1、重庆中考几何一、有关几何的基本量：线段、角度、全等、面积、四边形性质1、如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，ABC=90，E 为 AB 延长线上一点，连接 ED，与 BC交于点 H过 E 作 CD 的垂线，垂足为 CD 上的一点 F，并与 BC 交于点 G已知 G 为 CH 的中点，且BEH=HEG（1）若 HE=HG，求证：EBHGFC；（2）若 CD=4，BH=1，求 AD 的长（1）证明：HE=HG，HEG=HGE，HGE=FGC，BEH=HEG，BEH=FGC，G 是 HC 的中点，HG=GC，HE=GC，HBE=CFG=90EBHGFC；（2）解：过点 H 作 HIEG 于 I
2、，G 为 CH 的中点，HG=GC，EFDC，HIEF，HIG=GFC=90，FGC=HGI，GIHGFC，EBHEIH（AAS），FC=HI=BH=1，AD=4-1=32、已知，RtABC 中，ACB=90，CAB=30分别以 AB、AC 为边，向形外作等边ABD和等边ACE（1）如图 1，连接线段 BE、CD求证：BE=CD；（2）如图 2，连接 DE 交 AB 于点 F求证：F 为 DE 中点证明：（1）ABD 和ACE 是等边三角形，AB=AD，AC=AE，DAB=EAC=60，DAB+BAC=EAC+BAC，即DAC=BAE，在DAC 和BAE 中，AC=AE DAC=BAE AD=
3、AB ，DACBAE（SAS），DC=BE；（2）如图，作 DGAE，交 AB 于点 G，由EAC=60，CAB=30得：FAE=EAC+CAB=90，DGF=FAE=90，又ACB=90，CAB=30，ABC=60，又ABD 为等边三角形，DBG=60，DB=AB，DBG=ABC=60，在DGB 和ACB 中，DGB=ACB DBG=ABC DB=AB ，DGBACB（AAS），DG=AC，又AEC 为等边三角形，AE=AC，DG=AE，在DGF 和EAF 中，DGF=EAF DFG=EFA DG=EA ，DGFEAF（AAS），DF=EF，即 F 为 DE 中点3、如图，在直角梯形 ABC
4、D 中，ADDC，ABDC，AB=BC，AD 与 BC 延长线交于点F，G 是 DC 延长线上一点， AGBC 于 E（1）求证：CF=CG；（2）连接 DE，若 BE=4CE，CD=2，求 DE 的长解答：（1）证明：连接 AC，DCAB ，AB=BC，1=CAB，CAB=2 ，1=2；ADC=AEC=90，AC=AC，ADCAEC，CD=CE；FDC=GEC=90，3=4，FDC GEC ，CF=CG（2）解：由（1）知，CE=CD=2，BE=4CE=8，AB=BC=CE+BE=10，在 RtABE 中，AE= AB 2-BE2 =6，在 RtACE 中，AC= AE 2+CE2 = 10
5、由（1）知，ADCAEC，CD=CE，AD=AE，C、A 分别是 DE 垂直平分线上的点，DEAC，DE=2EH；（8 分）在 Rt AEC 中， SAEC = AECE= ACEH，21EH= = =ACE0653DE=2EH=2 =14、如图，AC 是正方形 ABCD 的对角线，点 O 是 AC 的中点，点 Q 是 AB 上一点，连接CQ，DPCQ 于点 E，交 BC 于点 P，连接 OP，OQ；求证：（1）BCQCDP；（2）OP=OQ证明：四边形 ABCD 是正方形，B=PCD=90，BC=CD，2+3=90，又DPCQ ，2+1=90，1=3，在BCQ 和CDP 中，B=PCD BC
6、=CD 1= 3 BCQCDP （2）连接 OB由（1）：BCQCDP 可知： BQ=PC，四边形 ABCD 是正方形，ABC=90，AB=BC，而点 O 是 AC 中点，BO= AC=CO，4= ABC=45=PCO，221在BCQ 和CDP 中， BQ=CP 4=PCO BO=COBOQCOP，OQ=OP5、在等腰梯形 ABCD 中，ADBC，AB=AD=CD,ABC=60,延长 AD 到 E,使 DE=AD,延长 DC 到F，使 DC=CF,连接 BE、BF 和 EF.求证：ABECFB;如果 AD=6,tanEBC 的值.解：（1）证明：连结 CE，在BAE 与FCB 中， BA=FC
7、，A=BCF， ， AE=BC，BAEFCB；（2）延长 BC 交 EF 于点 G，作 AHBG 于 H，作 AMBG，BAEFCB，AEB=FBG，BE=BF，BEF 为等腰三角形，又AEBC，AEB=EBG，EBG=FBG，BGEF，AMG=EGM=AEG=90，四边形 AMGE 为矩形，AM=EG，在 RtABM 中，AM=ABsin60=6 = ，EG=AM= ，233BG=BM+MG=62+6cos60=15，tanEBC= 51BGE6、如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，C=90，E 为 CD 的中点，EFAB 交 BC 于点 F（1）求证：BF=AD+CF；（2）当 AD=1
8、，BC=7，且 BE 平分ABC 时，求 EF 的长（1）证明： 如图（ 1），延长 AD 交 FE 的延长线于 NNDE=FCE=90 DEN=FEC DE=ECNDEFCE DN=CF ABFN ，ABD ECFAN BF四边形 ABFN 是平行四边形BF=AD+DN=AD+FC（2）解：ABEF，ABN=EFC，即1+2=3 ，又2+BEF= 3，1=BEF，BF=EF，1=2 ，BEF=2，EF=BF，又 BC+AD=7+1 BF+CF+AD=8而由（1）知 CF+AD=BF BF+BF=82BF=8，BF=4，BF=EF=47、已知：AC 是矩形 ABCD 的对角线，延长 CB 至
9、E，使 CE=CA，F 是 AE 的中点，连接DF、CF 分别交 AB 于 G、H 点（1）求证：FG=FH；（2 ）若E=60，且 AE=8 时，求梯形AECD 的面积 （1）证明：连接 BFABCD 为矩形ABBC ABAD AD=BCABE 为直角三角形F 是 AE 的中点AF=BF=BEFAB=FBADAF= CBF AD=BC, DAF=CBF ,AF=BF ,DAF CBFADF= BCFFDC=FCDFGH= FHGFG=FH；（2）解：AC=CEE=60ACE 为等边三角形CE=AE=8ABBCBC=BE= =4CE21根据勾股定理 AB= 34梯形 AECD 的面积= (AD
10、+CE)CD= (4+8) =213428、如图，直角梯形 ABCD 中，ADBC，BCD=90，且 CD=2AD，tanABC=2 ，过点 D作 DEAB，交BCD 的平分线于点 E，连接 BE（1）求证：BC=CD；（2）将BCE 绕点 C，顺时针旋转 90得到DCG，连接 EG求证：CD 垂直平分 EG；（3）延长 BE 交 CD 于点 P求证：P 是 CD 的中点证明：（1）延长 DE 交 BC 于 F，ADBC，ABDF，AD=BF，ABC=DFC 在 Rt DCF 中，tanDFC=tanABC=2， =2，CFD即 CD=2CF，CD=2AD=2BF，BF=CF，BC=BF+CF
11、= CD+ CD=CD21即 BC=CD（2）CE 平分BCD，BCE=DCE ，由（1）知 BC=CD，CE=CE，BCE DCE ，BE=DE，由图形旋转的性质知 CE=CG，BE=DG，DE=DG，C，D 都在 EG 的垂直平分线上，CD 垂直平分 EG（3）连接 BD，由（2）知 BE=DE，1=2ABDE，3=21= 3ADBC， 4=DBC由（1）知 BC=CD，DBC=BDC，4=BDP又BD=BD，BADBPD(ASA)DP=AD AD= CD， DP= CDP 是 CD 的中点21219(2011 南岸二诊)如图，已知点 是正方形 的对角线 上一点，过点 作 ABCDPEF，
12、交 于点 ，交 于点 ，交 的延长线于点 ，连接 DFDPABECGF（1）若 ，求 的长；3FD（2）求证： .10如图，正方形 CGEF 的对角线 CE 在正方形 ABCD 的边 BC 的延长线上（CGBC） ，M 是线段AE 的中点，DM 的延长线交 CE 于 N（1）线段 AD 与 NE 相等吗？请说明理由；（2）探究：线段 MD、MF 的关系，并加以证明11、如图，梯形 ABCD 中，ADBC，AB=DC=10cm，AC 交 BD 于 G，且AGD=60，E、F分别为 CG、AB 的中点（1）求证：AGD 为正三角形；（2）求 EF 的长度解答：（1）证明：连接 BE，梯形 ABCD
13、 中，AB=DC，AC=BD ，可证ABCDCB，GCB=GBC，又BGC=AGD=60AGD 为等边三角形，（2）解：BE 为BCG 的中线， BEAC，在 RtABE 中，EF 为斜边 AB 上的中线，G24图P FE DCBAEF= AB=5cm12、如图，梯形 ABCD 中，ADBC，DE=EC，EFAB 交 BC 于点 F，EF=EC，连接 DF（1）试说明梯形 ABCD 是等腰梯形；（2）若 AD=1，BC=3，DC= ，试判断DCF 的形状；（3）在条件（2）下，射线 BC 上是否存在一点 P，使PCD 是等腰三角形，若存在，请直接写出 PB 的长；若不存在，请说明理由解答：解：
14、（1）证明：EF=EC， EFC=ECF， EFAB，B= EFC，B=ECF，梯形 ABCD 是等腰梯形；（2）DCF 是等腰直角三角形，证明：DE=EC ，EF=EC，EF= CD，CDF 是直角三角形（如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形） ，梯形 ABCD 是等腰梯形， CF= （BC AD）=1，DC= ，由勾股定理得：DF=1，DCF 是等腰直角三角形；（3）共四种情况：DFBC，当 PF=CF 时， PCD 是等腰三角形，即 PF=1，PB=1 ；当 P 与 F 重合时，PCD 是等腰三角形， PB=2；当 PC=CD= （P 在点 C 的左侧）
15、时， PCD 是等腰三角形， PB=3 ；当 PC=CD= （P 在点 C 的右侧）时， PCD 是等腰三角形， PB=3+ 故共四种情况：PB=1，PB=2，PB=3 ，PB=3+ （每个 1 分）13在梯形 ABCD 中，AD BC，AB=CD，且 DEAD 于 D，EBC=CDE, ECB=45求证：AB=BE；延长 BE，交 CD 于 F若 CE = ，tanCD E= ，求 BF 的长2313证明：延长 DE，交 BC 于 GDEAD 于 D，ADE =90又 ADBC， DGC=BGE=ADE=90，而ECB =45, EGC 是等腰直角三角形，EG=CG 在BEG 和DCG 中，
16、EBGCDBEGDCG(AAS) BE=CD=AB连结 BDEBC=CDEEBC+BCD =CDE+BCD=90，即BFC=90CE= ，EG=CG=1 又 tanCDE= ， ，DG =3231CGDBEGDCG，BG=DG= 3 210BECD=BE= 0法一： ， 12BCDSGCDFA A43102BFA6105法二：经探索得，BEG BFC， ， BE14如图，直角梯形 中， 的垂直平分线A,90,45,ABCA交 于 ，交 的延长线于 求证：(1) ；(2)EGBCFD.GGF.D证明：(1) ,ABEF459045CFG/,90ADBCCG,(2)连接 AF， EF 是 AB 的
17、中垂线 ,E45BFE90AFBDCBCADF/ ,DCAB CDE F G由(1)知 即：CGF,CGDFBDB二、有关“截长补短”题型1、在 中，对角线 延长线上一点且 为等边三角形，ABCD,BCGD为 ABG、 的平分线相交于点 ，连接 ，连接 。EAF交 于 E（1）若 的面积为 ，求 的长；93（2）求证： 。AEB2.如图，在正方形 ABCD 中，F 是 CD 的中点，E 是 BC 边上的一点，且 AF 平分DAE(1)若正方形 ABCD 的边长为 4,BE=3,求 EF 的长？(2)求证：AE=EC+CD2：解：（1） 4 分5212CFE（2）证明：过 F 作 FHAE 于 HAF 平分DAE，D=90，FHAE， DAF= EAF，FH=FD，在AHF 与 ADF 中，AF 为公共边，DAF=EAF，FH=FDAHF ADF（HL） AH=AD，HF=DF 又DF=FC=FH ，FE 为公共边，FHEFCEHE=CEAE=AH+HE，AH=AD=CD，HE=CE ，3如图，直角梯形 ABCD 中，ADBC，B=90，D=45（1）若 AB=6cm， ，求梯形 ABCD 的面积；AB CDFE
