1、 - 1 -第一章 函数与极限教学目的：1、 理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。2、 了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。3、 理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。4、 掌握基本初等函数的性质及其图形。5、 理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。6、 掌握极限的性质及四则运算法则。7、 了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。8、 理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。9、 理解函数连续性的概念（含左连续与右连续） ，
2、会判别函数间断点的类型。10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理） ，并会应用这些性质。教学重点：1、复合函数及分段函数的概念；2、基本初等函数的性质及其图形；3、极限的概念极限的性质及四则运算法则；4、两个重要极限；5、无穷小及无穷小的比较；6、函数连续性及初等函数的连续性；7、区间上连续函数的性质。教学难点：1、分段函数的建立与性质；2、左极限与右极限概念及应用；3、极限存在的两个准则的应用；4、间断点及其分类；5、闭区间上连续函数性质的应用。1. 1 映射与函数一、集合1. 集合概念集合(简称集): 集合是指具有某种特定
3、性质的事物的总体. 用 A, B, C.等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素 . a 是集合 M 的元素表示为 aM. - 2 -集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来 . 例如 Aa, b, c, d, e, f, g. 描述法: 若集合 M 是由元素具有某种性质 P 的元素 x 的全体所组成, 则 M 可表示为Aa1, a2, , an, Mx | x 具有性质 P . 例如 M(x, y)| x, y 为实数, x 2y21. 几个数集: N 表示所有自然数构成的集合 , 称为自然数集. N0, 1, 2, , n, . N1, 2, , n, .R 表示所有实数
4、构成的集合 , 称为实数集. Z 表示所有整数构成的集合, 称为整数集. Z, n, , 2, 1, 0, 1, 2, , n, . Q 表示所有有理数构成的集合 , 称为有理数集. ,| 互 质与且 qppqN子集: 若 xA, 则必有 xB, 则称 A 是 B 的子集, 记为 AB(读作 A 包含于 B)或 BA . 如果集合 A 与集合 B 互为子集, AB 且 BA, 则称集合 A 与集合 B 相等, 记作 AB. 若 AB 且 AB, 则称 A 是 B 的真子集, 记作 A B . 例如, N Z Q R . 不含任何元素的集合称为空集, 记作 . 规定空集是任何集合的子集 . 2.
5、 集合的运算设 A、B 是两个集合, 由所有属于 A 或者属于 B 的元素组成的集合称为 A 与 B 的并集(简称并), 记作 AB, 即ABx|xA 或 xB. 设 A、B 是两个集合, 由所有既属于 A 又属于 B 的元素组成的集合称为 A 与 B 的交集(简称交), 记作 AB, 即ABx|xA 且 xB. 设 A、B 是两个集合, 由所有属于 A 而不属于 B 的元素组成的集合称为 A 与 B 的差集(简称差), 记作 AB, 即ABx|xA 且 xB. 如果我们研究某个问题限定在一个大的集合 I 中进行, 所研究的其他集合 A 都是 I的子集. 此时, 我们称集合 I 为全集或基本集
6、. 称 IA 为 A 的余集或补集, 记作 AC. 集合运算的法则: 设 A、B 、C 为任意三个集合, 则(1)交换律 ABBA, ABBA; - 3 -(2)结合律 (AB)CA(BC), (AB)CA(BC); (3)分配律 (AB)C(AC)(BC), (AB)C(AC)(BC); (4)对偶律 (AB)CAC BC, (AB)CAC BC. (AB)CAC BC 的证明: x(AB)CxABxA 且 xBxA C 且 xBC xAC BC, 所以(AB) CAC BC. 直积(笛卡儿乘积): 设 A、B 是任意两个集合, 在集合 A 中任意取一个元素 x, 在集合 B 中任意取一个元
7、素 y, 组成一个有序对( x, y), 把这样的有序对作为新元素, 它们全体组成的集合称为集合A 与集合 B 的直积, 记为 AB, 即AB(x, y)|xA 且 yB. 例如, RR( x, y)| xR 且 yR 即为 xOy 面上全体点的集合, RR 常记作 R2. 3. 区间和邻域 有限区间: 设 a1 时, y 1x. y2例如 ; ; f(3)134. )(f 2)(f2. 函数的几种特性(1)函数的有界性设函数 f(x)的定义域为 D, 数集 XD. 如果存在数 K1, 使对任一 xX, 有 f(x)K1, 则称函数 f(x)在 X 上有上界, 而称 K1 为函数 f(x)在
8、X 上的一个上界. 图形特点是 yf(x)的图形在直线 yK1 的下方. 如果存在数 K2, 使对任一 xX, 有 f(x) K2, 则称函数 f(x)在 X 上有下界, 而称 K2 为函数 f(x)在 X 上的一个下界. 图形特点是, 函数 yf(x)的图形在直线 yK2 的上方. 如果存在正数 M, 使对任一 xX, 有| f(x) |M, 则称函数 f(x)在 X 上有界; 如果这样的 M 不存在, 则称函数 f(x)在 X 上无界. 图形特点是, 函数 yf(x)的图形在直线 y M和 y M 的之间. 函数 f(x)无界, 就是说对任何 M, 总存在 x1X, 使| f (x) |
9、M. 例如(1)f(x)sin x 在(, )上是有界的 : |sin x|1. (2)函数 在开区间 (0, 1)内是无上界的. 或者说它在(0, 1) 内有下界, 无上界. 1这是因为, 对于任一 M1, 总有 x1: , 使10, xf1)(所以函数无上界. 函数 在(1, 2)内是有界的. f)(2)函数的单调性设函数 y f(x)的定义域为 D, 区间 I D. 如果对于区间 I 上任意两点 x1 及 x2, 当x1 f(x2), 则称函数 f(x)在区间 I 上是单调减少的. 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数. 函数单调性举例: 函数 y x2 在区间( , 0上是单调增加的
10、, 在区间0, )上是单调减少的, 在（, ）上不是单调的. (3)函数的奇偶性设函数 f(x)的定义域 D 关于原点对称 (即若 xD, 则xD). 如果对于任一 xD, 有f(x) f(x), 则称 f(x)为偶函数. 如果对于任一 xD, 有f(x) f(x), 则称 f(x)为奇函数. 偶函数的图形关于 y 轴对称, 奇函数的图形关于原点对称, 奇偶函数举例: yx2, ycos x 都是偶函数. yx 3, ysin x 都是奇函数, ysin xcos x 是非奇非偶函数. (4)函数的周期性设函数 f(x)的定义域为 D. 如果存在一个正数 l , 使得对于任一 xD 有( xl
11、)D, 且 f(xl) f(x)则称 f(x)为周期函数, l 称为 f(x)的周期. 周期函数的图形特点: 在函数的定义域内, 每个长度为 l 的区间上, 函数的图形有相同的形状. 3反函数与复合函数反函数: 设函数 f : Df(D)是单射 , 则它存在逆映射 f 1: f(D)D, 称此映射 f 1 为函数 f 的反函数. 按此定义, 对每个 yf(D), 有唯一的 xD, 使得 f(x)y, 于是有f 1(y)x. 这就是说, 反函数 f 1 的对应法则是完全由函数 f 的对应法则所确定的. 一般地, yf(x ), xD 的反函数记成 yf 1(x), xf(D). 若 f 是定义在
12、 D 上的单调函数, 则 f : Df(D)是单射, 于是 f 的反函数 f 1 必定存在, 而且容易证明 f 1 也是 f(D)上的单调函数 . 相对于反函数 yf 1(x)来说, 原来的函数 yf(x)称为直接函数. 把函数 yf(x)和它的反函数yf 1(x)的图形画在同一坐标平面上, 这两- 9 -个图形关于直线 yx 是对称的 . 这是因为如果 P(a, b)是 yf(x)图形上的点, 则有 bf(a). 按反函数的定义, 有 af 1(b), 故 Q(b, a)是 yf 1(x)图形上的点; 反之, 若 Q(b, a)是 yf 1(x)图形上的点, 则 P(a, b)是 yf(x)
13、图形上的点. 而 P(a, b)与 Q(b, a)是关于直线 yx 对称的. 复合函数: 复合函数是复合映射的一种特例, 按照通常函数的记号, 复合函数的概念可如下表述. 设函数 yf(u)的定义域为 D 1, 函数 ug(x)在 D 上有定义且 g(D) D 1, 则由下式确定的函数 yfg(x), xD称为由函数 ug(x)和函数 yf(u)构成的复合函数, 它的定义域为 D, 变量 u 称为中间变量. 函数 g 与函数 f 构成的复合函数通常记为 , 即gf( )fg(x). 与复合映射一样, g 与 f 构成的复合函数 的条件是 : 是函数 g 在 D 上的值域 g(D)必f须含在 f
14、 的定义域 D f 内, 即 g(D)D f. 否则, 不能构成复合函数. 例如, yf(u)arcsin u, 的定义域为 1, 1, 在21)(xu上有定义, 且 g(D)1, 1, 则 g 与 f 可构成复合函数123 ,1D, xD; arcsiny但函数 yarcsin u 和函数 u2x2 不能构成复合函数, 这是因为对任 xR, u2x2 均不在yarcsin u 的定义域 1, 1内. 多个函数的复合: 4. 函数的运算设函数 f(x), g(x)的定义域依次为 D 1, D 2, DD 1D 2, 则我们可以定义这两个函数的下列运算: 和(差) f g : (f g)(x)f
15、(x)g(x), xD; 积 f g : (f g)(x)f(x)g(x), xD;商 : , xDx|g(x)0. 例 11 设函数 f(x)的定义域为(l, l), 证明必存在(l , l)上的偶函数 g(x)及奇函数 h(x), 使得f(x)g(x)h(x). 分析 如果 f(x)g(x)h(x), 则 f(x)g(x)h(x), 于是- 10 -, . )(21)(xfxg)(21xfh证 作 , , 则 f(x)g(x)h(x), f(f且 , )(21)(xgfxfg. )(21xhfffh 5. 初等函数基本初等函数: 幂函数: yx (R 是常数 ); 指数函数: y a x(
16、a0 且 a1); 对数函数: y loga x (a0 且 a1, 特别当 ae 时, 记为 yln x);三角函数: y sin x, ycos x, ytan x, ycot x, ysec x, ycsc x; 反三角函数: y arcsin x, yarccos x, yarctan x, yarccot x . 初等函数: 由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数, 称为初等函数. 例如, ysin2x, 1ycot等都是初等函数. 双曲函数: 双曲正弦: ; 2shxe双曲余弦: ; c双曲正切: . xexhst双曲函数的性质: sh(xy)sh xch ych xsh y; ch(xy)ch xch ysh xsh y. ch2xsh2x1; sh2x2sh xch x; ch2xch2xsh2x . 档档 档档档档档档 档档 x121档 档档 档档
