1、量子力学考试题（共五题，每题 20 分）1、扼要说明：（a）束缚定态的主要性质。（b）单价原子自发能级跃迁过程的选择定则及其理论根据。2、设力学量算符（厄米算符） F， G不对易，令 Ki（ FG-GF） ，试证明：（a） K的本征值是实数。（b）对于 的任何本征态 ， K的平均值为 0。（c）在任何态中 2F+G3、自旋 /2 的定域电子（不考虑“轨道”运动）受到磁场作用，已知其能量算符为 SHH zS+x（ ，0， ）（a）求能级的精确值。（b）视 x项为微扰，用微扰论公式求能级。4、质量为 m 的粒子在无限深势阱（00 ，即 2+ 3、(a)，(b)各 10 分(a) H zS+x 10
2、+ 2 01 2 E ， ba ，令 E 2，则 0， 2- - 20 2，E 1-2，E 2当 ， 2 （1+ ） 1/2（1+ ） + 2E1- +2 ，E 2 +2（b） H zS+x H0+ ， 0zS， HxS0本征值为，取 E1（0） -，E2（0） 1相当本征函数（S z 表象）为 1(0) ， 2(0) 则 H之矩阵元（S z 表象）为1H=0， 2=0， 12H 1 E1E 1（0） + 1+ )0(2)(E- +0-4- -24E2E 2（0） + 2H+ )0(1)( +214、E 1 2ma， )(1x sinaxax,0xda02 2sin0dxp-i ax01-i
3、ax00)sin(x-i aa adid001(ii2axi02)(sini12ai-dx02i0+ adxh021四项各 5 分5、 （i） ， （ii）各 10 分（i）s 0，为玻色子，体系波函数应交换对称。 ),(21r有： )(1ra2， )(1rb2， )(1rc2c，aa c c ab c c b共 6 种。（ii）s 21，单粒子态共 6 种：0a， a， 0b， 1b， 0c， 1c。任取两个，可构成体系（交换）反对称态，如 2121 0)()(0)()(21 rrrr abba )(ba- )(21ab21体系态共有 526C种或： a， b， c三种轨道态任取两个，可构成
4、一种轨道对称态21)(21r+ )(21ra及一种反对称态 2)(21rba-)(rab，前者应与自旋单态 x00 相乘，而构成体系反对称态，共3 种。后者应与自旋三重态 x11， x10 ，x 1-1 相乘而构成体系反对称态，共 339 种。但轨道对称态还有 )(1ra2型，共 3 种型，各与自旋单态配合，共 3 种体系态，故体系态共 3+3+915 种。量 子 力 学 习 题第一章 绪论1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长 m与温度 T 成反比，即mT=b(常量） ；并近似计算 b 的数值，准确到二位有效数字。1.2 在 0K 附近，钠的价电子能量约为 3eV
5、，求其德布罗意波长。1.3 氦原子的动能是 E=3kT/2（k 为玻耳兹曼常数） ，求 T=1K 时，氦原子的德布罗意波长。1.4 利用玻尔索末菲的量子化条件，求：（1）一维谐振子的能量；（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。已知外磁场 H=10 特斯拉，玻尔磁子 MB=910-24 焦耳/特斯拉，试计算动能的量子化间隔 E，并与 T=4K 及 T=100K 的热运动能量相比较。1.5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对。如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？第二章 波函数和薛定谔方程2.1 由下列两定态波函数计算几率流密度：(1) 1=eikr/r,
6、 (2) 2=e-ikr/r.从所得结果说明 1 表示向外传播的球面波， 2 表示向内（即向原点）传播的球面波。2.2 一粒子在一维势场 axxU0,)(中运动，求粒子的能级和对应的波函数。2.3 求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。2.4 一粒子在一维势阱 axUx,0)(中运动，求束缚态(0V0 情形分别讨论。2.9 质量为 m 的粒子只能沿圆环（半径 R）运动，能量算符2dmRH， 为旋转角。求能级(E n)及归一化本征波函数 n()，讨论各能级的简并度。第三章 基本原理3.1 一维谐振子处在基态tixex21)(，求：(1) 势能的平均值2U；(2) 动能的平均值2pT；(3)
7、 动量的几率分布函数。3.2 设 t=0 时，粒子的状态为(x)=Asin2kx+1coskx，求此时粒子的平均动量和平均动能。3.3 在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为 a，如果粒子的状态由波函数(x)=Ax(a-x)描写，A 为归一化常数，求粒子能量的几率分布和能量的平均值。3.4 证明：如归一化的波函数 (x)是实函数，则 =i/2；如 =(r)（与 ， 无关） ，则= 3/2 。3.5 计算对易式x , Ly，p z, Lx，并写出类似的下标轮换式 (xy, yz, zx)。3.6 证明算符关系 piLprr23.7 设 F 为非厄米算符(F +F)，证明 F 可以表示成 A+
8、iB 的形式，A、B 为厄米算符。求 A、B 与 F、 F+之关系。3.8 一维谐振子(V 1= 2kx2)处于基态。设势场突然变成 V2=kx2，即弹性力增大一倍。求粒子在 V2 场中的能级以及此粒子在新势场的基态中出现的几率。3.9 有线性算符 L、M、K，L, M=1，K=LM 。K 的本征函数、本征值记为n、 n (n=1, 2, .)。证明：如函数 Mn 及 Ln 存在，则它们也是 K 的本征函数，本征值为( n1)。3.10 证明：如 H= 2p/2m+V( r)， 则对于任何束缚态=0。3.11 粒子在均匀电场中运动，已知 H= 2/2m-qx。设 t=0 时x=0， xp=p0
9、，求 (t)， x(t)。3.12 粒子在均匀磁场 B=(0, 0, B)中运动，已知 H= 2p/2m Lz， =qB/2mc。设 t=0 时=(p0, 0, 0)，求 t0 时。3.13 粒子在势场 V( r)中运动，V 与粒子质量 m 无关。证明：如 m 增大，则束缚态能级下降。第四章 中心力场4.1 证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是Jer=Je=0,Je= 2sinmlr。4.2 由上题可知，氢原子中的电流可以看作是由许多圆周电流组成的。(1) 求一圆周电流的磁矩。(2) 证明氢原子磁矩为)(2CGSIcmeMz原子磁矩与角动量之比为)(2CGSIceLz这个比
10、值，称为回转磁比率。4.3 设氢原子处于状态 ),(23),(21),( 110 YrRYrRr求氢原子能量、角动量平方及角动量 z 分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。4.4 利用测不准关系估计氢原子的基态能量。4.5 对于类氢离子的基态 100，求概然半径（最可几半径）及 ,r2。4.6 对于类氢离子的 nlm 态，证明= 21= En。4.7 对于类氢离子的基态 100，计算 x, px，验证不确定关系2xp。4.8 单价原子中价电子（最外层电子）所受原子实（原子核及内层电子）的库仑作用势可以近似表示成 10,)(2raerV试求价电子能级。与氢原子能级比较，列出主量
11、子数 n 的修正数公式。提示：将 V(r)中第二项与离心势合并，记成 2/)1(rl，计算( l)之值，.。第五章 表象理论5.1 设 n， k是厄米算符 H的本征态矢，相应于不同的本征值。算符F与 H对易。证明 =0。5.2 质量为 的粒子在势场 V(x)中作一维运动，设能级是离散的。证明能量表象中求和规则 2)(nxikeE( 为实数) 。5.3 对于一维谐振子的能量本征态n ，利用升、降算符计算、 x、 p。5.4 设 J为角动量， 为常矢量，证明 J, n=i J5.5 对于角动量的 jm态（ 2, Jz 共同本征态） ，计算 Jx、J y、J x2、J y2 等平均值，以及 Jx、
12、Jy。5.6 设 n（单位矢量）与 z 轴的夹角为 ，对于角动量的 jm态，计算（即 J的平均值） 。5.7 以 lm表示 2L，L z 共同本征态矢。在 l=1 子空间中，取基矢为1,0,1, 建立 ，L z 表象。试写出 Lx 及 Ly 的矩阵表示（3 阶） ，并求其本征值及本征态矢（取 =1） 。*5.8 对于谐振子相干态 (a = , 为实数)，计算 En， ，px，。第六章 微扰理论6.1 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为 r0，电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。6.2 转动惯量为 I、电偶极矩为 D 的空间转子在均匀电场 中，如果电场较小，用微扰法
13、求转子基态能量的二级修正。6.3 设一体系未受微扰作用时只有两个能级 E01 及 E02，现在受到微扰 H的作用。微扰矩阵元为 H12=H21=a, H11=H22=b; a, b 都是实数。用微扰公式求能量至二级修正值。6.4 一电荷为 e 的线性谐振子受恒定弱电场 作用，设电场沿正 x 方向：(1) 用微扰法求能量至二级修正；(2) 求能量的准确值，并和(1) 所得结果比较。6.5 设在 t=0 时，氢原子处于基态，以后由于受到单色光的照射而电离。设单色光的电场可以近似地表示为 sint， 及 均为常量；电离后电子的波函数近似地以平面波表示。求这单色光的最小频率和在时刻 t 跃迁到电离态的
14、几率。6.6 基态氢原子处于平行板电场中，若电场是均匀的且随时间按指数下降，即 0;,0tet求经过长时间后氢原子处在 2p 态的几率。6.7 计算氢原子由第一激发态到基态的自发发射几率。6.8 求线性谐振子偶极跃迁的选择定则。6.9 粒子（质量 ）在无限深势阱 00)中作一维运动。试用变分法求基态能量近似值。建议取试探波函数 (, r)=Aexp(2r2)。6.12 某量子力学体系处于基态 1(x)。t0 后受到微扰作用，H (x,t)=F(x)et/，试证明：长时间后(t )该体系处于激发态 n(x)的几率为/)/(22121EFn第七章 自旋7.1 证明 izyx。7.2 求在自旋态)(
15、21s中， xS和 y的测不准关系：?27.3 求 012xS及 0iSy的本征值和所属的本征函数。7.4 求自旋角动量在(cos ，cos ，cos )方向的投影 coscoszyxn S的本征值和所属的本征函数。在这些本征态中，测量 zS有哪些可能值？这些可能值各以多大的几率出现？zS的平均值是多少？7.5 设氢原子的状态是 。),(23)110YrR(1) 求轨道角动量 z 分量 zL和自旋角动量 z 分量 zS的平均值；(2) 求总磁矩 eM2(SI)的 z 分量的平均值（用玻尔磁子表示） 。7.6 求电子的总角动量算符 2J，J z 的共同本征函数。7.7 在 Sz 表象中，证明 iiieez0。7.8 对于电子的 JSL，, 证明（取 1）
