04myx，则 2d， 51m，即 6，或 1，也即3l：，或 32l： 设圆 9)()(21yxO：
14、 的圆心到直线 1l、 2的距离为 1d、 2，则34621d， 43622d 1l与 相切，与圆 1有一个公共点； l与圆 1O相交，与圆 1有两个公共点即符合题意的点共 3 个说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解：设圆心 1O到直线 0143yx的距离为 d，则 32432圆 1到 距离为 1 的点有两个显然，上述误解中的 d是圆心到直线 043yx的距离， rd，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为 1到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点求直线与圆的公共点个数，一般根据圆
15、与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断练习 1：直线 与圆 没有公共点，则 的取值范围是 1yx )0(22ayx a 第 9 页 共 21 页 9解：依题意有 ，解得 . ， .a2112a012a练习 2：若直线 与圆 有两个不同的交点，则 的取值范围是 .kxy)3()(yk解：依题意有 ，解得 ， 的取值范围是 .1240k)34,0(3、 圆 03422yx上到直线 01yx的距离为 2的点共有（ ） （A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4 个分析：把 2化为 822，圆心为 21， ，半径为2r，圆心到直线的距离为 ，所以在圆上共有三个点到
16、直线的距离等于 ，所以选 C4、 过点 43，P作直线 l，当斜率为何值时，直线 l与圆 421yxC： 有公共点，如图所示分析：观察动画演示，分析思路解：设直线 l的方程为 34xky即 0根据 rd有 2143k整理得 0432解得 34k类型五：圆与圆的位置关系问题导学四：圆与圆位置关系如何确定？例 14、判断圆 与圆 的位置关系，026:21 yxC 042:22 yxCP EOyx 第 10 页 共 21 页 10例 15：圆 和圆 的公切线共有 条。022xy042y解：圆 的圆心为 ，半径 ，圆 的圆心为1)( ),1(O1r4)2(2yx，半径 ， . ，两,02O2r ,35
17、222121rOr圆相交.共有 2 条公切线。练习1：若圆 与圆 相切，则实数 的取0422mxyx 084222 myxy m值集合是 .解：圆 的圆心为 ，半径 ，圆 的圆心)(2),(1O1r 9)()1(22y为 ，半径 ，且两圆相切， 或 ，,12O32r 2212rO或 ，解得 或 ，或 或 ，5)(m)(2m5m025m实数 的取值集合是 .,0,12：求与圆 外切于点 ，且半径为 的圆的方程.2yx)2,(P2解：设所求圆的圆心为 ，则所求圆的方程为 .两圆外切于点 ，),1baO20)()(byax P ， ， ，所求圆的方程为13OP(32(6,3ba.0)6)(2yx类型六：圆中的对称问题例 16、圆 关于直线 对称的圆的方程是 2690xy250xy例 17 自点 3，A发出的光线 l射到 x轴上，被 轴反射，反射光线所在的直线与圆 0742yxC： 相切（1）求光线 l和反射光线所在的直线方程（2）光线自 到切点所经过的路程分析、略解：观察动画演示，分析思路根据对称关系，首先求出点 G O BNMyAx图3CA
