1、1追及与相遇问题知识详解及典型例题（精品）知识要点追及和相遇问题主要涉及在同一直线上运动的两个物体的运动关系，所应用的规律是匀变速直线运动的相关规律。追及、相遇问题常常涉及到临界问题，分析临界状态，找出临界条件是解决这类问题的关键。速度相等是物体恰能追上或恰不相碰、或间距最大或最小的临界条件。在两物体沿同一直线上的追及、相遇或避免碰撞问题中关键的条件是：两物体能否同时到达空间某位置。因此应分别对两物体研究，列出位移方程，然后利用时间关系、速度关系、位移关系解出。解答追及、相遇问题时要特别注意明确两物体的位移关系、时间关系、速度关系，这些关系是我们根据相关运动学公式列方程的依据。1. 追及追和被
2、追的两者的速度相等常是能追上、追不上、二者距离有极值的临界条件。如匀减速运动的物体追从不同地点出发同向的匀速运动的物体时，若二者速度相等了，还没有追上，则永远追不上，此时二者间有最小距离。若二者相遇时（追上了），追者速度等于被追者的速度，则恰能追上，也是二者避免碰撞的临界条件；若二者相遇时追者速度仍大于被追者的速度，则被追者还有一次追上追者的机会，其间速度相等时二者的距离有一个较大值。再如初速度为零的匀加速运动的物体追从同一地点出发同向匀速运动的物体时，当二者速度相等时二者有最大距离，位移相等即追上。“追上”的主要条件是两个物体在追赶过程中处在同一位置，常见的情形有三种：一是初速度为零的匀加速
3、运动的物体甲追赶同方向的匀速运动的物体乙时，一定能追上，在追上之前两者有最大距离的条件是两物体速度相等，即 v 甲 =v 乙 ；二是匀速运动的物体甲追赶同方向做匀加速运动的物体乙时，存在一个恰好追上或恰好追不上的临界条件：两物体速度相等，即 v 甲 v 乙 ，此临界条件给出了一个判断此种追赶情形能否追上的方法，即可通过比较两物体处在同一位置时的速度大小来分析，具体方法是：假定在追赶过程中两者能处在同一位置，比较此时的速度大小，若 v 甲 v 乙 ，则能追上去，若 v 甲 v 乙 ，则追不上，如果始终追不上，当两物体速度相等时，两物体的间距最小；三是匀减速运动的物体追赶同方向的匀速运动的物体时，
4、情形跟第二种相类似。两物体恰能“相遇”的临界条件：两物体处在同一位置时，两物体的速度恰好相同。22. 相遇同向运动的两物体追及即相遇，分析同 1。相向运动的物体，当各自发生的位移的绝对值的和等于开始时两物体间的距离时即相遇。三. 解题方法指导：1. 解“追及”“相遇”问题的思路：解决“追及”和“相遇”问题大致分为两种方法，即数学方法和物理方法求解过程中可以有不同的思路，例如考虑图象法等等。解题的基本思路是： 根据对两物体运动过程的分析，画出物体的运动示意图； 根据两物体的运动性质，分别列出两个物体的位移方程。注意要将两物体运动时间的关系反映在方程中。 由运动示意图找出两物体位移间关联方程。 联
5、立方程求解。运动物体的追赶、相遇问题，一般解法较多：解析法、图象法、极值法等。应适当地做些一题多解的练习，以开启思路，培养发散思维的能力。但平时训练仍应以物理意义突出的解析法为主。通过适当的练习后，总结一下追赶、相遇、避碰问题的特点、分析方法，特别是对其中所涉及的“相距最远”、“相距最近”、“恰好不相碰”等临界问题，应在思考的基础上总结出临界状态的特点，找出临界条件。2. 分析“追及”“相遇”问题应注意： 分析“追及”“相遇”问题时，一定要抓住一个条件，两个关系：一个条件是两物体的速度满足的临界条件，如“两物体距离最大、最小，恰好追上或恰好追不上等”。两个关系是时间关系和位移关系。其中通过画草
6、图找到两物体位移之间的数量关系，是解题的突破口，也是解题常用方法。因此，在学习中一定要养成画草图分析问题的良好习惯，对帮助我们理解题意，启迪思维大有裨益。养成根据题意画出物体运动示意图的习惯。特别对较复杂的运动，画出草图可使运动过程直观，物理图景清晰，便于分析研究。 分析研究对象的运动过程，搞清整个运动过程按运动性质的转换可分为哪几个运动阶段，各个阶段遵循什么规律，各个阶段间存在什么联系。特别是，若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否停止运动。3 仔细审题，注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐合条件，如“刚好”、“恰巧”、“最多”、“至少”等。往往对应一个临界状态，由此
7、找出满足相应的临界条件。还要注意：由于公式较多，且公式间有相互联系，因此，题目常可一题多解。解题时要思路开阔，联想比较，筛选最简捷的解题方案。解题时除采用常规的公式解析法外，图象法、比例法、极值法、逆向转换法（如将一匀减速直线运动视为反向的匀加速直线运动）等也是解题中常用的方法。【典型例题】例 1 火车以速度 v1向前行驶。司机忽然发现，在前方同一轨道上距车为 s 处有另一辆火车，它沿相同的方向以较小的速度 v2作匀速运动，于是他立即使车作匀减速运动，加速度大小为 a，要使两车不致相撞，则 a 应满足的关系式为_。分析：司机使火车作匀减速运动，当后面的火车与前方火车时的速度相等时，两车再也不能
8、接近了，也就是后面的火车与前面火车的速度相等时，后面火车的位移与前面火车的位移之差要小于 s 时，两车才不致相撞，本题解法中有四种。解法一：当两车速度相等时，两车没有相撞，以后再也不会相撞，前车减速的时间为 t，则解法二：以前车为参照系，后车的速度为 ，当后车的速度减为零时，其位移小于 s，两车不会相撞，即4解法三：作出两车运动的速度时间图像如图所示，由图像可知：在两图像相交前与时间轴所围面积之差（即图中阴影部分）小于 s 时，两车不会相撞。即解法四：后车的位移为 ，前车的位移为 ，要使两车不相撞，即说明此二次函数无解，即以上四种解法中，以第二种解法最简捷。例 2 甲、乙两车相距 s，同时同向
9、运动，乙在前面做加速度为 a1、初速度为零的匀加速运动，甲在后面做加速度为 a2、初速度为 v0的匀加速运动，试讨论两车在运动过程中相遇次数与加速度的关系。解析：由于两车同时同向运动，故有 v 甲 =v0+a2t，v 乙 =a1t 当 a1 v 乙 ，由于原来甲在后，乙在前，所以甲、乙两车的距离在不断缩短，经过一段时间后甲车必然超过乙车，且甲超过乙后相距越来越大，因此甲、乙两车只能相遇一次； 当 a1=a2时，a lt=a2t，可得 v 甲 v 乙 ，因此甲、乙两车也只能相遇一次： 当a1a2时，a 1ta2t，v 甲 和 v 乙 的大小关系会随着运动时间的增加而发生变化，刚5开始，a 1t
10、和 a2t 相差不大且甲有初速 v0，所以，v 甲 v 乙 ，随着时间的推移，a1t 和 a2t 相差越来越大；当 alta2t=v0时，v 甲 =v 乙 ，接下来 a1ta2tv0，则有 v 甲 v 乙 ，若在 v 甲 =v 乙 之前，甲车还没有超过乙车，随后由于 v 甲 v 乙 ，甲车就没有机会超过乙车，即两车不相遇；若在 v 甲 =v 乙 时，两车刚好相遇，随后v 甲 =v 乙 ，甲车又要落后乙车，这样两车只能相遇一次；若在 v 甲 =v 乙 前甲车己超过乙车，即已相遇过一次，随后由于 v 甲 v 乙 ，甲、乙距离又缩短，直到乙车反超甲车时，再相遇一次，别两车能相遇两次。解法一：由于 x
11、 甲 =v0t+ a2t2，x 乙 = a1t2，相遇时有 x 甲 x 乙 =x，则：v 0t+ a2t2 a1t2=x， （a 1a2）t 2v0t+x=0所以 t= 当 a1a2 时，式 t 只有一个正解，别相遇一次。 当 a1=a2 时，x 甲 x 乙 = v0t 十 a2t2 a1t2=v0t=x，所以 t= ， t 只有一个解，则相遇一次。 当 a1a 2 时，若 2（a 1a2）x，式无解，即不相遇，若 =2（a 1a2）x，式 t 只有一个解，即相遇一次。若 2（a 1a2）x，式 t 有两个正解，即相遇两次。6解法二：利用 vt 图象求解， 当 a1a2时，甲、乙两车的运动图线
12、分别为如右上图中：的 I 和，其中划斜线部分的面积表示 t 时间内甲车比乙车多发生的位移，若此面积为 S，则 t时刻甲车追上乙车而相遇，以后在相等时间内甲车发生的位移都比乙车多，所以只能相遇一次。 当 a1a2 时，甲、乙两车的运动图线分别为如上左图中的 I 和，讨论方法同，所以两车也只能相遇一次。 当 a1=a2 时，甲、乙两车的运动图线分别为如上右图中的 I 和，其中划实斜线部分的面积表示甲车比乙车多发生的位移。若划实斜线部分面积小于 S，则不能相遇；若划实斜线部分面积等于 S，说明甲车刚追上乙车又被反超，则相遇一次；若划实斜线部分的面积大于 s，如图中 0t 1内划实斜线部分的面积为 S
13、，说明 t1时刻甲车追上乙车，以后在 t1t 时间内，甲车超前乙车的位移为 t1t 时间内划实斜线部分的面积，随后在 tt 2时间内，乙车比甲车多发生划虚线部分的面积，如果两者相等，则 t2时刻乙车反超甲车，故两车先后相遇两次。【模拟试题】1. 甲、乙两物体由同一位置出发沿同一直线运动，其速度图象由图所示，下列说法正确的是（ ）A. 甲做匀速直线运动，乙做匀变速直线运动B. 两物体两次相遇的时刻分别为 2 s 末和 6 s 末C. 乙在前 4 s 内的平均速度等于甲的速度D. 2 s 后甲、乙两物体的速度方向相反72. 在足够长的平直公路上，一辆汽车以加速度 a 启动时，有一辆匀速前进的自行车
14、以速度 v0从旁边经过，则以下说法正确的是（ ）A. 汽车追不上自行车，因为汽车启动时速度小 B. 以汽车为参考系，自行车时向前匀速运动的 C. 汽车与自行车之间的距离开始是不断增加的，直到两车速度相等，然后距离减小，直到两车相遇D. 汽车追上自行车的时间是3. 甲乙丙三辆汽车以相同的速度同时经过某一个路标，从此开始甲车一直匀速运动，乙车先加速后减速，丙车先减速后加速，它们经过下一个路标时速度又相等，则（ ）A. 甲车先通过下一个路标 B. 乙车先通过下一个路标C. 丙车先通过下一个路标 D. 条件不足，无法判断4. 两辆完全相同的汽车，沿水平直路一前一后匀速行驶，速度均为 v0，若前车突然以
15、恒定的加速度刹车，在它刚停住时，后车以前车刹车的加速度开始刹车。已知前车在刹车过程中所行驶的距离为 s，若要保证两辆车在上述情况中不相撞，则两车在匀速行驶时保持的距离至少应为（ ）A. 1s B. 2s C. 3s D. 4s5. 汽车 A 在红绿灯前停住，绿灯亮起时起动，以 0.4 m/s2的加速度做匀加速运动，经过 30 s 后以该时刻的速度做匀速直线运动.设在绿灯亮的同时，汽车B 以 8 m/s 的速度从 A 车旁边驶过，且一直以相同的速度做匀速直线运动，运动方向与 A 车相同，则从绿灯亮时开始（ ）A. A 车在加速过程中与 B 车相遇 B. A、B 相遇时速度相同 C. 相遇时 A
16、车做匀速运动 8D. 两车不可能再次相遇 6. 同一直线上的 A、B 两质点，相距 s，它们向同一方向沿直线运动（相遇时互不影响各自的运动），A 做速度为 v 的匀速直线运动，B 从此时刻起做加速度为 a、初速度为零的匀加速直线运动。若 A 在 B 前，两者可相遇_次，若B 在 A 前，两者最多可相遇_次。7. 从相距 30 km 的甲、乙两站每隔 15 min 同时以 30 km/h 的速率向对方开出一辆汽车。若首班车为早晨 5 时发车，则 6 时从甲站开出的汽车在途中会遇到辆从乙站开出的汽车。8. 一矿井深 125m，在井口每隔一段时间落下一个小球，当第 11 个小球刚从井口开始下落时，第
17、 1 个小球恰好到达井底，则：（1）相邻两个小球下落的时间间隔是 s；（2）这时第 3 个小球与第 5 个小球相距 （g 取 10 ms 2）9. 如图，某时刻 A、B 两物体相距 7m，A 以 4 ms 的速度向右做匀速直线运动，此时 B 的速度为 10 ms，方向向右，在摩擦力作用下以 2 m/s2的加速度做匀减速运动。从该时刻经多长时间 A 追上 B？10. 一辆巡逻车最快能在 10 s 内由静止加速到最大速度 50 ms，并能保持这个速度匀速行驶，问该巡逻车在平直的高速公路上由静止追上前方 2 000m 处正以 35 ms 的速度匀速行驶的汽车，至少需要多长时间？11. A 球自距地面
18、高 h 处开始自由下落，同时 B 球以初速度 v0正对 A 球竖直上抛，空气阻力不计。问：（1）要使两球在 B 球上升过程中相遇，则 v0应满足什么条件？（2）要使两球在 B 球下降过程中相遇，则 v0应满足什么条件？12. 已知自行车速度为 6m/s 作直线运动，汽车从同时同地以初速 10m/s，加速度 a=0.5m/s 2直线运行，试求自行车追上汽车前，两车的最大距离。13. 摩托车以速度 v1沿平直公路行驶，突然驾驶员发现正前方 s 处，有一辆汽车正以 v2v1的速度开始减速，加速度大小为 2。为了避免发生碰撞，摩托车也同时减速。求其加速度至少需要多少？914. 在某市区内，一辆汽车在平
19、直的公路上以速度 v 向东匀速行驶，一位观光游客正由南向北从斑马线上横过马路，汽车司机发现前方有危险（游客正在 D处向北走），经 0.7 s 作出反应，从 A 点开始紧急刹车，但仍将正步行至 B 处的游客撞伤，该车最终在 C 处停下。为了清晰了解事故现场，现以图示之：为了判断汽车司机是否超速行驶，并测出肇事汽车的速度 v，警方派一车胎磨损情况与肇事汽车相当的车以法定最高速度 vm14.0ms 行驶在同一马路的同一地段，在肇事汽车的出事点 B 急刹车，恰好也在 C 点停下来，在事故现场测得 AB17.5 m、BC14.0m、BD=2.6 m。问：（1）该肇事汽车的初速度 vA是多大?（2）游客横
20、过马路的速度是多大? 15. 如图所示，长 L=75cm 的静止直筒中有一不计大小的小球，筒与球的总质量为 4kg 现对筒施加一竖直向下，大小为 21N 的恒力，使筒竖直向下运动，经t=0.5s 时间，小球恰好跃出筒口。求：小球的质量。（g=10m/s 2）16. 如图所示，升降机以匀加速度 a 上升，当上升速度为 v 时，有一螺帽自升降机天花板上松落，已知天花板距升降机底面为 hm，求落至底面的时间。17. 杂技演员把三只球依次竖直向上抛出，形成连续的循环，在循环中，他每抛出一球后，再过一段与刚抛出的球在手中停留时间相等的时间，又接到下一个球，这样，在总的循环过程中，便形成有时空中有 3 个
21、球，有时空中有两个10球，而演员手中则有一半时间内有球，有一半时间内没有球。设每个球上升的高度为 1.25m，取 ，求每个球每次在手中停留的时间是多少？18. 某升降机以 1.6m/s 的速度匀速上升，机内一人自离升降机地板 6.5m 高处将一小球释放，球与底板间的碰撞无任何损失，则第一次反弹的最高点比释放点高（或低）了多少？19. 将两小石块 A、B 同时竖直上抛，A 上升的最大高度比 B 的高出 35m，返回地面的时间比 B 迟 2s。问：（1）A、B 的初速度分别为多少？（2）A、B 分别达到的高度最大值各为多少？（ ）20. 甲、乙、丙三辆车行驶在平直公路上，车速分别为 6m/s、8m/s、9m/s。当甲、乙、丙三车依次相距 5m 时，乙驾驶员发现甲车开始以 1m/s2的加速度做减速运动，于是乙也立即做减速运动，丙车亦同样处理。如图所示。直到三车都停下来时均未发生撞车事故。求丙车减速运动的加速度至少应为多大？【试题答案】1. B 2. C 3. B 4. B 5. C 6. 1；2 7. 7 辆 8. 0.5；35 m 9. 8 s 10. 150 s 11.（1）v 0 （ 2） v 0解析：两球相遇时位移之和等于 h。即： gt2+（v 0t gt2）=h所以：t=
