1、1 （2014山东）如图，四棱锥 PABCD 中，AP平面 PCD，AD BC，AB=BC= AD，E，F 分别为线段 AD，PC的中点（）求证：AP平面 BEF；（）求证：BE平面 PAC解答： 证明：（）连接 CE，则ADBC，BC= AD，E 为线段 AD 的中点，四边形 ABCE 是平行四边形，BCDE 是平行四边形，设 ACBE=O，连接 OF，则 O 是 AC 的中点，F 为线段 PC 的中点，PAOF，PA平面 BEF，OF平面 BEF，AP平面 BEF；（）BCDE 是平行四边形，BECD，AP平面 PCD，CD平面 PCD，APCD，BEAP，AB=BC，四边形 ABCE 是
2、平行四边形，四边形 ABCE 是菱形，BEAC，APAC=A，BE平面 PAC3 （2014湖北）在四棱锥 PABCD 中，侧面 PCD底面 ABCD，PD CD，E 为 PC 中点，底面 ABCD 是直角梯形，ABCD，ADC=90，AB=AD=PD=1 ，CD=2（）求证：BE平面 PAD；（）求证：BC平面 PBD；（）设 Q 为侧棱 PC 上一点， ，试确定 的值，使得二面角 QBDP 为 452010-2014 菁优网 2解答： 解：（）取 PD 的中点 F，连接 EF，AF，E 为 PC 中点，EFCD，且 ，在梯形 ABCD 中，AB CD，AB=1 ，EFAB，EF=AB ，
3、四边形 ABEF 为平行四边形，BEAF，BE平面 PAD，AF平面 PAD，BE平面 PAD （4 分）（）平面 PCD底面 ABCD，PD CD，PD 平面 ABCD，PDAD （5 分）如图，以 D 为原点建立空间直角坐标系 Dxyz则 A（1，0，0） ，B（1，1，0） ，C（0，2，0） ，P（0，0 ，1） （6 分）， ， ，BCDB， （8 分）又由 PD平面 ABCD，可得 PDBC，BC平面 PBD （9 分）（）由（）知，平面 PBD 的法向量为 ， （10 分） ， ，且 （0，1）Q（ 0， 2，1 ） ， （11 分）设平面 QBD 的法向量为 =（a，b，c）
4、， ， ，由 ， ，得， ， （12 分） ， （ 13 分）因 （0，1） ，解得 （14 分）2010-2014 菁优网 34 （2014江苏）如图，在三棱锥 PABC 中，D，E，F 分别为棱 PC，AC，AB 的中点，已知PAAC，PA=6，BC=8 ，DF=5求证：（1）直线 PA平面 DEF；（2）平面 BDE平面 ABC解答： 证明：（1）D 、E 为 PC、AC 的中点，DEPA，又 PA平面 DEF，DE 平面 DEF，PA平面 DEF；（2）D、E 为 PC、AC 的中点，DE= PA=3；又 E、F 为 AC、AB 的中点，EF= BC=4；DE2+EF2=DF2，DEF
5、=90，DEEF；DEPA，PAAC，DE AC；ACEF=E，DE平面 ABC；DE平面 BDE，平面 BDE平面 ABC13 （2012江苏）如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，A 1B1=A1C1，D，E 分别是棱 BC，CC 1 上的点（点 D 不同于点 C） ，且 ADDE，F 为 B1C1 的中点求证：（1）平面 ADE平面 BCC1B1；（2）直线 A1F平面 ADE2010-2014 菁优网 4解答： 解：（1）三棱柱 ABCA1B1C1 是直三棱柱，CC1平面 ABC，AD平面 ABC，ADCC1又 ADDE，DE、CC 1 是平面 BCC1B1 内的相交直线AD平面
6、BCC1B1，AD平面 ADE平面 ADE平面 BCC1B1；（2）A 1B1C1 中，A 1B1=A1C1，F 为 B1C1 的中点A1FB1C1，CC1平面 A1B1C1，A 1F平面 A1B1C1，A1FCC1又 B1C1、CC 1 是平面 BCC1B1 内的相交直线A1F平面 BCC1B1又 AD平面 BCC1B1，A1FADA1F平面 ADE，AD平面 ADE，直线 A1F平面 ADE16 （2010深圳模拟）如图，在四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 为正方形，侧棱 SD底面 ABCD，E 、F 分别是AB、SC 的中点（1）求证：EF平面 SAD（2）设 SD=2CD，求二面角 AEFD 的大小解答： （1）如图，建立空间直角坐标系 Dxyz2010-2014 菁优网 5设 A（a，0，0） ，S （0，0， b） ，则 B（a，a，0） ，C （0，a，0） ， ，取 SD 的中点 ，则 平面 SAD，EF平面 SAD，所以 EF平面 SAD（2）不妨设 A（1，0，0） ，则 B（1，1，0） ，C（0，1，0） ，S（0，0，2） ， ，EF 中点 ， ， ，又 ， ，所以向量 和 的夹角等于二面角 AEFD 的平面角 所以二面角 AEFD 的大小为
