1、2002 级量子力学期末考试试题和答案B 卷一、 （共 25 分）1、厄密算符的本征值和本征矢有什么特点？（4 分） 2、什么样的状态是束缚态、简并态和偶宇称态？（6 分）3、全同玻色子的波函数有什么特点？并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数。 （4 分）4、在一维情况下，求宇称算符 P和坐标 x的共同本征函数。 （6 分） 5、简述测不准关系的主要内容，并写出时间 t和能量 E的测不准关系。 （5分）二、 （15 分）已知厄密算符 BA,，满足 12，且 0AB，求1、在 A 表象中算符 、 的矩阵表示；2、在 A 表象中算符 的本征值和本征函数；3、从 A 表象到 B 表象的幺正变换
2、矩阵 S。三、 （15 分）线性谐振子在 0t时处于状态)21exp(31)0,(x，其中 ，求1、在 t时体系能量的取值几率和平均值。2、 0t时体系波函数和体系能量的取值几率及平均值四、 （15 分）当 为一小量时，利用微扰论求矩阵230201的本征值至 的二次项，本征矢至 的一次项。五、 （10 分）一体系由三个全同的玻色子组成, 玻色子之间无相互作用. 玻色子只有两个可能的单粒子态. 问体系可能的状态有几个? 它们的波函数怎样用单粒子波函数构成?一、1、厄密算符的本征值是实数，本征矢是正交、归一和完备的。2、在无穷远处为零的状态为束缚态；简并态是指一个本征值对应一个以上本征函数的情况；
3、将波函数中坐标变量改变符号，若得到的新函数与原来的波函数相同，则称该波函数具有偶宇称。3、全同玻色子的波函数是对称波函数。两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数为：)()(211212qqS 4、宇称算符 P和坐标 x的对易关系是： Px,，将其代入测不准关系知，只有当 0x时的状态才可能使 P和 x同时具有确定值，由 )(x知，波函数 )(满足上述要求，所以 )(是算符 和 的共同本征函数。5、设 F和 G的对易关系 kiFG， 是一个算符或普通的数。以 F、和 k依次表示 、 和 在态 中的平均值，令 ，则有 422k)(，这个关系式称为测不准关系。时间 t和能量 E之间的测不准关系为： 2
4、Et二、1、由于 12A，所以算符 A的本征值是 1，因为在 A 表象中，算符的矩阵是对角矩阵，所以，在 A 表象中算符 的矩阵是： 10)(设在 A 表象中算符 B的矩阵是 21)(bA，利用 0AB得：021b；由于 12，所以 021b211221b，21；由于 B是厄密算符， B， 012b*12*12令 ieb， （ 为任意实常数）得 在 A 表象中的矩阵表示式为：0)(iiAB2、在 A 表象中算符 B的本征方程为： 0iie即 ie ii和 不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零，即 0iie012 1对 1有： 12iB，对 有： iBe所以，在 A 表象中算符 的本征值是
5、 1，本征函数为 12i和 ie3、从 A 表象到 B 表象的幺正变换矩阵就是将算符 在 A 表象中的本征函数按列排成的矩阵，即 21iieS三、解：1、 0t的情况：已知线谐振子的能量本征解为：)2(nE)2,1(， )(exp(!2)(2xHnxnn 当 1,0时有：ep)0x，)( 21于是 t时的波函数可写成：)(32)()0,(10xx，容易验证它是归一化的波函数，于是 0t时的能量取值几率为：31),2(0EW， ),2(1EW，能量取其他值的几率皆为零。能量的平均值为： 6732110E2、 0t时体系波函数)23exp()32)exp(),( 10 tititx 显然，哈密顿量
6、为守恒量，它的取值几率和平均值不随时间改变，故 0时体系能量的取值几率和平均值与 t的结果完全相同。四、解：将矩阵改写成： H0 23021能量的零级近似为： 1)0(E， )(2， )0(3E能量的一级修正为： ， ， 21能量的二级修正为：2)0(3)(1)0(2)(1)2( 4， 2)0(3)(2)0(1)(2)( 594EHE，2)0()(3)0(1)(3)( 所以体系近似到二级的能量为： 214， 25E，239E先求出 0H属于本征值 1、2 和 3 的本征函数分别为： 01)(， )0(2，1)(3，利用波函数的一级修正公式)0()0()1( iikikEH，可求出波函数的一级修正为： 012)1(， 32)(2， 01)1(近似到一级的波函数为： 1， 32， 103五、解：由玻色子组成的全同粒子体系，体系的波函数应是对称函数。以 iq表示第 i)3,21(个粒子的坐标，根据题设，体系可能的状态有以下四个：（1） )(312) qs；（2） )()(3212)( qs（3） ) 31311)3( qC； （4） 4s )()()()( 2223122
