1、高中数学立体几何大题训练1.如图所示，在长方体 中，1ABCDAB=AD=1，AA 1=2，M 是棱 CC1 的中点（）求异面直线 A1M 和 C1D1 所成的角的正切值；（）证明：平面 ABM平面 A1B1M12.如图， 在矩形 中，点 分别在线段 上，ABCD,EF,ABD.沿直线 将 翻折成243AEBFDEFV，使平面 .（）求二面角VA平 面的余弦值；C（）点 分别在线段 上，若沿直线 将四边形,MN,FDBCMN向上翻折，使 与 重合，求线段 的长。DA3.如图，直三棱柱 1中， ， 1AB， D为 1的中点， E为1AB上的一点， 3EB（）证明： D为异面直线 1与 CD的公垂
2、线；（）设异面直线 1A与 的夹角为 45，求二面角 11ACB的大小4.如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形 PA平面ABCD， AP=AB， BP=BC=2， E， F 分别是 PB,PC 的中点.()证明： EF平面 PAD；()求三棱锥 EABC 的体积 V.ABCDEFH5.如图，棱柱 的侧面 是菱形，1ABC1BC1BA（）证明：平面 平面 ；A（）设 是 上的点，且 平面 ，求 的值.D11/1D1:C6.已知三棱锥 PABC 中，PAABC，ABAC，PA=AC=AB，N 为 AB 上一点，AB=4AN,M,S 分别为 PB,BC 的中点.（）证明：CMSN
3、；（）求 SN 与平面 CMN 所成角的大小.7.如图BCD 与MCD 都是边长为 2 的正三角形，平面MCD 平面 BCD，AB 平面 BCD， 。3AB（1） 求点 A 到平面 MBC 的距离；（2） 求平面 ACM 与平面 BCD 所成二面角的正弦值。8.如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是正方形，AB=2EF=2，EFAB,EFFB,BFC=90 ，BF=FC,H 为 BC 的中点，()求证：FH平面 EDB;（）求证：AC 平面 EDB; （）求四面体 BDEF 的体积；9.如图，正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直，CEAC,EFAC,AB=
4、，CE=EF=1.2（）求证： AF平面 BDE；（）求证： CF平面 BDE；（）求二面角 A-BE-D 的大小。10.已知正方体 ABCDAB CD的棱长为 1，点 M 是棱 AA的中点，点 O 是对角线 BD的中点.（）求证：OM 为异面直线 AA和 BD的公垂线；（）求二面角 MBCB的大小；（）求三棱锥 MOBC 的体积 . w_w w. k#s5_u.c o*m DABC2.（）解：取线段 EF 的中点 H，连结 ，因为 = 及 H 是 EF 的中点，所以 ,AEFAHEF又因为平面 平面 .如图建立空间直角坐标系 A-xyzAEFB则 （2，2， ） ，C （10， 8，0） ，
5、F（4，0， 0） ，D （10，0，0 ）. 故 =（-2，2，2 ） ， =（6，0 ，0）.F设 =（ x,y,z）为平面 的一个法向量，nA-2x+2y+2 z=0所以6x=0.取 ，则 。2z(0,2)n又平面 的一个法向量 ，BEF(,1m故 。3cos,nA所以二面角的余弦值为 3（）解：设 则 ，,FMx(4,0)因为翻折后， 与 重合，所以 ，CAAM故， ，得 ，2222(6)8=x（ ） （ ） 14x经检验，此时点 在线段 上，所以 。NB14F方法二：（）解：取线段 的中点 , 的中点 ,连结 。EFHAG,AH因为 = 及 是 的中点，所以A EF又因为平面 平面
6、，所以 平面 ,BB又 平面 ,故 ，FEAHF又因为 、 是 、 的中点，G易知 ，所以 ，于是 面 ，AGH所以 为二面角 的平面角，DC在 中， = ， =2， =RtAH223所以 .3cosG故二面角 的余弦值为 。ADFC（）解：设 ,Mx因为翻折后， 与 重合，所以 ， MA而 ，2228(6)x2 AHGH2()得 ，经检验，此时点 在线段 上，14xNBC所以 。2FM3.（I）连接 A1B，记 A1B 与 AB1的交点为 F.因为面 AA1BB1为正方形，故 A1BAB 1，且 AF=FB1，又 AE=3EB1，所以 FE=EB1，又 D 为 BB1的中点，故DEBF，DE
7、AB 1. 3 分作 CGAB，G 为垂足，由 AC=BC 知，G 为 AB 中点.又由底面 ABC面 AA1B1B.连接 DG，则 DGAB 1，故 DEDG，由三垂线定理，得 DECD.所以 DE 为异面直线 AB1与 CD 的公垂线.（II）因为 DGAB 1，故CDG 为异面直线 AB1与 CD 的夹角，CDG=45设 AB=2，则 AB1= ，DG= ，CG= ，AC= .作 B1HA 1C1，H 为垂足，因为底面 A1B1C1面 AA1CC1，故 B1H面 AA1C1C.又作 HKAC 1，K 为垂足，连接B1K，由三垂线定理，得 B1KAC 1，因此B 1KH 为二面角 A1-A
8、C1-B1的平面角，由此可求出二面角大小4.解 ()在 PBC 中， E， F 分别是 PB， PC 的中点， EF BC.又 BC AD, EF AD,又 AD 平面 PAD,EF 平面 PAD, EF平面 PAD.()连接 AE,AC,EC,过 E 作 EG PA 交 AB 于点 G,则 BG平面 ABCD,且 EG= PA.12在 PAB 中， AD=AB, PAB,BP=2, AP=AB= ,EG= .2 SABC = ABBC= 2= ,122 VE-ABC= SABC EG= = .31135. 解：（）因为侧面 BCC1B1 是菱形，所以 11BC又已知 A1,且所又 平面 A1
9、BC1，又 平面 AB1C ，CB所以平面 平面 A1BC1 .（）设 BC1 交 B1C 于点 E，连结 DE，则 DE 是平面 A1BC1 与平面 B1CD 的交线，因为 A1B/平面 B1CD，所以 A1B/DE.又 E 是 BC1 的中点，所以 D 为 A1C1 的中点.即 A1D：DC 1=1.6.证明：设 PA=1，以 A 为原点，射线 AB，AC ，AP 分别为 x，y，z 轴正向建立空间直角坐标系如图。则 P（0,0,1 ） ，C（ 0,1,0） ，B（2,0,0） ，M（1,0, ） ，N（ ,0,0） ，S（1, ,0）. 1212（） ,1(,),(,0)2MSN因为 ，
10、所以 CMSN （） ,1(0)2C设 a=（x，y，z）为平面 CMN 的一个法向量，则 ,10.2xxy令 ， 得 a=(,1-2).因为12cos,3aSN所以 SN 与片面 CMN 所成角为 45。 7.解法一：（1）取 CD 中点 O，连 OB，OM ，则 OBCD，OMCD. 又平面 平面 ,则 MO平面 ，所以MCDBBCDMOAB，A、B、O、M 共面.延长 AM、BO 相交于 E，则AEB 就是 AM 与平面 BCD 所成的角 .OB=MO= ，MO AB，MO/面 ABC，M 、O 到平面3ABC 的距离相等，作 OH BC 于 H，连 MH，则 MH BC，求得：OH=O
11、Csin600= ,MH= ,利用体积相等得：215。215AMBCAVd（2）CE 是平面 与平面 的交线.BCD由（1）知，O 是 BE 的中点，则 BCED 是菱形.作 BFEC 于 F，连 AF，则 AFEC ，AFB 就是二面角 A-EC-B 的平面角，设为 .因为BCE=120，所以BCF=60. ，sin603BC，ta2AF5i所以，所求二面角的正弦值是 .解法二：取 CD 中点 O，连 OB，OM，则 OBCD，OM CD，又平面 平面 ,则 MOMCDB平面 .BCD以 O 为原点，直线 OC、BO 、OM 为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系如图.OB=OM=
12、，则各点坐标分别为 O（0，0，0 ） ，C（1，0，0 ） ，3M（0 ，0， ） ，B （0 ，- ， 0） ，A（0，- ，2 ） ，3（1）设 是平面 MBC 的法向量，则 ，(,)nxyz B=(,)，由 得 ；由 得,3xynM；取 ，则距离0yz(3,1)(0,23)A25BAnd（2） ， .(1,03)CM(1,32)C设平面 ACM 的法向量为 ，由 得 .解得1,)nxyz1nCMA302xzy， ，取 .又平面 BCD 的法向量为 ，则3xzy1(3, (,1)11cos,5nz yxMDCBOA z设所求二面角为 ，则 .215sin()8.（1）设底面对角线交点为
13、G，则可以通过证明 EGFH，得 平面 ；（2）利用线线、线面FHEDB的平行与垂直关系，证明 FH平面 ABCD，得 FHBC，FHAC，进而得 EGAC， 平面 ；ACEB（3）证明 BF平面 CDEF，得 BF 为四面体 B-DEF 的高，进而求体积.9.(1) ,/,2,/ /ACBDACGGHEFEFGHBEDB证 ： 设 与 交 于 点 ， 则 为 的 中 点 ， 连 ， 由 于 为 的 中 点 ， 故又 四 边 形 为 平 行 四 边 形， 而 平 面 ， 平 面证明：（I） 设 AC 与 BD 交与点 G。因为 EF/AG，且 EF=1，AG= AC=1.12所以四边形 AGE
14、F 为平行四边形 .所以 AF/平面 EG，因为 平面 BDE，AF 平面 BDE，E所以 AF/平面 BDE.（II）因为正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面相互垂直，且 CE AC，所以 CE 平面 ABCD.如图，以 C 为原点，建立空间直角坐标系 C- .xyz则 C（ 0，0，0 ） ，A（ ， ，0 ） ，B（0， ，0 ）.22所以 ， ，(,1)F(,1)E.(2,01)DE所以 ,01CBAFA所以 , .CFBED所以 BDE.(III) 由（II）知， 是平面 BDE 的一个法向量.2(,1)设平面 ABE 的法向量 ,则 ， .nxyz0nBAE即所以 且0
15、,x2,z令 则 .1y所以 (,)n.20,(,)(1)xyzA从而 。3cos,2|nCF因为二面角 为锐角，ABED所以二面角 的大小为 .610.解法一：（1）连结 AC，取 AC 中点 K，则 K 为 BD 的中点，连结 OK因为 M 是棱 AA的中点，点 O 是 BD的中点所以 AM /2所以 MO w_w w. k#s5_u.c o*mAK由 AA AK，得 MOAA因为 AKBD,AKBB ，所以 AK平面 BDDB所以 AKBD所以 MOBD 又因为 OM 是异面直线 AA和 BD都相交w_w w. k#s5_u.c o*m故 OM 为异面直线 AA和 BD的公垂线（2）取 BB中点 N，连结 MN，则 MN平面 BCCB过点 N 作 NHBC 于 H，连结 MH则由三垂线定理得 BCMH从而,MHN 为二面角 M-BC-B的平面角MN=1,NH=Bnsin45= 124A
