1、 高中数学选修 4-5 知识点1不等式的基本性质1实数大小的比较(1)数轴上的点与实数之间具有一一对应关系(2)设 a、b 是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是 A、B.当点 A 在点 B 的左边时，a b(3)两个实数的大小与这两个实数差的符号的关系(不等式的意义)ab a b0a b a b 0a ，bbb，bcac；(3)可加性：a b，c R ac bc；(4)加法法则：a b，c dacbd；(5)可乘性：a b，c 0acbc ；a b，c b0，cd0acbd；(7)乘方法则：a b0，n N 且 n2a nbn；(8)开方法则：a b0，n N 且 n2 .nanb（9）倒
2、数法则，即 ab0 0 ，那么 ( )，当且仅当 ab2aba b2 ab时，等号成立(2)定理 2 的应用：对两个正实数 x，y ，如果它们的和 S 是定值，则当且仅当 xy 时，它们的积 P 取得最大值，最大值为 .S24如果它们的积 P 是定值，则当且仅当 xy 时，它们的和 S 取得最小值，最小值为 2 .P3基本不等式 的几何解释aba b2如图，AB 是 O 的直径， C 是 AB 上任意一点，DE 是过 C 点垂直 AB 的弦若 AC a，BC b，则 ABab，O 的半径 R ，RtACDRta b2DCB，CD 2AC BCab，CD ，CDR ，当且仅当 C 点与ab ab
3、a b2O 点重合时，CDR ，即 .AB2 ab a b24几个常用的重要不等式(1)如果 aR ，那么 a2 0，当且仅当 a0 时取等号；(2)如果 a，b 0，那么 ab ，当且仅当 a b 时等号成立（a b）24(3)如果 a0，那么 a 2，当且仅当 a1 时等号成立1a(4)如果 ab0，那么 2，当且仅当 ab 时等号成立ab ba3三个正数的算术 -几何平均不等式1如果 a、b、c R ，那么 a3b 3c 33abc，当且仅当 abc 时，等号成立2(定理 3)如果 a、b、c R ，那么 ( )，3a b c3 3abc当且仅当 abc 时，等号成立即三个正数的算术平均
4、不小于它们的几何平均3如果 a1，a 2，a nR ，那么 ，当且仅a1 a2 ann na1a2an当 a1a 2a n时，等号成立即对于 n 个正数 a1，a 2，a n，它们的算术平均不小于它们的几何平均二 绝对值不等式1绝对值三角不等式1绝对值及其几何意义(1)绝对值定义：| a| a（a 0） a（aa 型不等式的解法设 a0，则(1)|x|axa；(4)|x|axa 或 xa2|ax b| c(c0)与| ax b|c(c 0)型不等式的解法(1)|ax b|c c axbc；(2)|ax b|c axbc 或 axbc3|x a|xb|c 与|xa| xb|c 型不等式的解法(1
5、)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现数形结合思想，理解绝对值的几何意义，给绝对值不等式以准确的几何解释(2)以绝对值的零点为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想确定各个绝对值号内多项式的正、负号，进而去掉绝对值号(3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想正确求出函数的零点并画出函数图象(有时需要考察函数的增减性)是关键注：绝对值的几何意义(1)|x|的几何意义是数轴上点 x 与原点 O 的距离；(2)|x a|x b|的几何意义是数轴上点 x 到点 a 和点 b 的距离之和；(3)|x a|x b|的几何意义是数轴上点 x 到点 a 和点
6、 b 的距离之差2绝对值不等式的几何意义(1)|x|a(a0)的几何意义是以点 a 和a 为端点的线段，|x|a 的解集是a， a(2)|x|a(a0)的几何意义是数轴除去以点 a 和a 为端点的线段后剩下的两条射线，| x|a 的解集是(，a)( a，)3解含绝对值不等式的关键是去掉绝对值变形为不含绝对值的不等式(组)求解例题：例如：分类讨论法：即通过合理分类去绝对值后再求解。例 1： 解不等式 。125x分析:由 ， ，得 和 。 和 把实数集合分01x21成三个区间，即 ， ， ，按这三个区间可去绝对值，故可按这三个区间讨论。解:当 x-2 时，得 ， 解得：2(1)5x 23x当-2x
7、1 时，得 ， 解得：,()2x1当 时，得 ， 解得：1x1,()5. 2x综上，原不等式的解集为 。23x例 2：解不等式|2x4| |3x9|2 时，原不等式可化为 x2，（2x 4） （3x 9）2.当3x2 时，原不等式可化为 3 x 2， （2x 4） （3x 9） 65第二讲 证明不等式的基本方法 一 比较法比较法主要有 1.作差比较法 2.作商比较法1作差比较法(简称比差法)(1)作差比较法的证明依据是：aba b0；aba b0；a0 时，1a b； 1ab； b 时，一定要注意 b0 这个前提条件若bb， 1 ab， 1a ； (nN *)； ；当1n2 1n（n 1） 1
8、n 2n n 1 1n 2n n 1ab0， m0 时， 等bab ma maba mb m第三讲 柯西不等式与排序不等式1二维形式的柯西不等式若 a，b，c， d 都是实数，则 (a2b 2)(c2d 2)(ac bd) 2，当且仅当 adbc时，等号成立2柯西不等式的向量形式设 ， 是两个向量，则| | |，当且仅当 是零向量，或存在实数k，使 k 时，等号成立3二维形式的三角不等式设 x1，y 1，x 2，y 2R，那么 （x1 x2）2 （y1 y2）2.注意：1二维柯西不等式的三种形式及其关系定理 1 是柯西不等式的代数形式，定理 2 是柯西不等式的向量形式，定理3 是柯西不等式的三
9、角形式根据向量的意义及其坐标表示不难发现二维形式的柯西不等式及二维形式的三角不等式均可看作是柯西不等式的向量形式的坐标表示2理解并记忆三种形式取“”的条件(1)代数形式中当且仅当 adbc 时取等号(2)向量形式中当存在实数 k， k 或 0 时取等号(3)三角形式中当 P1，P 2， O 三点共线且 P1，P 2 在原点 O 两旁时取等号3掌握二维柯西不等式的常用变式(1) |ac bd|.a2 b2 c2 d2(2) |ac |bd|.a2 b2 c2 d2(3) acbd.a2 b2 c2 d2(4)(ab)(cd)( )2.ac bd4基本不等式与二维柯西不等式的对比(1)基本不等式是
10、两个正数之间形成的不等关系二维柯西不等式是四个实数之间形成的不等关系，从这个意义上讲，二维柯西不等式是比基本不等式高一级的不等式(2)基本不等式具有放缩功能，利用它可以比较大小，证明不等式，当和(或积)为定值时，可求积( 或和)的最值，同样二维形式的柯西不等式也有这些功能，利用二维形式的柯西不等式求某些特殊函数的最值非常有效二 一般形式的柯西不等式1三维形式的柯西不等式设 a1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3 是实数，则(a a a )(b b b )21 2 23 21 2 23(a 1b1a 2b2a 3b3)2，当且仅当 bi0(i1，2，3) 或存在一个数 k，使得aikb i
11、(i1，2，3)时，等号成立2一般形式的柯西不等式设 a1，a 2，a 3，a n，b 1，b 2，b 3，b n是实数，则(a a a )21 2 2n(b b b )(a 1b1 a2b2a nbn)2，当且仅当 bi0(i 1，2，n)21 2 2n或存在一个数 k，使得 aikb i(i1，2，n)时，等号成立注意：1对柯西不等式一般形式的说明：一般形式的柯西不等式是二维形式 、三维形式、四维形式的柯西不等式的归纳与推广，其特点可类比二维形式的柯西不等式来总结，左边是平方和的积，右边是积的和的平方运用时的关键是构造出符合柯西不等式的结构形式2关于柯西不等式的证明：对于函数 f(x)(a
12、 1xb 1)2(a 2xb 2)2 (a nxb n)2，显然 f(x)0 时xR 恒成立，即 f(x)( a a a )x22(a 1b1a 2b2a nbn)x(b b b )21 2 2n 21 2 2n0 对 xR 恒成立， 4(a1b1a 2b2a nbn)24(a a a )(b b b )21 2 2n 21 2 2n0，除以 4 得(a a a )(b b b ) (a 1b1a 2b2a nbn)2.21 2 2n 21 2 2n3一般形式柯西不等式成立的条件：由柯西不等式的证明过程可知 0f(x)min0 a1xb 1a 2xb 2a nxb n0b 1 b2b n0，或
13、 .a1b1 a2b2 anbn4柯西不等式的几种常见变形：(1)设 a a a b b b 1，则21 2 2n 21 2 2n1a 1b1a 2b2a nbn1；(2)设 aiR(i1，2，3，n)，则 ；a1 a2 ann(3)设 aiR，b i0(i1，2，3，n)，则 ；（a1 a2 an）2b1 b2 bn(4)设 aibi0(i1，2，3，n)，则 a1b1 a2b2 anbn.（a1 a2 an）2a1b1 a2b2 anbn三 排序不等式1乱序和、反序和、顺序和设 a1a 2a n，b 1b 2b n为两组实数，c 1，c 2，c n为b1，b 2，b n的任一排列，称 a1
14、c1a 2c2a 3c3a ncn为乱序和，a1bn a2bn1 a 3bn2 a nb1 为反序和，a 1b1 a2b2a 3b3a nbn为顺序和2排序不等式(又称排序原理)设 a1a 2a n，b 1b 2b n为两组实数，c 1，c 2，c n是b1，b 2，b n的任一排列，那么a1bn a2bn1 a nb1a 1c1a 2c2a ncna 1b1a 2b2a nbn，当且仅当 a1a 2a n或 b1b 2b n时，反序和等于顺序和3排序原理的简记反序和乱序和顺序和第四讲 用数学归纳法证明不等式 一 数学归纳法1数学归纳法的定义一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数 n0 的
15、所有正整数 n 都成立时，可以用以下两个步骤：(1)证明当 nn 0 时命题成立(2)假设当 nk(kN 且 kn 0)时命题成立，证明当 nk1 时命题也成立在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于 n0 的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法2数学归纳法的适用范围适用于证明一个与无限多个正整数有关的命题3数学归纳法的步骤(1)(归纳奠基)验证当 nn 0(n0 为命题成立的起始自然数) 时命题成立；(2)(归纳递推)假设当 nk (kN ，且 kn 0)时命题成立，推导 nk1 时命题也成立(3)结论：由(1)(2)可知，命题对一切 nn 0 的自然数都成立注意：用数学归纳法证明，关键在于两个步骤要做到“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉” ，因此必须注意以下三点：(1)验证是基础数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数 n0，这个 n0 就是我们要证明的命题对象的最小自然数，这个自然数并不一定就是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是正确运用数学归纳法要注意的第一个问题(2)递推是关键数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k1”的过程，必须把归纳假设“n k”时命题成立作为条件来导出“n k1”时命题
