1、高中数学向量专题学习目标1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念.掌握向量的加法和减法.掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件.2.掌握平面两点间的距离公式，掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练运用，掌握平移公式.掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件.3.了解平面向量的基本原理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形.向量是高中数学的新增内容，作为数形结合的有力工具，它的应用极其广泛，在复数、平几、解几、立几、物理等知识中均有涉
2、及.本章在系统地学习了平面向量的概念及运算的基础上，突出了向量的工具作用，利用向量的思想方法解决问题是本章特点的一个方面，向量本身具有数与形结合的双重身份，这为解决问题过程中充分运用数形结合的思想方法创造了条件.通过本章学习，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力.知识点1.向量的定义既有方向，又有大小的量叫做向量.它一般用有向线段表示. 表示从点 A 到 B 的向量(即 A 为起点，B 为终点的向量)，也可以用字母 a、b、c等表示.(印刷用黑体 a、b、c，书写用 、 、 注意：长度、面积、体积、质量abc等为数量，位移、速度、力等为向量).2.向量的模所谓向量 的大小，就是向量 的长度(
3、或称模)，记作 或者 .向量不能比较大小，但向量的模ABABAB可以比较大小.3.零向量与单位向量：长度为 0 的向量称为零向量，用 表示. 向量的方向是不定的，或者说任何方向都是0向量的方向，因此 向量有两个特征：一长度为 0；二是方向不定.长度为 1 的向量称为单位向量.004.平行向量、共线向量方向相同或相反的非零向量称为平行向量.特别规定零向量与任一向量都平行.因此，零向量与零向量也可以平行.根据平行向量的定义可知：共线的两向量也可以称为平行向量.例如 与 也是一对平行向量.AB由于任何一组平行向量都可移到同一直线上，故平行向量也叫做共线向量.例如，若四边形 ABCD 是平行四边形，则
4、向量 与 是一组共线向量；向量 与 也是一组共线向量.ABCDADBC5.相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，若向量 与向量 相等，记作 = .零向量与零向量相等，任意两个abab相等的非零向量都可以用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.重点难点通过本节学习，应该掌握：(1)理解向量、零向量、单位向量、相等向量的概念；(2)掌握向量的几何表示，会用字母表示向量；(3)了解平行向量的概念及表示法，了解共线向量的概念.例 1 判断下列各命题是否正确(1)若 = ，则 =aba(2)若 A、B、C、D 是不共线的四点，则 = 是四边形 ABCD 是平行四边形的充要条件.ABDC(
5、3)若 = , = ,则 =abca(4)两向量 、 相等的充要条件是(5) = 是向量 = 的必要不充分条件.abab(6) = 的充要条件是 A 与 C 重合，B 与 D 重合.ABCD解：(1)不正确，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.(2)正确. = , = 且 .AC又 A、B、C、D 是不共线的四点.四边形 ABCD 是平行四边形，反之，若四边形 ABCD 是平行四边形则 DC，且 与 方向相同，因此ABDC= .(3)正确. =ab ， 的长度相等且方向相同；又 =c ， 的长度相等且方向相同.b ， 的长度相等且方向相同，故 =acac(4)不正确.当 ,但方向相反，
6、即使 = ，也不能得到 = ，故bbab不是 = 的充要条件.ab(5)正确.这是因为 = ,但 = = ,所以 = 是 = 的必要不充分条件.| b|a abbaba(6)不正确.这是因为 = 时，应有： = 及由 A 到 B 与由 C 到 D 的方向相同，但不一定要有ABCDABCDA 与 C 重合、B 与 D 重合.说明：针对上述结论(1)、(4)、(5)，我们应该清醒的认识到，两非零向 、 相等的充要条件应是 、 的abab方向相同且模相等.针对结论(3)，我们应该理解向量相等是可传递的.结论(6)不正确，告诉我们平面向量 与 相等，并不要求它们有相同的起点与终点.当然如果我们将相等的
7、两ab向量的起点平移到同一点.则这时它们的终点必重合.例 2 如图所示，ABC 中，三边长AB、BC、AC均不相等，E、F、D 是 AC，AB，BC 的中点.(1)写出与 共线的向量.EF(2)写出与 的模大小相等的向量.(3)写出与 相等的向量.解：(1)E、F 分别是 AC，AB 的中点EFBC从而，与 共线的向量，包括：E， ， ， ， ， ， .BDCDB(2)E、F、D 分别是 AC、AB、BC 的中点EF= BC,BD=DC= BC.21又AB、BC、AC 均不相等从而，与 的模大小相等的向量是： 、 、 、 、EFEBDCD(3)与 相等的向量，包括： 、 .FC例 3 判断下列
8、命题真假(1)平行向量一定方向相同.(2)共线向量一定相等.(3)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等的向量.(4)不相等的向量，则一定不平行.(5)非零向量的单位向量是 .a解：(1)假命题，还可以方向相反；(2)假命题，共线向量仅方向相同或相反；大小不一定相等；(3)真命题，因为向量与起点位置无关；(4)假命题，因为若 , 方向相同，但只要 ，则 .ababa(5)真命题，任一非零向量： 的单位向量为 .例 4 如图，已知：四边形 ABCD 中，N、M 分别是 AD、BC 的中点，又 = .ABDC求证： = ，CNMA证明： =BDAB=DC，且 ABDC.从而，四边形 ABCD
9、 是平行四边形.ADBC，AD=BCN、M 分别是 AD、BC 的中点.AN= AD,MC= BC.21AN=MC.又 ANMC，四边形 AMCN 是平行四边形.于是得：AMNC，AM=NC.又由图可知： 与 的方向一致.CNA =M【难题巧解点拔】例 1 如图，已知四边形 ABCD 是矩形，O 是两对角线 AC 与 BD 的交点，设点集 M=A,B,C,D,O、向量的集合 T=任 P，QM，且 P、Q 不重合，试求集合 T 的子集个数.Q分析：要确定向量为元素的集合 T 有多少个子集，就需搞清楚集合 T 中有多少个相异的向量.解：以矩形 ABCD 的四顶点及它的对角线交点 O，五点中的任一点
10、为起点，其余四点中的一点为终点的向量共有20 个，但是这 20 个向量不是各不相等的，我们下面将这 20 个向量一一列举出来：= 、 = ; = 、 = ; 、 ； 、 ； = 、 = ; = 、 =AOCDOBACBDABCDABC.它们中有 12 个向量是各不相等的.故 T 是一个 12 元集.所以 T 有 212个子集.D说明：在上述解题过程中，我们一定要根据集合元素的互异性.算出 T 中的元素个数为 12.而不是 20.这样才能得到正确的结果.例 2 已知；如图，点 D 在ABC 的边 BC 上，且与 B、C 不重合，E、F 分别在 AB、AC 上， = .DFEA(1)求证：BDED
11、CF.(2)求当 D 在什么位置时，四边形 AEDF 的面积可以取到最大值?证明：(1) =FEADFAE，DF=EA.从而，得：四边形 AEDF 是平行四边形DEAF，DE=AF由 DEAF 可得：BDE=C由 DFAE 可得：B=FDCBDEDCF(2)设BC=a,AC=b,AB=c,BD=x,则DC=a-x.BDEDCF. = =CDBFE从而， = ，设比为 k1.xa= ，设比为 k2.E由BE+DF=c,ED+FC=b.可得：xk 1+(a-x)k1=c,k 1= .acxk2+(a-x)k2=b,k 2= .bDF= (a-x)acDE= x由点 F 作 FTAB，垂足为 T由锐
12、角三角函数，FT=AFsinA= xsinAabS AEDF=DFFT= (a-x) xsinAc= (ax-x2)sinA2abc= -(x- )2sinA sinA2abc4a4bc当且仅当 x= 时，等号成立.答：D 是 BC 边的中点时，S AEDF取到最大值.例 3 如图 A1，A 2，A 8是O 上的八个等分点，则在以 A1，A 2A8及圆心 O 九个点中任意两点为起点与终点的向量中，模等于半径的向量有多少个?模等于半径 倍的向量有多少个?2分析：(1)由于 A1、A 2A8是O 上的八个等分点，所以八边形 A1A2A8是正八边形，正八边形的边及对角线长均与O 的半径不相等.所以模
13、等于半径的向量只可能是 与 (i=1,2,，8)两类.iOi(2)O 内接正方形的边长是半径的 倍，所以我们应考虑与圆心 O 形成 90圆心角的两点为端点的向量个数.2解：(1)模等于半径的向量只有两类，一类是 (i=1,2，8)共 8 个；另一类是 (i=1,2,8)也有 8iAOAi个，两类合计 16 个.(2)以 A1，A 2，A 8为顶点的O 的内接正方形有两个，一是正方形 A1A3A5A7；另一个是正方形 A2A4A6A8.在题中所述的向量中，只有这两个正方形的边(看成有向线段，每一边对应两个向量)的长度为半径的 倍.所以模为半径倍的向量共有 422=16 个.2说明：(1)在模等于
14、半径的向量个数的计算中，要计算 与 (i=1，2，8)两类，一般我们易想到 iOAi iOA(i=1,2,，8)这 8 个，而易遗漏 (i=1，2，8)这 8 个.OAi(2)圆内接正方形的一边对应了长为 的两个向量.例如边 A1A3对应向量 与 .因此与(1)一样，在解题3142A过程中主要要防止漏算.认为满足条件的向量个数为 8 是错误的.【命题趋势分析】本节着重考查对向量的概念的理解，高考中将会以选择题、填空题形式命题.【典型热点考题】例 1 给出下列 3 个命题：(1)单位向量都相等；(2)单位向量都共线；(3)共线的单位向量必相等.其中真命题的个数是( )A.0 B.1 C.2 D.
15、3分析：本题考查单位向量和共线向量的概念及它们之间的联系等基础知识，增加了考点，加大了难度.因为不同的单位向量有不同的方向，所以(1)和(2)较易判断是假命题.因为共线的单位向量有可能方向相反，它们不一定相等，所以(3)也是假命题.选 A.例 2 如图，四边形 ABCD 和 ABDE 都是平行四边形.(1)与向量 相等的向量有 ；(2)若 =3，则向量 的模等于 .ABABEC分析：本题考查用向量的观点对平面图形进行初步判断的能力，是容易题，由条件，可得 = 且EDAB= ，所以 = .于是 E、D、C 三点共线，故 = + =2 =6.DC D答：(1) ， ；(2)6E例 3 下列命题中，
16、正确的是( )A. = = B. abaabaC. = D. =0 =0解：由向量的定义知：向量既有大小，也有方向，由向量具有方向性可排除 A、B，零向量、数字 0 是两个不同的概念，零向量是不等于数字 0 的.应排除 D，应选 C.例 4 下列四个命题：若 =0,则 =0；若 = ,则 = 或 =- ；若 与 是平行向量，aababa则 = ；若 = ，则- = 正确命题个数是( )ab0A.1 B.2 C.3 D.4分析：是忽略了 0 与 不同，由于 =0 = ,但 不能写成 0；a0是对两个向量的模相等与两个实数相等混淆了，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相同，并不意味它们的方向相同
17、或相反；是对两个向量平行的意义理解不透，两个向量平行，只是这两个向量的方向相同或相反，而它们的模不一定相等；正确，故选 A.强化练习：一、选择题1.下列命题中的假命题是( )A.向量 与 的长度相等ABB.两个相等向量若起点相同，则终点必相同C.只有零向量的模等于 0D.共线的单位向量都相等2.如图，在圆 O 中，向量 ， ， 是( )BCAOA.有相同起点的向量 B.单位向量C.相等的向量 D.模相等的向量3.如图，ABC 中，DEBC，则其中共线向量有( )A.一组 B.二组 C.三组 D.四组4.若 是任一非零向量， 是单位向量，下列各式ab ； ； 0； =1； = ，其中正确的有(
18、)bababA. B. C. D.5.四边形 ABCD 中，若向量 与 是共线向量，则四边形 ABCD( )ABCDA.是平行四边形 B.是梯形C.是平行四边形或梯形 D.不是平行四边形，也不是梯形6.把平面上所有单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是( )A.一条线段 B.一个圆面C.圆上的一群弧立点 D.一个圆7.若 ， 是两个不平行的非零向量，并且 , ，则向量 等于( )abacbcA. B. C. D. 不存在0a8.命题 p： 与 是方向相同的非零向量，命题 q: 与 是两平行向量，则命题 p 是命题 q 的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条
19、件 D.既不充分也不必要条件二、判断题1.向量 与 是两平行向量.( )AB2.若 是单位向量， 也是单位向量，则 = .( )abab3.长度为 1 且方向向东的向量是单位向量，长度为 1 而方向为北偏东 30的向量就不是单位向量.( )4.与任一向量都平行的向量为 向量.( )05.若 = ,则 A、B、C、D 四点构成平行四边形.( )6.两向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点也相同.( )7.设 O 是正三角形 ABC 的中心，则向量 的长度是 长度的 倍.( )ABO38.已知四边形 ABCD 是菱形，则 = 是菱形 ABCD 为正方形的充要条件.( )D9.在坐标平面上，以坐标
20、原点 O 为起点的单位向量的终点 P 的轨迹是单位圆.( )10.凡模相等且平行的两向量均相等.( )三、填空题1.已知 ， ， 为非零向量，且 与 不共线，若 ，则 与 必定 .abcabcab2.已知 =4, =8，AOB=60，则 = .OABAB3.如图，已知 O 是正六边形的中心，则在图中所标出的各向量中，模等于该正六边形边长的向量共有 个.4.如图所示，四边形 ABCD 与 ABDE 都是平行四边形，则与向量 共线的向量有 ；AB若 =1.5,则 = .CE5.已知四边形 ABCD 中， = ,且 = ,则四边形 ABCD 的形状是 .21DABC四、解答题1.如图，在ABC 中，
21、已知：向量 = , = ,求证： = .FEDAF2.在直角坐标系中，将所有与 y 轴共线的单位向量的起点移到 x 轴上，其终点的集合构成什么图形?【素质优化训练】1.已知 、 是任意两个向量，下列条件： = ; = ; 与 的方向相反； = 或 = ;ababbaa0b与 都是单位向量.其中，哪些是向量 与 共线的充分不必要条件 .2.已知 ABCD 是等腰梯形，ABDC，下列各式： = ; = ; = ; ABDCBACBDA; .DCABD正确的式子的序号是 .3.不相等的向量 和 ，有可能是平行向量吗?若不可能，请说明理由；若有可能，请把各种可能的情形一一列ab出.4.下列各组量是不是向量?如果是向量，说明这些向量之间有什么关系?(1)两个三角形的面积 S1，S 2；(2)桌面上两个物体各自受到的重力 F1，F 2；(3)某人向河对岸游泳的速度 v1与水流的速度 v2；(4)浮在水面上的物体受到的重力 W 和水的浮力 F.【生活实际运用】某人从 A 点出发向西走了 10 米，到达 B 点，然后改变方向按西偏北 60走了 15 米到达 C 点，最后又向东走了10 米到达 D 点.(1)作出向量 、 、 (用 1cm 长的线段表示 10m 长)；BCD(2)求 .解：(1)(2)显然 = ,故 = =15cmDACBCB【知识验证实验】
