1、1立体几何知识点一、空间几何体1.多面体：由若干个多边形围成的几何体，叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.2.棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。两个互相平行的面叫做底面,其余各面叫做侧面. 3.棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。底面是正多边形，且各侧面是全等的等腰三角形的棱锥叫做正棱锥。正棱锥的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形；顶点在底面上的射影是底面正多边形的中心。4
2、.棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台。由正棱锥截得的棱台叫做正棱台。正棱台的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；正棱台的两底面以及平行于底面的截面是相似的正多边形5.旋转体：由一个平面图形绕一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴，6.圆柱、圆锥、圆台：分别以矩形的一边、直角三角形的直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台。圆柱、圆锥、圆台的性质：平行于底面的截面都是圆；过轴的截面(轴截面)分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形。 注：在处理圆锥、圆台的侧面
3、展开图问题时，经常用到弧长公式 Rl7.球:以半圆的直径为旋转轴，旋转一周所成的曲面叫做球面.球面所围成的几何体叫做球体(简称球)8.简单空间图形的三视图：一个投影面水平放置，叫做水平投影面，投影到这个平面内的图形叫做俯视图。一个投影面放置在正前方，这个投影面叫做直立投影面，投影到这个平面内2的图形叫做主视图(正视图)。和直立、水平两个投影面都垂直的投影面叫做侧立投影面，通常把这个平面放在直立投影面的右面，投影到这个平面内的图形叫做左视图(侧视图)。三视图的主视图、俯视图、左视图分别是从物体的正前方、正上方、正左方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形。（1）.三视图画法规则：高平齐：主视图与
4、左视图的高要保持平齐长对正：主视图与俯视图的长应对正宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等（2）.空间几何体三视图：正视图（从前向后的正投影） ；侧视图（从左向右的正投影） ；俯视图（从上向下正投影） 例题 1.某四棱 锥底面为直角梯形，一条侧棱与底面垂直，四棱锥的三视图如右图所示，则其体积为 例题 2.右图是底面为正方形的四棱锥，其中棱 垂直于底面，它的三视图正确的是（ ）PA来源 :学| 科| 网 Z|X|X|K来源:学_科_网（3）.空间几何体的直观图斜二测画法特点：斜二测坐标系的 轴与 轴正方向成 角；原来与 x 轴平行的线段仍然与 x 平行,长度yx45不变；原来与 y 轴平行的线段仍然
5、与 y 平行，长度为原来的一半常用结论：平面图形面积与其斜二侧直观图面积之比为 ：12例如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45，腰和上底均为 的等1腰梯形，那么原平面图形的面积是( )正视图侧视图俯视图1112DCBA 主主主主主主主主主主主主主PDCBA3A2 B C D21主2主2主19.特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高， 为斜高，l 为母线）：hcS直 棱 柱 侧 面 积 rS圆 柱 侧 2chS正 棱 锥 侧 面 积 rlS圆 锥 侧 面 积)(21正 棱 台 侧 面 积 lR)(圆 台 侧 面 积 lr圆 柱 表 圆 锥 表S =2Rlr圆 台 表
6、球 面 2410.柱体、锥体、台体和球的体积公式：VSh柱 2Vhr圆 柱 13Vh锥 hrV231圆 锥1()3台 22()()SR圆 台V =球 4R例题3: 已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形例 4.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4，体积为 16，则这个球的表面积是（ ）A B C D16202432例 5半径为 R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为_.练习：1. 已知一个几何体的三视图及其大小如图 1,这个几何体的体积 V( )A 12B 16C 18D 64
7、 Main Document Only. 右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是 （ ）. 32.16 C. 2D. 82. 某几何体的三视图如图所示,其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形,则此几何体的体积是 （ ）A 203B6C 10D 163侧（左）视图 421俯视图2正（主）视图（第 3题图）24侧（左）视图正（主）视图俯视图443. 一个几何体的三视图是三个边长为 1的正方形和对角线,如图所示,则此几何体的体积为( )A16B13C56D14.一个空间几何体的三视图如图所示,根据图标出的尺寸,可得这个几何体的体积为( ) A B C D4812245.若一个
8、底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示,则这个棱柱的体积为 （ ） 侧侧侧侧侧侧侧侧侧3 34A B6 C D1232736二、 立体几何点 线 面的位置关系平行关系平面几何知识线线平行线面平行 面面平行垂直关系平面几何知识线线垂直线面垂直 面面垂直判定 性质 判定推论性质判定判定 性质判定面面垂直定义1. ,/aba2. /3. ,/4. /5. , 平行与垂直关系可互相转化例 1 如图，在正四棱柱 中，E、F 分别是 的1ABCD1ABC、5中点，则以下结论中不成立的是( ) A B. 1EFB与 垂 直 EFD与 垂 直C. D. 与 C异 面 1与 AC异 面例 2.已
9、知 是两条不同直线， 是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）,mn,A B,mn若 则 ,若 则 C D若 则 ,mnn若 则 练习：1.设直线 与平面 相交但不垂直，则下列说法中正确的是（ ）mA在平面 内有且只有一条直线与直线 垂直 B过直线 有且只有一个平面与平面m垂直C与 直线 垂直的直线不可能与平面 平行 D与直线 平行的平面不可能与平面 垂直2.设 为两条直线, 为两个平面,下列四个命题中，正确的命题是( )ab， ，A若 与 所成的角相等，则 B若 ， ， ，则， ab a b abC若 ， ， ，则 D若 ， ， ，则 3.给出下列四个命题: 垂直于同一直线的两条直线互相平行
10、.垂直于同一平面的两个平面互相平行. 若直线 与同一平面所成的角相等,则 互相平行.12l 12,l若直线 是异面直线,则与 都相交的两条直线是异面直线. 12,l其中假命题的个数是（ ）(A)1 (B)2 (C)3 (D)44.设 为平面， 为直线，则 的一个充分条件是( )、 lnm、 m(A) (B) ,(C) (D) mn5设 m、 n是不同的直线, 、 、 是不同的平面,有以下四个命题:6 若 /, 则 / 若 , /m,则 若 /m,则 若 /n,则 /其中真命题的序号是（ ）A B C D三、线线平行的判断： （1）三角形中位线定理；（2）构造平行四边形，其对边平行；（3）对应线
11、段成比例，两直线平行； （4）平行于同一直线的两直线平行；（平行的传递性）（5）如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；（线面平行的性质）（6）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，所得交线平行；（面面平行的性质）（7）垂直于同一平面的两直线平行；（线面垂直的性质）线面平行的判断： （1）如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。（2）两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。例 1、 （三角形中位线定理）如图，在正方体 中， 是 的中点，求证：1ABCDE1A平面 。/ACBDE证明：连接 交 于 ，连接
12、 ，OE 为 的中点， 为 的中点1AC 为三角形 的中位线 EO1/又 在平面 内， 在平面 外BD1BDE 平面 。 1/AC例 2、 （证明是平行四边形）已知正方体 ， 是底 对角线的交点.求证：1ACBDOABCC1O面 ； 1BD证明：（1）连结 ，设 ，连结1AC11BDO1A1E D1C1B1 DCB A D1ODBAC1B1A1C7 是正方体 是平行四边形1ABCD1ACA 1C1AC 且 又 分别是 的中点，O 1C1AO 且,O1,A1OA是平行四边形 面 ， 面 C 1O面 11,A BDC1B1ABD3、面面平行的判断： （1）一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平
13、面，这两个平面平行。（2）垂直于同一条直线的两个平面平行。例 4、如图，在正方体 中， 、 、 分别是1ABCDEFG、 、 的中点.求证：平面 平面 .ABD1 BD证明： 、 分别是 、 的中点， EF又 平面 ， 平面 平面FGBGEF 四边形 为平行四边形， 11 1G又 平面 ， 平面 平面 ， 平面 平DEDBD1EF1DEF面 B练习：1、 （利用三角形中位线）如图,已知四棱锥 的底面 是菱形, 平面 , PACPABC点 为 的中点.求证: 平面 ;FPC/BDF2、 （构造平行四边形）如图,在三棱柱 中,每个1ABC侧面均为正方形, 为底边 的中点, 为侧棱 的中点，求证:
14、平面 ;DE1CD1AEBDBCEB1C1AA1AFPDCB83、 （线面平行的性质）如图，四面体 ABCD被一平面所截，截面 EFGH是一个矩形.求证： CD平面 EFGH.（1）证明：截面 EFGH是一个矩形， EF GH， 又 GH平面 BCD. EF面 BCD，而 EF面 ACD，面 ACD面 BCD=CD. EF CD， CD平面 EFGH.4 （对应线段成比例，两直线平行，面面平行得到线面平行）如下图，设 P为长方形 ABCD所在平面外一点， M、 N分别为 AB、 PD上的点，且 = ，求证：直线 MN平面 PBC。MBANPD ND CBMAP分析：要证直线 MN平面 PBC，
15、只需证明 MN平面 PBC内的一条直线或 MN所在的某个平面平面 PBC 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j证法一：过 N作 NR DC交 PC于点 R，连结 RB，依题意得= = = = NR=MB 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jNRDCPMBABDC NR DC AB，四边形 MNRB是平行四边形 MN RB. 又 RB 平面 PBC，直线 MN平面 PBC 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j证法二：过 N作 NQ AD交 PA于点 Q，连结 QM，CABEH FGD9A BCDA BCDEF = = ， QM PB 头htp:/w.xjkyg
16、com126t:/.j又 NQ AD BC，平面 MQN平面 PBC 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j直线 MN平面 PBC 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jMBANPDQ5、 （中位线定理、平行四边形）如图，四棱锥 PABCD 的底面是平行四边形，点 E、F 分 别为棱 AB、 PD 的中点求证：AF平面 PCE；分析：取 PC的中点 G，连 EG.，FG，则易证 AEGF是平行四边形6、 （平行的传递性）已知正方体 ABCD-ABCD中，E，F 分别是 AB，BC的中点。求证：EF 面 ADC。四、立体几何垂直总结1、线线垂直的判断： 线面垂直的定义：若一直
17、线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。2、线面垂直的判断： （1）如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。（2）如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。（3）一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。EFBACDP（第 1 题图）10ECA BDP（4）如果两个平面垂直，那么在个平面内垂直于交线的直线必垂直于另个平面。3、面面垂直的判断： 一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。证明线线垂直的常用方法：例 1、 （等腰三角形三线合一）如图，已知
18、空间四边形 中， ， 是ABCD,ADBE的中点。求证：（1） 平面 CDE;（2）平面 平面 。 ABABE证明：（1）同理，CE又 平面EDCD（2）由（1）有 平面AB又 平面 ， 平面 平面CEAB例 2、 （菱形的对角线互相垂直、等腰三角形三线合一）已知四棱锥 PABCD的底面是菱形 ， E为 P的中点 （）求证： 平面 E；（）求证：平面PDPC平面 AB例 3、(线线、线面垂直相互转化)已知 中 ,ABC90 SA面 , ,求证： 面 ABCDSS证明： 90 又 面 面 AS又 面 ,SCBADBC例 4、(直径所对的圆周角为直角)如图 2 所示，已知 垂直于圆PO 在平面， 是圆 O 的直径， 是圆 O 的圆周上异于 、 的AB任意一点，且 ，点 是线段 的中点.求证： 平PCECAEAEDB CSDCBA CBPEOA图 2
