1、高中数学圆的方程经典例题与解析例 1 求过两点 )4,1(A、 )2,3(B且圆心在直线 0y上的圆的标准方程并判断点)4,2(P与圆的关系分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点 P与圆的位置关系，只须看点 P与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为 22)()(rbyax圆心在 0y上，故 圆的方程为 22)(ryax又该圆过 )4,1(A、 )2,3(B两点 224)3(16解之得： a， 0r所以所求圆的方程为 0yx解法二：（直接求出圆心坐标和半
2、径）因为圆过 )4,1(A、 )2,3(B两点，所以圆心 C必在线段 AB的垂直平分线 l上，又因为 32ABk，故 l的斜率为 1，又 AB的中点为 )3,2(，故 的垂直平分线 的方程为： xy即 0y又知圆心在直线 上，故圆心坐标为 )0,1(C半径 24)1(2ACr 故所求圆的方程为 20)1(2yx又点 )4,2(P到圆心 0,的距离为 rPd542点 在圆外说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？例 2 已知圆 42yxO：
3、，求过点 42，P与圆 O相切的切线解：点 ，P不在圆 上，切线 T的直线方程可设为 42xky根据 rd 21k 解得 43k所以 423xy 即 0143yx因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在易求另一条切线为 说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于 0 解决（也要注意漏解） 还可以运用 20ryx，求出切点坐标 0x、 y的值来解决，此时没有漏解例 3、直线 截圆 得的劣弧所对的圆心角为 32y42解：依题意得，弦心距 ，故弦长 ，从而OAB 是等边三角d22drAB形，故截得
4、的劣弧所对的圆心角为 .3O例 4 圆 9)3()(22yx上到直线 014yx的距离为 1 的点有几个？分析：借助图形直观求解或先求出直线 l、 2的方程，从代数计算中寻找解答解法一：圆 )()(22yx的圆心为 )3,(1O，半径 r设圆心 1O到直线 0143的距离为 d，则 32412如图，在圆心 1同侧，与直线 1yx平行且距离为 1 的直线 1l与圆有两个交点，这两个交点符合题意又 123dr与直线 04yx平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意符合题意的点共有 3 个解法二：符合题意的点是平行于直线 0143yx，且与之距离为 1 的直线和圆的交点设所求直线为 04myx
5、，则 2d， 51m，即 6，或 1，也即06431yxl： ，或 016432yxl： 设圆 9)()(2O： 的圆心到直线 1l、 2的距离为 1d、 2，则3421d， 4322d 1l与 相切，与圆 1有一个公共点； l与圆 1O相交，与圆 1有两个公共点即符合题意的点共 3 个说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解：设圆心 1O到直线 014yx的距离为 d，则 32432圆 1到 3距离为 1 的点有两个显然，上述误解中的 d是圆心到直线 043yx的距离， rd，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为 1到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离
6、为这个定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断例 5：圆 和圆 的公切线共有 条。022xy042y解：圆 的圆心为 ，半径 ，圆 的圆心为1)( ),1(O1r4)2(2yx，半径 ， .,02O2r ,3522， 两圆相交.共有 2 条公切线。11r例 6 自点 3，A发出的光线 l射到 x轴上，被 轴反射，反射光线所在的直线与圆 0742yxC： 相切（1）求光线 l和反射光线所在的直线方程（2）光线自 到切点所经过的路程分析、略解：观察动画演示，分析思路根据
7、对称关系，首先求出点 A的对称点 的坐标为 3， ，其次设过 A的圆 C的切线方程为xky根据 rd，即求出圆 C的切线的斜率为 34k或进一步求出反射光线所在的直线的方程为G O BNMyAx图3CA034yx或 034yx最后根据入射光与反射光关于 轴对称，求出入射光所在直线方程为或 034yx光路的距离为 MA，可由勾股定理求得 7222CMA说明：本题亦可把圆对称到 x轴下方，再求解例 7 (1)已知圆 1)4()3(221yxO： ， ),(yxP为圆 O上的动点，求 2yxd的最大、最小值(2)已知圆 )(22： ， ),(为圆上任一点求 12xy的最大、最小值，求 yx的最大、最
8、小值分析：(1)、(2)两小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决解：(1)( 法 1)由圆的标准方程 1)4()3(22yx可设圆的参数方程为 ,sin4coy（ 是参数） 则 222 sin81669xd )cos(0si8co（其中 34ta） 所以 3102max， 2mind(法 2)圆上点到原点距离的最大值 1等于圆心到原点的距离 1d加上半径 1，圆上点到原点距离的最小值 2等于圆心到原点的距离 减去半径 1所以 61431d22所以 max min(2) (法 1)由 1)2y得圆的参数方程： ,sinco2yx是参数则 3cosin1xy令 t3cos2i
9、n，得 tt2si， t32)i(11)sin(132t 433t所以 4maxt， 4mint即 12y的最大值为 3，最小值为 3此时 )cos(52sincox 所以 y2的最大值为 ，最小值为 (法 2)设 kx1，则 0kyx由于 ),(yxP是圆上点，当直线与圆有交点时，如图所示，两条切线的斜率分别是最大、最小值由 12kd，得 43k所以 xy的最大值为 3，最小值为 令 t2，同理两条切线在 x轴上的截距分别是最大、最小值由 15md，得 52所以 yx2的最大值为 ，最小值为 例 8、 已知圆 062yx与直线 032yx相交于 P、 Q两点， O为原点，且 OQP，求实数
10、m的值分析：设 、 两点的坐标为 ),(1yx、 ),(2，则由 1OQPk，可得021yx，再利用一元二次方程根与系数的关系求解或因为通过原点的直线的斜率为 ，由直线 l与圆的方程构造以 xy为未知数的一元二次方程，由根与系数关系得出OQPk的值，从而使问题得以解决解法一：设点 、 的坐标为 ),(1y、 ),(2一方面，由 OQP，得1OQPk，即 2xy，也即： 021yx 另一方面， ),(1、 ),(2是方程组 632myx的实数解，即 1x、2x是方程 074052mx 的两个根 21， 5221 又 P、 Q在直线 03yx上， )(941)(2)( 211121 xy 将代入，
11、得 5m 将、代入，解得 3，代入方程，检验 0成立， 3解法二：由直线方程可得 yx2，代入圆的方程 062myx，有0)(9)6(2122 myxyx，整理，得 7434)( yxy由于 0，故可得 012)()274( xym OPk， Q是上述方程两根故 1OQPk得1274，解得 3经检验可知 为所求说明：求解本题时，应避免去求 、 两点的坐标的具体数值除此之外，还应对求出的 m值进行必要的检验，这是因为在求解过程中并没有确保有交点 P、 Q存在解法一显示了一种解这类题的通法，解法二的关键在于依据直线方程构造出一个关于xy的二次齐次方程，虽有规律可循，但需一定的变形技巧，同时也可看出
12、，这种方法给人以一种淋漓酣畅，一气呵成之感例 9、已知对于圆 1)(22yx上任一点 ),(yxP，不等式 0myx恒成立，求实数 m的取值范围分析一：为了使不等式 0m恒成立，即使 恒成立，只须使yxin)(就行了因此只要求出 yx的最小值， 的范围就可求得解法一：令 yxu，由 1)(22得： 02uyy 0且 8)(4， 12(u即 )， 21u， min，即 )(minyx又 0yx恒成立即 恒成立 21)(min成立， 分析二：设圆上一点 )sin1,(coP因为这时 P点坐标满足方程 1)(22yx问题转化为利用三解问题来解解法二：设圆 )(22yx上任一点 )sin1,(co),0 cos， sin1 0myx恒成立 si即 )nco1(恒成立只须 m不小于 )sinco1(的最大值设 14(2)s(inu 2max即 说明：在这种解法中，运用了圆上的点的参数设法一般地，把圆 22)()(rby上的点设为 )sin,co(rbra( )2,0)采用这种设法一方面可减少参数的个数，另一方面可以灵活地运用三角公式从代数观点来看，这种做法的实质就是三角代换
